1、第1讲 坐标系与参数方程 第二编 讲专题专题七 选修4系列考情研析 高考中,该部分内容常以直线、圆锥曲线(主要是圆、椭圆)几何元素为载体,主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化;同时进一步考查利用相应方程形式或几何意义解决元素位置关系、距离、面积等综合问题该部分试题难度一般不大.1 核心知识回顾 PART ONE 1.极坐标与直角坐标的互化公式设点 P 的直角坐标为(x,y),极坐标为(,),则(,)(x,y)(x,y)(,)xcos,ysin2x2y2,tanyxx02常见圆的极坐标方程(1)圆心在极点,半径为 r 的圆:(2)圆心为 M(a,0),半径为 a 的圆:(
2、3)圆心为 Ma,2,半径为 a 的圆:01 r(02)02 2acos22.03 2asin(0)3常见直线的极坐标方程(1)直线过极点,直线的倾斜角为:(2)直线过点 M(a,0),且垂直于极轴:(3)直线过点 Ma,2,且平行于极轴:01(R)02 cosa22.03 sina(00)在曲线 C:4sin 上,直线 l 过点 A(4,0)且与 OM 垂直,垂足为 P.(1)当 03时,求 0 及 l 的极坐标方程;(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时,求 P 点轨迹的极坐标方程解(1)因为 M(0,0)在曲线 C 上,当 03时,04sin32 3.由已知得|OP|OA
3、|cos32.设 Q(,)为 l 上除 P 外的任意一点在 RtOPQ 中,cos3|OP|2.经检验,点 P2,3 在曲线 cos3 2 上,所以,l 的极坐标方程为 cos3 2.(2)设 P(,),在 RtOAP 中,|OP|OA|cos4cos,即 4cos.因为 P 在线段 OM 上,且 APOM,所以 的取值范围是4,2.所以,P 点轨迹的极坐标方程为 4cos,4,2.直角坐标与极坐标方程的互化及应用(1)直角坐标方程化极坐标方程时,通常可以直接将 xcos,ysin代入即可(2)极坐标方程化直角坐标方程时,一般需要构造 2,sin,cos,常用的技巧有式子两边同乘以,两角和与差
4、的正弦、余弦展开等(2019武汉市高三调研)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C1:sin(4)22,C2:2134sin2.(1)求曲线 C1,C2 的直角坐标方程;(2)曲线 C1 和 C2 的交点为 M,N,求以 MN 为直径的圆与 y 轴的交点坐标解(1)由 sin(4)22 得(sincos4cossin4)22,将siny,cosx代入上式得 xy1.即 C1 的直角坐标方程为 xy1,同理,由 2134sin2可得 3x2y21,C2 的直角坐标方程为 3x2y21.(2)PMPN,先求以 MN 为直径的圆,设 M(x1,
5、y1),N(x2,y2),由3x2y21,xy1,得 3x2(1x)21,即 x2x10.x1x21,x1x21,则 MN 的中点坐标为(12,32).|MN|112|x1x2|2 141 10,以 MN 为直径的圆的方程为(x12)2(y32)2(102)2,令 x0,得14(y32)2104,即(y32)294,y0 或 y3,所求 P 点坐标为(0,0)或(0,3)考向 2参数方程及应用例 2(2019四川省华文大教育联盟高三第二次质量检测)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为xcos,ysin(为参数),直线 l 的参数方程为x2tcos,ytsin(t 为参数)(1)
6、求曲线 C 和直线 l 的普通方程;(2)直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,若|AB|1,求直线 l 的方程解(1)对曲线 C:xcos,ysin消去参数,得 x2y21.对直线 l:x2tcos,ytsin消去参数 t,当 cos0 时,l:x2;当 cos0 时,l:ytan(x2)(2)把x2tcos,ytsin代入 x2y21 中,得 t24tcos30.因为 16cos2120,所以 cos234.因为 t1t24cos,t1t23,|AB|t1t2|1,所以(t1t2)2(t1t2)24t1t216cos2121,所以 cos21316,所以 tan2sin2cos2 31
