1、第1讲 坐标系与参数方程 第二编 讲专题专题七 选修4系列考情研析 高考中，该部分内容常以直线、圆锥曲线(主要是圆、椭圆)几何元素为载体，主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化；同时进一步考查利用相应方程形式或几何意义解决元素位置关系、距离、面积等综合问题该部分试题难度一般不大.1 核心知识回顾 PART ONE 1.极坐标与直角坐标的互化公式设点 P 的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，)，则(，)(x，y)(x，y)(，)xcos，ysin2x2y2，tanyxx02常见圆的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为 r 的圆：(2)圆心为 M(a,0)，半径为 a 的圆：(
2、3)圆心为 Ma，2，半径为 a 的圆：01 r(02)02 2acos22.03 2asin(0)3常见直线的极坐标方程(1)直线过极点，直线的倾斜角为：(2)直线过点 M(a,0)，且垂直于极轴：(3)直线过点 Ma，2，且平行于极轴：01(R)02 cosa22.03 sina(00)在曲线 C：4sin 上，直线 l 过点 A(4,0)且与 OM 垂直，垂足为 P.(1)当 03时，求 0 及 l 的极坐标方程；(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程解(1)因为 M(0，0)在曲线 C 上，当 03时，04sin32 3.由已知得|OP|OA
3、|cos32.设 Q(，)为 l 上除 P 外的任意一点在 RtOPQ 中，cos3|OP|2.经检验，点 P2，3 在曲线 cos3 2 上，所以，l 的极坐标方程为 cos3 2.(2)设 P(，)，在 RtOAP 中，|OP|OA|cos4cos，即 4cos.因为 P 在线段 OM 上，且 APOM，所以 的取值范围是4，2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为 4cos，4，2.直角坐标与极坐标方程的互化及应用(1)直角坐标方程化极坐标方程时，通常可以直接将 xcos，ysin代入即可(2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造 2，sin，cos，常用的技巧有式子两边同乘以，两角和与差
4、的正弦、余弦展开等(2019武汉市高三调研)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1：sin(4)22，C2：2134sin2.(1)求曲线 C1，C2 的直角坐标方程；(2)曲线 C1 和 C2 的交点为 M，N，求以 MN 为直径的圆与 y 轴的交点坐标解(1)由 sin(4)22 得(sincos4cossin4)22，将siny，cosx代入上式得 xy1.即 C1 的直角坐标方程为 xy1，同理，由 2134sin2可得 3x2y21，C2 的直角坐标方程为 3x2y21.(2)PMPN，先求以 MN 为直径的圆，设 M(x1，
5、y1)，N(x2，y2)，由3x2y21，xy1，得 3x2(1x)21，即 x2x10.x1x21，x1x21，则 MN 的中点坐标为(12，32).|MN|112|x1x2|2 141 10，以 MN 为直径的圆的方程为(x12)2(y32)2(102)2，令 x0，得14(y32)2104，即(y32)294，y0 或 y3，所求 P 点坐标为(0,0)或(0,3)考向 2参数方程及应用例 2(2019四川省华文大教育联盟高三第二次质量检测)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为xcos，ysin(为参数)，直线 l 的参数方程为x2tcos，ytsin(t 为参数)(1)
6、求曲线 C 和直线 l 的普通方程；(2)直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，若|AB|1，求直线 l 的方程解(1)对曲线 C：xcos，ysin消去参数，得 x2y21.对直线 l：x2tcos，ytsin消去参数 t，当 cos0 时，l：x2；当 cos0 时，l：ytan(x2)(2)把x2tcos，ytsin代入 x2y21 中，得 t24tcos30.因为 16cos2120，所以 cos234.因为 t1t24cos，t1t23，|AB|t1t2|1，所以(t1t2)2(t1t2)24t1t216cos2121，所以 cos21316，所以 tan2sin2cos2 31
7、3.所以 tan 3913，即直线 l 的斜率为 3913.所以直线 l 的方程为 y 3913 x2 3913 或 y 3913 x2 3913.参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法(2)三角恒等式法：利用 sin2cos21 消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法(3)常见消参数的关系式：t1t1；t1t2t1t24；2t1t2 21t21t221.(2019太原市高三模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 xtcos，y1tsin，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴
8、为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 2cos.(1)若曲线 C1 方程中的参数是，且 C1 与 C2 有且只有一个公共点，求 C1的普通方程；(2)已知点 A(0,1)，若曲线 C1 方程中的参数是 t,00，1|AP|1|AQ|取得最大值 2 2.考向 3极坐标与参数方程的综合应用角度 1 极坐标方程中极径几何意义的应用例 3 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 的方程为 x24y4.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；(2)直线 l 的参数方程是xtcos，ytsin(t 为参数)，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|8，求 l
