1、2.3.4 圆与圆的位置关系必备知识自主学习1.若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，则两圆有以下位置关系：导思1.如何通过两个圆的方程判断位置关系？2从几何图形如何判断位置关系？位置关系公共点 个数圆心距与半径 的关系图示两圆外离0dr1r2 两圆内含d|r1r2|位置关系公共点 个数圆心距与半径 的关系图示两圆相交2|r1r2|d r1r2 两圆内切1d|r1r2|两圆外切dr1r2 2.本质：利用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系【思考】(1)当两圆外离、外切、相交、内切、内含时公切线的条数分别是多少？提示：公切线的条数分别是4，3，2，1，0.(2)当两圆相交、外切、内切时
2、，连心线有什么性质？提示：当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线；当两圆内切时，连心线垂直于两圆的公切线【基础小测】1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)若两圆有唯一的公共点，则两圆外切()(2)若两圆没有公切线，则两圆内含()(3)若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，当d|r1r2|时，两圆相交()提示：(1).两圆也可能内切(2).只有两圆内含时，两圆才没有公切线(3).当d|r1r2|时，两圆内含2圆(x2)2y24 与圆(x2)2(y1)29 的位置关系为()A内切 B相交 C外切 D相离【解析】选 B.两圆圆心分别为(2，0)，
3、(2，1)，半径分别为 2 和 3，圆心距 d4212 17.因为 32d32，所以两圆相交3(教材二次开发：例题改编)若圆 C1：x2y24 与圆 C2：x2y26x8ym0 外切，则实数 m()A24 B16 C24 D16【解析】选 D.C1(0，0)，r12，C2(3，4)，r2 25m，由外切得（03）2（04）2 2 25m，解得 m16.关键能力合作学习类型一 两圆位置关系的判定(数学运算、直观想象)1圆 O1：x2y22x0 与圆 O2：x2y24y0 的位置关系是()A外离 B相交 C外切 D内切2圆 A：x2y21 与圆 B：x24xy250 的公共点个数为()A0 B3
4、C2 D13圆 C1：x2y22y0，C2：x2y22 3 x60 的位置关系为()A外切 B相交 C内切 D内含【解析】1.选 B.O1：x2y22x0 与圆 O2：x2y24y0，故圆心坐标与半径分别为 O1(1，0)，O2(0，2)，r11，r22，O1O2 5，r2r11，1 5 0)，由题意可得（a1）2b2r1，b 3a3 33 1，|a 3b2r，解得a4，b0，r2或a0，b4 3，r6，所以所求圆的方程为(x4)2y24 或 x2(y4 3)236.【拓展延伸】圆 O1(xa)2(yb)2r21，圆 O2(xc)2(yd)2r22.两圆相切时，两圆方程作差得过切点的公切线方程
5、【拓展训练】已知圆 C1：x2y29 与圆 C2：(x3)2(y4)2r2(r0)相外切若圆 C2 关于直线 l：ax9 by12 1 对称，求由点(a，b)向圆 C2 所作的切线长的最小值【解析】圆 C1 的圆心 C1(0，0)，半径为 3.圆 C2 的圆心 C2(3，4)，半径 r.|C1C2 3242 5.因为两圆相外切，所以|C1C2 3r5，解得 r2.因为圆 C2 关于直线 l：ax9 by12 1 对称，所以3a9 4b12 1，化为 ab3.由点(a，b)向圆 C2 所作的切线长（a3）2()b4 222 2b28b12 2（b2）24，所以当 b2 时，切线长取得最小值 2.
