1、4.2简单幂函数的图象和性质课后训练巩固提升一、A组1.下列说法正确的为()幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0);幂函数的图象不可能在第四象限;n=0时,函数y=xn的图象是一条直线;幂函数y=xn当n0时,是增函数;幂函数y=xn当n0,函数图象过原点且函数为增函数,又531,故选B.答案:B4.函数f(x)=(x2-2x)-12的定义域是()A.x|x0,或x2B.(0,2)C.(-,02,+)D.(-,0)(2,+)解析:由x2-2x0,可得x2,故选D.答案:D5.如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是()A.nm0B.mnm
2、0D.mn0解析:由题中图象可知,两函数在第一象限内单调递减,故m0,n2n,则mn.答案:A6.已知点a,12在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,则函数f(x)是()A.奇函数B.偶函数C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数解析:f(x)=(a-1)xb是幂函数,a-1=1,得a=2.点a,12在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,即点2,12在幂函数f(x)=xb的图象上,f(2)=2b=12,得b=-1,f(x)=x-1=1x.故函数f(x)是奇函数,在定义域内不是单调函数.答案:A7.如果幂函数y=(m2-3m+3)xm2-m-2的图象不过原点,则m的值是.解析:由题意知,
3、m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,得m=1或m=2.经检验m=1或m=2均符合题意,即m=1或m=2.答案:1或28.为了保证信息的安全传输,有一种密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=x(为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是.解析:由题可知加密密钥y=x(是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出的值.由题意得2=4,解得=12,则y=x12.由x12=3,得x=9.答案:99.已知函数f(x)=2x-xm,且f(4)=-72.(1)求m的值
4、;(2)判断f(x)在区间(0,+)上的单调性,并给予证明.解:(1)f(4)=-72,24-4m=-72,解得m=1.(2)由(1)知,f(x)=2x-x,其在区间(0,+)上单调递减.证明如下:任取0x1x2,则f(x1)-f(x2)=2x1-x1-2x2-x2=(x2-x1)2x1x2+1.0x10,2x1x2+10.f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2).函数f(x)=2x-x在区间(0,+)上单调递减.二、B组1.已知f(x)=x12,若0ab1,则下列各式正确的是()A.f(a)f(b)f1af1bB.f1af1bf(b)f(a)C.f(a)f(b)f1bf1aD.f1af
5、(a)f1bf(b)解析:因为函数f(x)=x12在区间(0,+)上是增函数,又0ab1b1a,所以f(a)f(b)f1bf1a.答案:C2.幂函数y=x中的取值集合C是-1,0,12,1,2,3的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合C为()A.-1,0,12B.12,1,2C.-1,12,1,3D.12,1,2,3解析:根据幂函数y=x-1,y=x0,y=x12,y=x,y=x2,y=x3的图象和解析式可知,当=-1,12,1,3时,相应幂函数的值域与定义域相同.答案:C3.若函数f(x)是幂函数,且满足f(4)f(2)=14,则f12的值为()A.-4B.-13C.4D.13解析:设f
6、(x)=x(为常数).f(4)f(2)=14,42=14,得=-2.f(x)=x-2.于是f12=12-2=4.答案:C4.对于幂函数f(x)=x45,若0x1f(x1)+f(x2)2B.fx1+x22f(x1)+f(x2)2C.fx1+x22=f(x1)+f(x2)2D.无法确定解析:幂函数f(x)=x45在区间(0,+)上单调递增,其大致图象如图所示.设点A(x1,0),C(x2,0),其中0x112(|AB|+|CD|),fx1+x22f(x1)+f(x2)2,故选A.答案:A5.已知幂函数f(x)=x的部分对应值如下表:x112f(x)122则函数f(x)的单调递增区间是.解析:因为f
7、12=22,所以12=22,得=12,所以f(x)=x12,它的单调递增区间是0,+).答案:0,+)6.设幂函数f(x)=kxa的图象过点13,81,则k+a=.解析:因为函数f(x)=kxa为幂函数,所以k=1,又其图象过点13,81,所以13a=81,解得a=-4,所以k+a=1-4=-3.答案:-37.已知幂函数f(x)=(m3-m+1)x12(1-8m-m2)的图象与x轴和y轴都无交点.(1)求f(x)的解析式;(2)解不等式f(x+1)f(x-2).解:(1)由f(x)是幂函数,得m3-m+1=1,解得m=0或m=1.又f(x)的图象与x轴和y轴都无交点,所以m=1,此时f(x)=x-4.(2)由(1)知,f(x)=x-4.f(x)=x-4是偶函数且在区间(0,+)上单调递减,所以要使得f(x+1)f(x-2),只需|x+1|x-2|,解得x12.又f(x)的定义域为x|x0,所以x-1,且x2,综上,不等式的解集为xx12,且x-1,且x2.
