1、第1讲 直线与圆 第二编 讲专题专题五 解析几何考情研析 1.考查直线间的平行和垂直的条件，与距离有关的问题 2.考查直线与圆相切和相交的问题，与直线被圆所截得的弦长有关的问题.1 核心知识回顾 PART ONE 1.直线的斜率直线过点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其倾斜角为 2，则斜率 k_01 y2y1x2x102 tan.2直线的两种位置关系3三种距离公式(1)两点间的距离：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|_.(2)点到直线的距离：点 P(x0，y0)到直线 AxByC0 的距离 d_.(3)两平行线的距离：若直线 l1，l2 的方程分别为 l1：AxByC10
2、，l2：AxByC20(C1C2)，则两平行线的距离 d_.01x2x12y2y1202|Ax0By0C|A2B203|C2C1|A2B24圆的方程(1)标准方程：_.(2)一般方程：方程 x2y2DxEyF0 表示圆的充要条件是_，其中圆心是_，半径 r_.01(xa)2(yb)2r202 D2E24F003D2，E204D2E24F25直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r.d 与 r 的关系 直线与圆的关系dr相离dr相切d0.1在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0)，B(0,1)，则满足|PA|2|PB|24 且在圆 x2y24 上的点 P 的个数为()A
3、0B1 C2D3解析 设 P(x，y)，则由|PA|2|PB|24，得(x1)2y2x2(y1)24，所以 xy20.求满足条件的点 P 的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离为|002|2 23，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有 4 条故选 D.(2)一条光线从点(1，1)射出，经 y 轴反射后与圆(x2)2y21 相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为()A.34，0B.0，34C.34，0D.0，34解析 由题意可知，反射光线必过(1，1)点，设反射光线斜率为 k，则反射光线为 kxyk10，由题意可知|2kk1|1k2 1，0k0)，若圆 C 上存在点 P，使
4、得APB90，则 m 的最大值为()A7B6 C5D4解析 由题意知，点 P 在以原点 O(0,0)为圆心，以 m 为半径的圆上，又因为点 P 在圆 C 上，所以只要两个圆有交点即可圆心 C(3,4)到 O(0,0)的距离为 5，所以|m2|5m2，解得 3m7，即 m 的最大值为 7.故选 A.答案 A2直线 ykx3被圆(x2)2(y3)24截得的弦长为2 3，则 k()A 33B 3C.33D.3答案 A解析 圆(x2)2(y3)24 的圆心坐标为(2,3)，半径 r2，圆心(2,3)到直线 ykx3 的距离 d|2k|k21，直线 ykx3 被圆(x2)2(y3)24 截得的弦长为 2
5、 3，由勾股定理得 r2d22 322，即 4 4k2k213，解得k 33.故选 A.3(2019朝阳区高三第一次模拟)已知圆 C：(x2)2y22，直线 l：ykx2，若直线 l 上存在点 P，过点 P 引圆的两条切线 l1，l2，使得 l1l2，则实数 k 的取值范围是()A0,2 3)(2 3，)B2 3，2 3C(，0)D0，)答案 D解析 圆心 C(2,0)，半径 r 2，设 P(x，y)，因为两切线 l1l2，如下图，PAPB，由切线性质定理，知 PAAC，PBBC，|PA|PB|，所以四边形PACB 为正方形，所以|PC|2，则有(x2)2y24，即点 P 的轨迹是以(2,0)