6、类型三 两圆相交问题(数学运算、直观想象)角度1 与公共弦相关的问题【典例】两圆 x2y24x6y120 与 x2y22x14y150 公共弦所在直线的方程是()Ax3y10 B6x2y10C6x8y30 D3xy50【思路导引】把两圆方程作差可得公共弦所在直线方程【解析】选 C.两圆方程 x2y24x6y120 与 x2y22x14y150 相减，可得公共弦所在直线方程为 6x8y30.求【典例】中两圆相交所得公共弦的弦长【解析】x2y24x6y120 化成标准方程得，(x2)2(y3)21，所以弦长为 212|12243|6282221 81100 195.角度2 圆与圆位置关系的应用【典
7、例】若圆 O：x2y25 与圆 O1：(xm)2y220()mR相交于 A，B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度为_【思路导引】切线垂直转化为过切点的两个半径垂直【解析】如图所示，在 RtOO1A 中，OA 5，O1A2 5，所以 OO15，所以 AC 52 552，所以 AB4.答案：4 公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解 1圆 x2y22xF0 和圆 x2y22xEy40 的公共弦所在的直线方程是xy10，则
8、()AE4，F8 BE4，F8CE4，F8 DE4，F8【解析】选 C.由圆 x2y22xF0 和圆 x2y22xEy40 作差，得4xEyF40.所以 E4，F8.2若圆x2y24与圆 x2y22ay60(a0)的公共弦的长为 2 3，则 a()A2 B1 C1 D2【解析】选 B.由圆 x2y24 与圆 x2y22ay60(a0)，可得公共弦的方程为y1a，又 x2y24 的圆心坐标为(0，0)，半径为 r2，由圆的弦长公式可得 l2 r2d2 241a22 3，解得 a1.【补偿训练】若圆()xa2()yb2b21 始终平分()x12()y124 的周长，则 a，b 应满足的关系式为()
9、Aa22a2b30Ba22a2b50Ca22b22a2b10D3a22b22a2b10 【解析】选 B.因为圆()xa2()yb2b21 始终平分()x12()y124的周长所以两圆交点的直线过()x12()y124 的圆心()1，1，两圆方程相减可得()22ax()22bya210，将()1，1代入可得22a22ba210，即 52a2ba20，所以 B 选项是正确的 备选类型 圆系方程【典例】圆心在直线 xy40 上，且经过两圆 x2y26x40 和 x2y26y280 的交点的圆的方程为()Ax2y2x7y320Bx2y2x7y160Cx2y24x4y90Dx2y24x4y80【思路导引
10、】方法一，联立两圆方程，求出交点坐标，再求圆的方程；方法二，利用圆系方程求解【解析】选 A.方法一：(几何法)由x2y26x40，x2y26y280，得 A(1，3)，B(6，2)，线段 AB 的垂直平分线方程为 xy30.由xy40，xy30得圆心坐标为12，72.半径11223722 1782.所求圆的方程为x122y7221784，即 x2y2x7y320.方法二：(圆系方程)根据题意，要求圆经过两圆 x2y26x40 和 x2y26y280 的交点，设其方程为()x2y26x4()x2y26y280，变形可得()1x2()1y26x6y4280,其圆心为 31，31，又由圆心在直线 x
11、y40 上，则有 313140，解得 7;则圆的方程为()6x2()6y26x42y1920,即 x2y2x7y320，所以 A 选项是正确的 求经过两圆交点的圆方程已知两圆 C1：x2y2D1xE1yF10 和 C2：x2y2D2xE2yF20 相交，则方程 x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0.当 1 时，表示公共弦所在直线方程；当 1 时，表示过两圆交点的圆 过两圆 x2y2xy20 与 x2y24x4y80 的交点和点()3，1的圆的方程是_【解析】根据题意，设所求圆的方程为()x2y2xy2()x2y24x4y80()1，要求圆经过点()3，1，则有 4100，解可
12、得 25，则要求圆的方程为x2y2133 xy20.答案：x2y2133 xy20课堂检测素养达标1已知圆 M 的圆心 M(2，0)，圆 M 与圆 O：x2y21 外切，则圆 M 的方程为()A(x1)2y21 B(x2)2y21Cx2(y1)21 Dx2(y2)21【解析】选 B.两圆圆心距 2，圆 M 的半径为 211，所以圆 M 的方程为(x2)2y21.2两圆 x2y210 和 x2y24x2y40 的位置关系是()A内切 B外离 C外切 D相交【解析】选 D.由题意可得两圆方程为 x2y21 和()x22()y129.则两圆圆心分别为()0，0和()2，1；半径分别为 r11 和 r
13、23，则圆心距：d()20 2()10 2 5，则|r1r2 5|r1r2，所以两圆相交3(教材二次开发：练习改编)已知直线 yx 被圆 M：x2y2Ey0()E0截得的弦长为 2 2，且圆 N 的方程为 x2y22x2y10，则圆 M 与圆 N 的位置关系为()A相交 B外切 C相离 D内切【解析】选 A.圆 M：x2y2Ey0()E0的圆心为0，E2，半径为E2.所以E24 2(|0E2|2)2，解得 E4.所以圆 M 的圆心为(0，2)，半径为 2.圆 N 的圆心为(1，1)，半径为 1.因为|MN|（01）2（21）2 2，且 21|MN|21，所以两圆相交4已知圆 C1：x2y24x2y0 与圆 C2：x2y22y40.则两圆公共弦所在直线的方程为_【解析】两圆方程作差得两圆公共弦所在直线方程 xy10.答案：xy105已知圆 O1：x2y21，圆 O2：(x4)2(ya)225，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数 a_【解析】因为两个圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，16a2 4，外切时 16a2 6，所以 a2 5 或 0.答案：2 5 或 0
