1、4.1 指数4.1.1次方根与分数指数幂情境导入 为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数.初中已经学习过整数指数幂.在学习幂函数时，我们把正方形的边长关于面积的函数=记作=12.像这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面从已知的平方根、立方根的意义展开研究.情境导入 我们知道：如果2=，那么叫做的平方根.例如，2就是4的平方根.如果3=，那么叫做的立方根.例如，2就是8的立方根.类似地，由于(2)4=16，我们把2叫做16的四次方根；由于25=32，2叫做32的五次方根.探索新知 一般地，如果=，那么叫做的次方根，其中 1，且 .当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根
2、是一个负数.这时，的次方根用符号表示.例如，325=2，325=2，63=2.当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示表示，负的次方根用符号表示表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(0).例如，164=2，164=2，164=2.探索新知 负数没有偶次方根.0的任何次方根都是0，记作0=0.式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.根据次方根的意义，可得：()=.例如，(5)2=5,(35)5=3.探索新知 思考1：表示什么意思呢？=一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么呢？可以得到：当是奇数时，=；当是偶数时，=|=,0,0.例析 例1.求
3、下列各式的值：(1)(8)33;(2)(10)2;(3)(3 )44;(4)()2.解：(1)(8)33=8;(2)(10)2=|10|=10;(3)(3 )44=|3|=3;(4)()2=|=,.当是奇数时，=；当是偶数时，=|=,0,0)105=(2)55=2 =105 ;124=(3)44=3=124.这就是说，当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式 可以表示为分数指数幂的形式.探索新知 思考3：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把 23，54等写成下列形式：23=23(0)，=12
4、(0)，54=54(0)，我们希望整数指数幂的性质，如()=，对分数指数幂仍然适用.由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是 =(0，1).于是，在条件 0，1下，根式都可以写成分数指数幂的形式.探索新知 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，=1=1(0，1).例如，543=1543=1543，23=123=123.与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定，0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.规定了分数指数幂的意义后，幂中指数的取值范围就从整数拓展到了有理数.探索新知 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数,均有下面的运算性质.(1
5、)=+(0,);(2)()=(0,);(3)()=(0,0,).探索新知 辨析1：判断正误.(1)(42)(2)3=78.()(2)(23)3(2)3=33.()(3)(3)2(2)3=66.()(4)(3)2(2)3=1818.()辨析2:(3)2=_.答案：.答案：，.例析 例2.求值：(1)823;(2)(1681)34.解：(1)823=(23)23=2323=22=4;(2)(1681)34=(8116)34=(3424)34=(32)434=(32)3=278.例3.用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中 0）(1)2 23;(2)3.解：(1)2 23=223=2+23=83
6、;(2)3=(13)12=(43)12=23.例析 例4.计算下列各式(式中字母均是正数)：(1)(22312)(61213)(31656)；(2)(1438)8；解：(1)(22312)(61213)(31656)=2 (6)(3)23+121612+1356 =40 =4(2)(1438)8=(14)8(38)8 =23 =23 例析(3)(233)24=(23 32)12 =23 12 32 12 =16 =6.例4.计算下列各式(式中字母均是正数)：(3)(233)24.4.1.2 无理数指数幂及其运算性质探索新知 上面我们将(0)中指数的范围从整数拓展到了有理数.那么，当指数是无理数
7、时，的意义是什么？它是确定的一个数吗？如果是，那么它有什么运算性质？在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数.类似地，也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.探索新知 探索新知 一般地，无理数指数幂(0，为无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂(0)中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数.实数指数幂是一个确定的实数.整数指数幂的运算性质也适应于实数指数幂，即对于任意实数,均有下面的运算性质.(1)=+(0,);(2)()=(0,);(3)()=(0,0,).辨析1：化简(+)()=_.答案：1.练习 题型一：根式的化简与求值 例1.化简：(1)(3 )44;(2)(1)2+(1
8、)2+(1 )33;(3)3+2 2+3 2 2.答案：(1)3;(2)1;(3)2 2.练习 变1.(4)24，(4)2+14，45，54(，)各式中，一定有意义的是（）.变2.设3 3,求 2 2+1 2+6+9的值.变1答案：变2答案：原式=2 2,3 1,4,1 3.练习 题型二：根式与分数指数幂的互化 例2.将下列根式化成分数指数幂形式.(1)34；(2)；(3)233；(4)(3)23.答案：(1)712;(2)136;(3)7632.练习 变2.用分数指数幂表示下列各式：(1)36(0)；(2)(234)23(0),则3+3等于（）.A.0 B.2 C.2 D.32 答案：.课堂小结&作业 小结：1.等于？2.指数幂的运算性质？作业：1.P107 练习1.2.3题；2.P109 练习1题&习题4.1 1-5题.