7、3.所以 tan 3913,即直线 l 的斜率为 3913.所以直线 l 的方程为 y 3913 x2 3913 或 y 3913 x2 3913.参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法:将参数解出来代入另一个方程消去参数,直线的参数方程通常用代入消参法(2)三角恒等式法:利用 sin2cos21 消去参数,圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法(3)常见消参数的关系式:t1t1;t1t2t1t24;2t1t2 21t21t221.(2019太原市高三模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 xtcos,y1tsin,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴
8、为极轴建立极坐标系,曲线C2 的极坐标方程为 2cos.(1)若曲线 C1 方程中的参数是,且 C1 与 C2 有且只有一个公共点,求 C1的普通方程;(2)已知点 A(0,1),若曲线 C1 方程中的参数是 t,00,1|AP|1|AQ|取得最大值 2 2.考向 3极坐标与参数方程的综合应用角度 1 极坐标方程中极径几何意义的应用例 3 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的方程为 x24y4.(1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程;(2)直线 l 的参数方程是xtcos,ytsin(t 为参数),l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|8,求 l
9、 的斜率解(1)由 xcos,ysin 可得抛物线 C 的极坐标方程 2cos24sin40.(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为(R),设 A,B 所对应的极径分别为 1,2,将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 2cos24sin40,因为 cos20(否则,直线 l 与抛物线 C 没有两个公共点),于是 12 4sincos2,12 4cos2,|AB|1 2|122412 16cos216sin2cos24cos2,由|AB|8 得 cos212,tan1,所以 l 的斜率为 1 或1.(1)几何意义:极径 表示极坐标平面内点 M 到极点 O 的距离(2)
10、应用:一般应用于过极点的直线与曲线相交,所得的弦长问题,需要用极径表示出弦长,结合根与系数的关系解题(2019哈尔滨市第三中学高三第一次模拟)已知曲线 C1:x 3y 3和C2:x 6cos,y 2sin(为参数)以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位(1)把曲线 C1 和 C2 的方程化为极坐标方程;(2)设 C1 与 x,y 轴交于 M,N 两点,且线段 MN 的中点为 P.若射线 OP与 C1,C2 交于 P,Q 两点,求 P,Q 两点间的距离解(1)C2 的参数方程为x 6cos,y 2sin(为参数),其普通方程为x26y221,又 C
11、1:x 3y 3,可得 C1 和 C2 的极坐标方程分别为 C1:sin(6)32,C2:2612sin2.角度 2 直线参数方程中参数几何意义的应用例 4(2019山东高三模拟)在直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为x1tcos,y3tsin(t 为参数,为直线 l 的倾斜角),点 P 和 F 的坐标分别为(1,3)和(1,0);以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 4cossin2.(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,且PAPB2PF 2,求 的值解(1)
12、由 4cossin2,得 2sin24cos,即 y24x,所以曲线 C 的直角坐标方程为 y24x.(2)将x1tcos,y3tsin,代入 y24x 得,t2sin2(6sin4cos)t130(sin20),由题意,得(6sin4cos)2413sin20,(*)设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,则 t1t2 13sin2,由点 P 在直线 l 上,得PAPB|PA|PB|t1t2|13sin2,2PF 22|PF|22(2232)226,所以 13sin226,即 sin 22,结合 0,所以 4或 34,将 代入(*),可知 4不适合,34 适合综上,34.对直线参数方程xx
13、0tcos,yy0tsin(t 为参数),其中 M0(x0,y0)为定点,为直线倾斜角的理解(1)几何意义:参数 t 的绝对值等于直线上动点 M 到定点 M0 的距离,若t0,则M0M 的方向向上;若 t0,所以可设该方程的两个根为 t1,t2,则 t1t2(2 3sin2cos),t1t25.所以|AB|t1t2|t1t224t1t22 3sin2cos2204 2.整理得(3sincos)23,故 2sin(6)3.因为 0,所以 63或 623,解得 6或 2,综上所述,直线 l 的倾斜角为6或2.3 真题VS押题 PART THREE 真题模拟1(2019大庆市高三第三次教学质量检测)