9、 的斜率解(1)由 xcos，ysin 可得抛物线 C 的极坐标方程 2cos24sin40.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为(R)，设 A，B 所对应的极径分别为 1，2，将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 2cos24sin40，因为 cos20(否则，直线 l 与抛物线 C 没有两个公共点)，于是 12 4sincos2，12 4cos2，|AB|1 2|122412 16cos216sin2cos24cos2，由|AB|8 得 cos212，tan1，所以 l 的斜率为 1 或1.(1)几何意义：极径 表示极坐标平面内点 M 到极点 O 的距离(2)
10、应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出弦长，结合根与系数的关系解题(2019哈尔滨市第三中学高三第一次模拟)已知曲线 C1：x 3y 3和C2：x 6cos，y 2sin(为参数)以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位(1)把曲线 C1 和 C2 的方程化为极坐标方程；(2)设 C1 与 x，y 轴交于 M，N 两点，且线段 MN 的中点为 P.若射线 OP与 C1，C2 交于 P，Q 两点，求 P，Q 两点间的距离解(1)C2 的参数方程为x 6cos，y 2sin(为参数)，其普通方程为x26y221，又 C
11、1：x 3y 3，可得 C1 和 C2 的极坐标方程分别为 C1：sin(6)32，C2：2612sin2.角度 2 直线参数方程中参数几何意义的应用例 4(2019山东高三模拟)在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为x1tcos，y3tsin(t 为参数，为直线 l 的倾斜角)，点 P 和 F 的坐标分别为(1,3)和(1,0)；以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 4cossin2.(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且PAPB2PF 2，求 的值解(1)
12、由 4cossin2，得 2sin24cos，即 y24x，所以曲线 C 的直角坐标方程为 y24x.(2)将x1tcos，y3tsin，代入 y24x 得，t2sin2(6sin4cos)t130(sin20)，由题意，得(6sin4cos)2413sin20，(*)设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 t1t2 13sin2，由点 P 在直线 l 上，得PAPB|PA|PB|t1t2|13sin2，2PF 22|PF|22(2232)226，所以 13sin226，即 sin 22，结合 0，所以 4或 34，将 代入(*)，可知 4不适合，34 适合综上，34.对直线参数方程xx
13、0tcos，yy0tsin(t 为参数)，其中 M0(x0，y0)为定点，为直线倾斜角的理解(1)几何意义：参数 t 的绝对值等于直线上动点 M 到定点 M0 的距离，若t0，则M0M 的方向向上；若 t0，所以可设该方程的两个根为 t1，t2，则 t1t2(2 3sin2cos)，t1t25.所以|AB|t1t2|t1t224t1t22 3sin2cos2204 2.整理得(3sincos)23，故 2sin(6)3.因为 0，所以 63或 623，解得 6或 2，综上所述，直线 l 的倾斜角为6或2.3 真题VS押题 PART THREE 真题模拟1(2019大庆市高三第三次教学质量检测)
14、在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为x1 3t，y 3t(t 为参数)以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 4cos，射线 l2 的极坐标方程为 6(0)(1)求直线 l1 的倾斜角及极坐标方程；(2)若射线 l2 与 l1 交于点 M，与圆 C 交于点 N(异于原点)，求|OM|ON|.解(1)消去方程x1 3t，y 3t中的参数 t，整理得 x 3y40，直线 l1 的普通方程为 x 3y40.设直线 l1 的倾斜角为，则 tan 33，0，56.把 xcos，ysin 代入 x 3y40，可得直线 l1 的极坐标方程为cos 3sin4.(
15、2)把 6代入 l1 的极坐标方程中得|OM|1 43，把 6代入圆的极坐标方程中得|ON|22 3，|OM|ON|128.2(2019江苏高考)在极坐标系中，已知两点 A3，4，B2，2，直线 l的方程为 sin4 3.(1)求 A，B 两点间的距离；(2)求点 B 到直线 l 的距离解(1)设极点为 O.在OAB 中，A3，4，B2，2，由余弦定理，得|AB|32 2223 2cos24 5.(2)因为直线 l 的方程为 sin4 3，所以直线 l 过点3 2，2，倾斜角为34.又 B2，2，所以点 B 到直线 l 的距离为(3 2 2)sin34 2 2.3(2019郴州市高三第三次质量
16、检测)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为xtcos，y2tsin(t 为参数，0)，点 M(0，2)以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 4 2cos(4).(1)求曲线 C2 的直角坐标方程，并指出其形状；(2)曲线 C1 与曲线 C2 交于 A，B 两点，若 1|MA|1|MB|174，求 sin 的值解(1)由 4 2cos(4)，得 4cos4sin，所以 24cos4sin，即 x2y24x4y，(x2)2(y2)28.所以曲线 C2 是以(2，2)为圆心，2 2为半径的圆(2)将xtcos，y2tsin 代入(x2)2(y
17、2)28，整理得 t24tcos40，设点 A，B 所对应的参数分别为 t1，t2，则 t1t24cos，t1t24.1|MA|1|MB|MA|MB|MA|MB|t1|t2|t1t2|t1t2|4 t1t224t1t24 16cos2164 174.解得 cos2 116，则 sin 154.解(1)由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为 2cos，2sin，2cos，所以 M1 的极坐标方程为 2cos04，M2 的极坐标方程为 2sin434，M3 的极坐标方程为 2cos34 .(2)设 P(，)，由题设及(1)知若 04，则 2cos 3，解得 6；若434，则 2sin 3，解得 3
