1、第41课推理与证明【自主学习】第41课 推理与证明(本课时对应学生用书第106107页)自主学习回归教材1.(选修1-2P31例1改编)前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的.蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.则结论是 .【答案】所有的爬行动物都是用肺呼吸的2.(选修1-2P32例3改编)由，0，则与之间的大小关系为.【答案】3.(选修1-2P33练习3改编)观察下列等式：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，从中归纳出一般结论是 .【答案】1+3+5+(2n+1)=(n+1)2 (nN*)4.(选修1-2P47定义改编)分析法是从要证的结论
2、出发，寻求使它成立的条件.【答案】充分5.(选修1-2P49例1改编)要证明“正弦函数没有比2小的正周期”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是.(填序号)反证法；分析法；综合法.【答案】1.推理一般包括合情推理和演绎推理.其中合情推理又包括归纳推理和类比推理.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提、小前提、结论.2.归纳推理是由部分到整体，由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理.3.证明分直接证明和间接证明.直接证明又有综合法、分析法等.常用的间接证明方法是反证法.4.综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，达到待证的结论.分析法是从待证的结论出
3、发，寻求结论成立的充分条件，达到题设的已知条件或已被证明的事实.反证法是从假设结论不成立入手，推出与已知条件、公理、定理或显然成立的事实等矛盾的结果，从而判定假设错误，结论成立.一般步骤为反设、归谬、存真.【要点导学】要点导学各个击破合情推理例1一种十字绣作品由相同的小正方形构成，如图，图分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照如此规律，第n步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f(n).(例1)(1)求出f(2)，f(3)，f(4)的值；(2)利用归纳推理，归纳出f(n+1)与f(n)的关系式；(3)猜想f(n)的表达式，并写出推导过程.【思维引导】(1)先观察图形，得出f(1)，f(2
4、)，f(3)，f(4)的值，从中得出f(n+1)与f(n)的关系；(2)归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，所得的推理不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也就越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法；(3)数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，再由递推关系求数列的通项公式，常用方法有：一是求出数列的前几项，再归纳总结出数列的一个通项公式；二是将已知递推关系式整理、变形，变成等差数列或者等比数列，或用累加法，累乘法，迭代法求通项.【解答】(1)图中只有一个小正方形，得f(1)=1； 图中有3层，以第2层
5、为对称轴，有 1+3+1=5个小正方形，得f(2)=5；图中有5层，以第3层为对称轴，有1+3+5+3+1=13个小正方形，得f(3)=13；图中有7层，以第4层为对称轴，有 1+3+5+7+5+3+1=25个小正方形，得f(4)=25；(2)因为f(1)=1，f(2)=5，f(3)=13，f(4)=25，所以f(2)-f(1)=4=41，f(3)-f(2)=8=42，f(4)-f(3)=12=43，所以f(n)-f(n-1)=4(n-1)=4n-4，所以f(n+1)与f(n)的关系式为f(n+1)-f(n)=4n.(3)猜想f(n)的表达式为2n2-2n+1.推导过程如下：由(2)可知：f(
6、2)-f(1)=4=41，f(3)-f(2)=8=42，f(4)-f(3)=12=43，f(n)-f(n-1)=4(n-1)=4n-4，将上述n-1个式子相加，得f(n)-f(1)=41+2+3+4+(n-1)，解得f(n)=2n2-2n+1，故f(n)的表达式为f(n)=2n2-2n+1.【精要点评】归纳推理的主要入手点是条件的形式特点或意义特点，根据发现的特点进行合理的猜想，再给出证明.例2在等差数列an中，若a10=0，则有等式a1+a2+an=a1+a2+a19-n(n19，nN*)成立，类比上述性质，相应地，在等比数列bn中，若b9=1，则有等式成立.【思维引导】等差数列用加减法定义
7、性质用加法表述；类比地，可考虑：等比数列用乘除法定义性质用乘法表述.【答案】b1b2bn=b1b2b17-n(n17，nN*)【解析】对于等差数列an，若ak=0，则an+1+a2k-1-n=an+2+a2k-2-n=ak+ak=0，所以有a1+a2+an=a1+a2+an+(an+1+an+2+a2k-2-n+a2k-1-n)(n2k-1，nN*)，从而对等比数列bn，若bk=1，则有等式b1b2bn=b1b2b2k-1-n(n0，则-a+-2.【思维引导】分析法证明的思路是执果索因，即寻找使结论成立的充分条件，通常对于分式不等式、无理不等式的证明常采用分析法，分析法要确保分析得到的最终结果
8、必须是一个正确的结论，如题目提供的条件、某条公理、某条定理等，注意分析法证题的规范表述，防止循环论证.【解答】要证-a+-2，只要证+2a+.因为a0，故只要证，即证a2+4+4a2+2+2+2，从而只要证2，只要证42，即证a2+2，而该不等式显然成立，故原不等式成立.【精要点评】分析法除了用来证明外，还能引导学生用分析法思考问题.培养学生逆向思维的能力，要求学生学会用分析法逆向解决问题，用分析法写综合法过程.反证法证明例5若x，y都是正实数，且x+y2，求证：2与2中至少有一个成立.【思维引导】对于直接难以证明或含否定词或含至多至少的命题的证明，通常考虑使用反证法证明.本题中含有“至少”，
9、所以本题的证明采用反证法证明较好.先假设原命题的结论不正确，即原命题结论的反面成立，即2，2同时成立，因为x，y均为正实数，进而可得1+x2y，1+y2x，再由同向不等式的可加性得到x+y2，这与已知矛盾，进而可得假设不正确，从而肯定原命题的结论成立.【解答】假设2与2矛盾.因此假设不成立，所以2与，(1-b)c，(1-c)a，则由基本不等式可得(1-a)+b22=1，(1-b)+c22=1，(1-c)+a22=1，于是(1-a)+b+(1-b)+c+(1-c)+a=31+1+1=3，这与事实矛盾，从而假设不成立，原命题成立.所以(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a中至少有一个不大于.1.