6、为圆心，2 为半径的圆.直线 l：ykx2 过定点(0，2)，直线方程即 kxy20，只要直线 l与 P 点的轨迹(圆)有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即 d|2k2|k212，解得 k0，即实数 k 的取值范围是0，)故选 D.3 真题VS押题 PART THREE 真题模拟1(2019厦门模拟)“C2”是“点(1，3)到直线 x 3yC0 的距离为 3”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析 若点(1，3)到直线 x 3yC0 的距离为 3，则有|13C|12 323，解得 C2 或 C10，故“C2”是“点(1，3)到直线 x 3y
7、C0的距离为 3”的充分不必要条件，选 B.答案 B2(2019山东省高三第一次大联考)已知直线 l：x 3y0 与圆 C：x2(y1)21 相交于 O，A 两点，O 为坐标原点，则COA 的面积为()A.34B.32C.3D2 3解析 由题意，直线 l，圆 C 均过原点，COA 为等腰三角形，且|CO|CA|1，OCA60，所以 SCOA12|CO|CA|sinOCA1212 32 34.故选 A.答案 A3(2019唐山市第一中学高三下学期冲刺(一)过点 P(1，1)且不垂直于 y 轴的直线 l 与圆 M：x2y22x30 交于 A，B 两点，点 C 在圆 M 上，若ABC 是正三角形，则
8、直线 l 的斜率是()A.34 B.32 C.23 D.43答案 D解析 根据题意得，圆 M：x2y22x30 即(x1)2y24，圆心 M为(1,0)，半径 r2，设正三角形 ABC 的高为 h，由题意知 M 为正三角形 ABC的中心，M 到直线 l 的距离 d13h，又 h 32|AB|，即 d 36|AB|，由垂径定理可得|AB|24 d2r24，可得|AB|2 3，d1，由题意知设直线 l 的斜率存在且不为 0，设为 k，则直线 l 的方程为 y1k(x1)，即 kxyk10，则有|2k1|1k21，解得 k43或 0(舍去)故选 D.4(2019合肥市高三第二次教学质量检测)在平面直
9、角坐标系 xOy 中，圆C 经过点(0,1)，(0,3)，且与 x 轴正半轴相切，若圆 C 上存在点 M，使得直线OM 与直线 ykx(k0)关于 y 轴对称，则 k 的最小值为()A.2 33B.3C2 3D4 3答案 D解析 圆 C 经过(0,1)，(0,3)，圆心在(0,1)，(0,3)的垂直平分线 y2上，又圆 C 与 x 轴正半轴相切，圆的半径为 2.设圆心坐标为(x0,2)，x00，由 x20(23)24，得 x0 3，圆心坐标为(3，2)，设 OM 的斜率为 k0，因为 k0，所以 k00，当 k0 最大时 k 最小，设 OM：yk0 x(k00)引切线，若切线长的最小值为 3，
10、则 r 的值为()A2 B.3C.2D1解析 从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心(3，0)到直线的距离最小时，切线长也最小圆心(3，0)到直线 y 3x1 的距离为|3210|32122，切线长的最小值为 22r2 3，解得 r1 或 r1(舍去)，选 D.答案 D7已知 P 是直线 kxy40(k0)上一动点，PA，PB 是圆 C：x2y22y0 的两条切线，切点分别为 A，B，若四边形 PACB 的最小面积为 2，则 k 的值为()A3B2 C1 D.12答案 B解析 S 四边形 PACB|PA|AC|PA|CP|2|CA|2|CP|21，可知当|C
11、P|最小，即 CPl 时，其面积最小，由最小面积|CP|212 得|CP|min 5，由点到直线的距离公式得|CP|min51k2 5，因为 k0，所以 k2.选 B.4 配套作业 PART FOUR 一、选择题1与直线 3x2y70 关于 y 轴对称的直线方程为()A3x2y70B3x2y70C2x3y70 D3x2y70解析 由题知，与直线 3x2y70 关于 y 轴对称的直线方程是 3(x)2y70，即 3x2y70，故选 B.答案 B2已知直线 3x4y30 与直线 6xmy140 平行，则它们之间的距离是()A.1710B.175C8D2解析 63m4 143，m8，直线 6xmy1