14、在直角坐标系 xOy 中,直线 l1的参数方程为x1 3t,y 3t(t 为参数)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 4cos,射线 l2 的极坐标方程为 6(0)(1)求直线 l1 的倾斜角及极坐标方程;(2)若射线 l2 与 l1 交于点 M,与圆 C 交于点 N(异于原点),求|OM|ON|.解(1)消去方程x1 3t,y 3t中的参数 t,整理得 x 3y40,直线 l1 的普通方程为 x 3y40.设直线 l1 的倾斜角为,则 tan 33,0,56.把 xcos,ysin 代入 x 3y40,可得直线 l1 的极坐标方程为cos 3sin4.(
15、2)把 6代入 l1 的极坐标方程中得|OM|1 43,把 6代入圆的极坐标方程中得|ON|22 3,|OM|ON|128.2(2019江苏高考)在极坐标系中,已知两点 A3,4,B2,2,直线 l的方程为 sin4 3.(1)求 A,B 两点间的距离;(2)求点 B 到直线 l 的距离解(1)设极点为 O.在OAB 中,A3,4,B2,2,由余弦定理,得|AB|32 2223 2cos24 5.(2)因为直线 l 的方程为 sin4 3,所以直线 l 过点3 2,2,倾斜角为34.又 B2,2,所以点 B 到直线 l 的距离为(3 2 2)sin34 2 2.3(2019郴州市高三第三次质量
16、检测)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为xtcos,y2tsin(t 为参数,0),点 M(0,2)以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 4 2cos(4).(1)求曲线 C2 的直角坐标方程,并指出其形状;(2)曲线 C1 与曲线 C2 交于 A,B 两点,若 1|MA|1|MB|174,求 sin 的值解(1)由 4 2cos(4),得 4cos4sin,所以 24cos4sin,即 x2y24x4y,(x2)2(y2)28.所以曲线 C2 是以(2,2)为圆心,2 2为半径的圆(2)将xtcos,y2tsin 代入(x2)2(y
17、2)28,整理得 t24tcos40,设点 A,B 所对应的参数分别为 t1,t2,则 t1t24cos,t1t24.1|MA|1|MB|MA|MB|MA|MB|t1|t2|t1t2|t1t2|4 t1t224t1t24 16cos2164 174.解得 cos2 116,则 sin 154.解(1)由题设可得,弧所在圆的极坐标方程分别为 2cos,2sin,2cos,所以 M1 的极坐标方程为 2cos04,M2 的极坐标方程为 2sin434,M3 的极坐标方程为 2cos34 .(2)设 P(,),由题设及(1)知若 04,则 2cos 3,解得 6;若434,则 2sin 3,解得 3
18、或 23;若34,则2cos 3,解得 56.综上,P 的极坐标为3,6 或3,3 或3,23 或3,56.金版押题5在平面直角坐标系中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 2(13sin2)4,曲线 C2:x22cos,y2sin(为参数)(1)求曲线 C1 的直角坐标方程和 C2 的普通方程;(2)极坐标系中两点 A(1,0),B2,02 都在曲线 C1 上,求121122的值解(1)由题意可得,曲线 C1 的直角坐标方程为x24y21,C2 的普通方程为(x2)2y24.(2)由点 A,B 在曲线 C1 上,得21413sin20,22413
19、sin202,则12113sin204,12213cos204,因此12112213sin20413cos20454.4 配套作业 PART FOUR 1(2019广西八市高三联合考试)已知曲线 l 的参数方程为x235t,y145t(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 4 2cos(4).(1)求曲线 C 的直角坐标方程;(2)设 P(2,1),直线 l 与曲线 C 交于点 A,B,求|PA|PB|的值解(1)由 4 2cos(4),得 4cos4sin,24cos4sin,又 xcos,ysin,x2y24x4y,即曲线 C 的直角坐标方程