18、或 23；若34，则2cos 3，解得 56.综上，P 的极坐标为3，6 或3，3 或3，23 或3，56.金版押题5在平面直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 2(13sin2)4，曲线 C2：x22cos，y2sin(为参数)(1)求曲线 C1 的直角坐标方程和 C2 的普通方程；(2)极坐标系中两点 A(1，0)，B2，02 都在曲线 C1 上，求121122的值解(1)由题意可得，曲线 C1 的直角坐标方程为x24y21，C2 的普通方程为(x2)2y24.(2)由点 A，B 在曲线 C1 上，得21413sin20，22413
19、sin202，则12113sin204，12213cos204，因此12112213sin20413cos20454.4 配套作业 PART FOUR 1(2019广西八市高三联合考试)已知曲线 l 的参数方程为x235t，y145t(t 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 4 2cos(4).(1)求曲线 C 的直角坐标方程；(2)设 P(2,1)，直线 l 与曲线 C 交于点 A，B，求|PA|PB|的值解(1)由 4 2cos(4)，得 4cos4sin，24cos4sin，又 xcos，ysin，x2y24x4y，即曲线 C 的直角坐标方程
20、为(x2)2(y2)28.(2)将x235t，y145t代入 C 的直角坐标方程，得925t2(45t1)28，t285t70，设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2，t1t27.则|PA|PB|t1t2|7.2以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程是 2sin6 5 3，射线 OM：6，在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为x2cos，y22sin(为参数)(1)求圆 C 的普通方程及极坐标方程；(2)射线 OM 与圆 C 的交点为 O，P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长解(1)由圆 C 的参数方程x2cos，y22sin(为参数
21、)知，圆 C 的圆心为(0,2)，半径为 2，所以圆 C 的普通方程为 x2(y2)24，将 xcos，ysin 代入 x2(y2)24，得圆 C 的极坐标方程为 4sin.(2)设 P(1，1)，则由4sin，6，解得 12，16.设 Q(2，2)，则由2sin6 5 3，6，解得 25，26，所以线段 PQ 的长|PQ|12|3.3在平面直角坐标系 xOy 中，倾斜角为 2 的直线 l 的参数方程为x1tcos，ytsin(t 为参数)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 cos24sin0.(1)写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程
22、；(2)已知点 P(1,0)若点 M 的极坐标为1，2，直线 l 经过点 M 且与曲线C 相交于 A，B 两点，设线段 AB 的中点为 Q，求|PQ|的值解(1)直线 l 的参数方程为x1tcos，ytsin(t 为参数)，直线 l 的普通方程为 ytan(x1)由 cos24sin0 得 2cos24sin0，即 x24y0.曲线 C 的直角坐标方程为 x24y.(2)点 M 的极坐标为1，2，点 M 的直角坐标为(0,1)tan1，直线 l 的倾斜角 34.直线 l 的参数方程为x1 22 t，y 22 t(t 为参数)代入 x24y，得 t26 2t20.设 A，B 两点对应的参数分别为
23、 t1，t2.Q 为线段 AB 的中点，点 Q 对应的参数值为t1t226 22 3 2.又点 P(1,0)，则|PQ|t1t223 2.4(2019兰州市高三二诊)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为x22cos，y2sin(为参数)，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 4sin.(1)求曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；(2)已知曲线 C3 的极坐标方程为，0，R，点 A 是曲线 C3 与C1 的交点，点 B 是曲线 C3 与 C2 的交点，且 A，B 均异于原点 O，且|AB|4 2，求实数 的值解(1)由曲线
24、C1 的参数方程为x22cos，y2sin(为参数)，消去参数得曲线 C1 的普通方程为(x2)2y24，因为曲线 C2 的极坐标方程为 4sin，所以 24sin.所以 C2 的直角坐标方程为 x2y24y，整理得 x2(y2)24.(2)C1：(x2)2y24 化为极坐标方程 4cos，所以|AB|AB|4|sincos|4 2sin44 2，所以 sin（4）1，所以 42k(kZ)即 34 k(kZ)又因为 00，为参数)以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 2sin4 3.(1)当 t1 时，求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值；(
25、2)若曲线 C 上的所有点都在直线 l 的下方，求实数 t 的取值范围解(1)由 2sin4 3 得 sincos3，把 xcos，ysin 代入得直线 l 的直角坐标方程为 xy30，当 t1 时，曲线 C 的参数方程为xcos，ysin(为参数)，消去参数得曲线 C 的普通方程为 x2y21，曲线 C 为圆，且圆心为 O，则点 O 到直线 l 的距离 d|003|23 22，曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 13 22.(2)曲线 C 上的所有点均在直线 l 的下方，对任意的 R，tcossin30 恒成立，即 t21cos()3其中tan1t 恒成立，t210，0t0，解得3m1，设 M，N 对应的参数分别为 t1，t2，则 t1t2m21，由 t 的几何意义得，|AM|AN|t1|t2|t1t2|m21|2，解得 m 3，又3m1，m 3.本课结束