12、40 可化为 3x4y70，两平行线之间的距离 d|37|32422.答案 D3已知直线 l 经过圆 C：x2y22x4y0 的圆心，且坐标原点到直线l 的距离为 5，则直线 l 的方程为()Ax2y50 B2xy50Cx2y50 Dx2y30答案 C解析 圆心 C(1,2)，故 kOC2，|OC|5，所以 lOC，kl12，直线l 的方程为 y212(x1)，即 x2y50，故选 C.4(2019芜湖市四校高二上学期期末联考)圆 x2(y3)21 上的动点 P到点 Q(2,3)的距离的最小值为()A2B1 C3D4答案 B解析 圆 x2(y3)21 上的动点 P 到点 Q(2,3)的距离的最
13、小值为圆心到点 Q(2,3)的距离减去半径圆 x2(y3)21 的圆心坐标为 C(0,3)，半径为 r1，|CQ|r211，圆 x2(y3)21 上的动点 P 到点 Q(2,3)的距离的最小值为 1.故选 B.5集合 A(x，y)|x2y22mxm24，B(x，y)|x2y22x2my8m2，若 ABA，则实数 m 的范围是()A1,0B(1,0)C0,1D(0,1)答案 A解析 设 A，B 表示的两圆的圆心分别为 C1，C2，由 ABA，得 AB，则圆(xm)2y24 与圆(x1)2(ym)29 的关系是内切或内含，则|C1C2|m12m232，得 m2m0，即1m0.6已知点 P(1,2)
14、和圆 C：x2y2kx2yk20，过点 P 作圆 C 的切线有两条，则 k 的取值范围是()AkRBk2 33C2 33 k0 D2 33 k0，即2 33 k0.k2k9k122354 0 恒成立，k 的取值范围是2 33，2 33.7(2019内江、眉山等六市高三第二次诊断)若直线 xmym0 与圆(x1)2y21 相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则 m 的取值范围是()A(0,1)B(0,2)C(1,0)D(2,0)答案 D解析 圆与直线联立x12y21，xmym0，整理得(1m2)y22m(m1)ym22m0.直线与圆相交且有两个交点，方程有两个不相等的实数根，即 0，4m2
15、(m1)24(m22m)(m21)8m0，得 m0.圆(x1)2y21 上的点都在 y 轴右侧及原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限y1y2m22m1m2 0，解得2m0)，设 p：00)上至多有两个点到直线 x 3y30 的距离为 1，又圆心(1,0)到直线的距离 d|1 303|22，则 r213，所以 0r3，又 p：00)与圆 x2y24 交于不同的两点 A，B，O 是坐标原点，且有OA OB 2，那么 k 的取值范围是()A(3，)B 2，2 2)C 2，)D 3，2 2)答案 B解析 根据题意得，圆 x2y24 的圆心为(0,0
16、)，半径 r2，设圆心到直线 xyk0 的距离为 d，若直线 xyk0(k0)与圆 x2y24 交于不同的两点 A，B，则 d|k|11 k22，则有 k0)内一点，过点P 的直线 AB 交圆 C 于 A，B 两点，若ABC 面积的最大值为 4，则正实数 m的取值范围为_答案 3m 7解析 圆的标准方程为(x1)2(ym)28，则圆心坐标为(1，m)，半径 r2 2，SABC12r2sinACB4sinACB，当ACB90时，ABC 的面积取得最大值 4，此时ABC 为等腰直角三角形，AB 2r4，则点 C 到直线 AB 的距离等于 2，故 2PC2 2，即 2 1m22 2，41m28，即
17、3m20，3m 7.14(2019宜宾市高三第二次诊断)已知直线 l1：3xy60 与圆心为M(0,1)，半径为 5的圆相交于 A，B 两点，另一直线 l2：2kx2y3k30与圆 M 交于 C，D 两点，则 AB 的中点坐标为_，四边形 ACBD 面积的最大值为_答案 32，32 5 2解析 以 M(0,1)为圆心，半径为 5的圆的方程为 x2(y1)25，联立 3xy60，x2y125，解得 A(2,0)，B(1,3)，AB 的中点坐标为32，32.直线 l2：2kx2y3k30 恒过定点32，32，要使四边形的面积最大，只需直线 l2 过圆心即可，即 CD 为直径，此时 AB 垂直 CD，|AB|212032 10，四边形 ACBD 面积的最大值为 S12|AB|CD|12 102 55 2.本课结束