10、 观察下列等式：(1+1)=21，(2+1)(2+2)=2213，(3+1)(3+2)(3+3)=23135，照此规律，第n个等式为.【答案】(n+1)(n+2)(n+3)(n+n)=2n135(2n-1)2. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数.13610(第2题)将三角形数1，3，6，10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测：b2 017是数列an中的第项.【答案】5 044【解析】由已知可得an+1=an+(n+1)，所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a
11、1)+a1=n+(n-1)+(n-2)+1=，所以三角形数依次为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，由此可得每5个数中有两个数能被5整除，把5个数分成1组，后两个数能被5整除，b2 017是数列an中的第1 009组的第四个数，所以b2 017是数列an中的第1 0085+4=5 044 项.3. (2015湖北卷)已知集合A=(x，y)|x2+y21，x，yZ，B=(x，y)|x|2，|y|2，x，yR，定义集合AB=(x1+x2，y1+y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B，则AB中元素的个数为.【答案】45【解析】因为集合A=(x，
12、y)|x2+y21，x，yZ，所以集合A中有5个元素(即5个点)，即图中圆中的整点，集合B=(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ中有25个元素(即25个点)，即图中正方形ABCD中的整点，集合AB=(x1+x2，y1+y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点(除去四个顶点)，即77-4=45个.(第3题)4.(2015全国卷)设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d.(1)求证：若abcd，则+；(2)求证：+是|a-b|+，只需证(+)2(+)2，即证a+b+2 c+d+2，由题设知a+b=c+d，所以只需证22，即证abcd，由题设知abcd
13、成立，因此+得证.(2)若|a-b|c-d|，则(a-b)2(c-d)2，即(a+b)2-4abcd.由(1)得+.若+，则(+)2(+)2，即a+b+2c+d+2.因为a+b=c+d，所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2，因此|a-b|+是|a-b|c-d|的充要条件.5.已知xR，a=x2+，b=2-x，c=x2-x+1，试证明a，b，c中至少有一个不小于1.【解答】假设a，b，c均小于1，即a1，b1，c1，则有a+b+c0”的充要条件；命题：对任意有限集A，B，C，d(A，C)d(A，B)+d(B，C).其中正确的是.(填序号)3(20
14、15吉林模拟)如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来(n=1，2，3，)，则在第n个图形中共有个顶点. (第3题)4(2015广东卷)若空间中n(n2)个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值为.5已知边长分别为a，b，c的ABC的面积为S，内切圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，则OAB，OBC，OAC的面积分别为cr，ar，br.由S=cr+ar+br，得r=.类比得：四面体的体积为V，四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，则内切球的半径R= .6(2015泉州联考)已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)，设f(x)是函数y=f(x)的导函数，f(x)是f(x
15、)的导函数.若方程f(x)=0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现，任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数f(x)=x3-x2+3x-，请你根据该同学的发现，计算f +f +f + +f =.7(2015陕西卷)观察下列等式：1-=，1-+-=+，1-+-+-=+，据此规律，第n个等式为 .8过点P(-1， 0)作曲线C：y=ex的切线，切点为T1，设T1在x轴上的投影是点H1；过点H1再作曲线C的切线，切点为T2，设T2在x轴上的投影是点H2；.依次下去，得到第n+1(nN)个切点Tn+1，
16、则点Tn+1的坐标为.二、 解答题 9已知sin245+sin2105+sin2165=；sin210+sin270+sin2130=.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明你的结论.10根据要求证明下列各题：(1)用分析法证明：-.(2)用反证法证明：1，3不可能是一个等差数列中的三项.11已知数列an满足a1=0，且-=1(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=，记Sn=，求证：Sn0，y0时，xy+(2y)x的最小值是 .13(2015广东卷)若集合E=(p，q，r，s)|0ps4，0qs4，0rs4且p，q，r，sN，F=(t，u，v，w)|0tu4，0v-，即证+，
17、即证(+)2(+)2，即证8+28+2，即证，即证1512，而1512显然成立，所以-.(2)假设1，3是某一个等差数列中的三项，且分别是第m，n，k项(m，n，kN*)，则该数列的公差d=，则-1=.因为m，n，kN*，所以(n-m)，(k-m)Z，所以为有理数，所以-1是有理数，这与-1是无理数相矛盾，故假设不成立，所以1，3不可能是某等差数列的三项.11(1)由题设得-=1，即是公差为1的等差数列.又=1，故=n，所以an=1-.(2)由(1)得bn=-，所以Sn=bk=1-0，y0，所以x?y+(2y)?x=+=，当且仅当x=y时，x?y+(2y)?x取得最小值为.13 200【解析】
18、当s=4时，p，q，r都是取0，1，2，3中的一个，有444=64种；当s=3时，p，q，r都是取0，1，2中的一个，有333=27种；当s=2时，p，q，r都是取0，1中的一个，有222=8种；当s=1时，p，q，r都取0，有1种.所以card(E)=64+27+8+1=100.当t=0时，u取1，2，3，4中的一个，有4种；当t=1时，u取2，3，4中的一个，有3种；当t=2时，u取3，4中的一个，有2种；当t=3时，u取4，有1种.所以t，u的取值有1+2+3+4=10种.同理，v，w的取值也有10种，所以card(F)=1010=100，所以card(E)+card(F)=100+100=200.