20、为(x2)2(y2)28.(2)将x235t,y145t代入 C 的直角坐标方程,得925t2(45t1)28,t285t70,设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2,t1t27.则|PA|PB|t1t2|7.2以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程是 2sin6 5 3,射线 OM:6,在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为x2cos,y22sin(为参数)(1)求圆 C 的普通方程及极坐标方程;(2)射线 OM 与圆 C 的交点为 O,P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长解(1)由圆 C 的参数方程x2cos,y22sin(为参数
21、)知,圆 C 的圆心为(0,2),半径为 2,所以圆 C 的普通方程为 x2(y2)24,将 xcos,ysin 代入 x2(y2)24,得圆 C 的极坐标方程为 4sin.(2)设 P(1,1),则由4sin,6,解得 12,16.设 Q(2,2),则由2sin6 5 3,6,解得 25,26,所以线段 PQ 的长|PQ|12|3.3在平面直角坐标系 xOy 中,倾斜角为 2 的直线 l 的参数方程为x1tcos,ytsin(t 为参数)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 cos24sin0.(1)写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程
22、;(2)已知点 P(1,0)若点 M 的极坐标为1,2,直线 l 经过点 M 且与曲线C 相交于 A,B 两点,设线段 AB 的中点为 Q,求|PQ|的值解(1)直线 l 的参数方程为x1tcos,ytsin(t 为参数),直线 l 的普通方程为 ytan(x1)由 cos24sin0 得 2cos24sin0,即 x24y0.曲线 C 的直角坐标方程为 x24y.(2)点 M 的极坐标为1,2,点 M 的直角坐标为(0,1)tan1,直线 l 的倾斜角 34.直线 l 的参数方程为x1 22 t,y 22 t(t 为参数)代入 x24y,得 t26 2t20.设 A,B 两点对应的参数分别为
23、 t1,t2.Q 为线段 AB 的中点,点 Q 对应的参数值为t1t226 22 3 2.又点 P(1,0),则|PQ|t1t223 2.4(2019兰州市高三二诊)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为x22cos,y2sin(为参数),以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 4sin.(1)求曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程;(2)已知曲线 C3 的极坐标方程为,0,R,点 A 是曲线 C3 与C1 的交点,点 B 是曲线 C3 与 C2 的交点,且 A,B 均异于原点 O,且|AB|4 2,求实数 的值解(1)由曲线
24、C1 的参数方程为x22cos,y2sin(为参数),消去参数得曲线 C1 的普通方程为(x2)2y24,因为曲线 C2 的极坐标方程为 4sin,所以 24sin.所以 C2 的直角坐标方程为 x2y24y,整理得 x2(y2)24.(2)C1:(x2)2y24 化为极坐标方程 4cos,所以|AB|AB|4|sincos|4 2sin44 2,所以 sin(4)1,所以 42k(kZ)即 34 k(kZ)又因为 00,为参数)以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为 2sin4 3.(1)当 t1 时,求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值;(
25、2)若曲线 C 上的所有点都在直线 l 的下方,求实数 t 的取值范围解(1)由 2sin4 3 得 sincos3,把 xcos,ysin 代入得直线 l 的直角坐标方程为 xy30,当 t1 时,曲线 C 的参数方程为xcos,ysin(为参数),消去参数得曲线 C 的普通方程为 x2y21,曲线 C 为圆,且圆心为 O,则点 O 到直线 l 的距离 d|003|23 22,曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 13 22.(2)曲线 C 上的所有点均在直线 l 的下方,对任意的 R,tcossin30 恒成立,即 t21cos()3其中tan1t 恒成立,t210,0t0,解得3m1,设 M,N 对应的参数分别为 t1,t2,则 t1t2m21,由 t 的几何意义得,|AM|AN|t1|t2|t1t2|m21|2,解得 m 3,又3m1,m 3.本课结束