1、数 列（二）一、数列的最大与最小项和最值问题1直接求函数的最大值或最小值，根据的类型，并作出相应的变换，运用配方、重要不等式性质或根据本身的性质求出的最值。2研究数列的正数与负数项的情况，这是求数列的前n项和的最大值或最小值的一种重要方法.二、数列的求和（一）常用方法1拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和.2并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.3裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项.4错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将
2、得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n项和公式的方法.（二）学习要点： “数列求和”是数列中的重要内容，在中学高考范围内，学习数列求和不需要学习任何理论，上面所述求和方法只是将一些常用的数式变换技巧运用于数列求和之中. 在上面提到的方法中，“拆项”、“并项”、“裂项”方法使用率比较高。三、数列其他知识1(1) （2） 2递推数列：(1)能根据递推公式写出数列的前n项(2)由 解题思路：利用 变化（1）已知 (2)已知例1（1）已知，则 =_。 解（2）从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，则容器中有纯酒精_升。解析：
3、第一次容器中有纯酒精ab即a(1)升，第二次有纯酒精a(1)，即a(1)2升，故第n次有纯酒精a(1)n升.答案：a(1)n（3）则此数列的前13项之和等于_。（4）数列an是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负，则前n项和Sn的最大值_。解：由已知a6=a15d=235d0，a7=a16d=236d0，解得:d，又dZ，d=4d0，an是递减数列，又a60，a70当n=6时，Sn取得最大值，S6=623 (4)=78例2首项为正数的等差数列，它的前4项之和与前11项之和相等，问此数列前多少项之和最大？解法一记的前n项和为， 解法二由解法二知是首项为正数的单调递减数列，所
4、有的正数项的和最大，中前7项为正数项，从第9项开始各项为负数，而最大.评析解法一抓住了是二次函数的特点，通过配方法直接求出了最大项. 而解法二通过考察的单调性与正、负项的情况得到最大项.例3设等差数列的前n项和为，已知 （1）求公差d的取值范围； （2）指出中哪一个最大？说明理由； 解析（I） ， ，由、得（II）由、得为递减数列，例4解答下述问题：（1）已知数列的通项公式，求它的前n项和.解析=（2）已知数列的通项公式求它的前n项和.解析 （3）已知数列解析为等比数列，应运用错位求和方法：例5数列是首项为，公比为的等比数列，数列满足，（1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和解：（1
5、）由题意：，数列是首项为3，公差为的等差数列，由，得，数列的前项和的最大值为（2）由（1）当时，当时，当时，当时，例6已知数列的各项为正数，其前n项和，（I）求之间的关系式，并求的通项公式；（II）求证解析（I） ， 而 ，得的等差数列，（II）例7已知a0且a1，数列an是首项、公比都为a的等比数列，令(nN)。（1）当a=2时，求数列的前n项之和；（2）当a=时，数列中从第几项开始每一项总小于它后面的项。解 （1）依题有an=an,bn=nanlga。Sn=(1+2a+3a2+nan1)alga,可求得Sn=1(1+nna)an 当a2时，Sn=21+(n1)2nlg2。（2）令bk+1b
6、k,（kN），则bk+1bk=(k+1)（）k1lgk()klg=()k(k)lg,（）k0,lgbk,k6，故从第七项开始每一项总比它后面的项小。评析这是十分常见的数列型的不等式证明问题，由于运用了数列求和的思想，作出了一个巧妙的放缩变换，然后与数列求和挂上了钩.训练题一、选择题：1已知的最大项是（ C ）A第12项B第13项C第12项或第13项D不存在2数列的通项公式是中最大项的值是（ B ）AB108CD1093设是等差数列，是其前n项和，且，则下列结论错误的是（ C ）ABCD的最大值4设=（ C ）A1B0C1D25数列的前n项和（ D ）ABCD6数列的通项公式为则数列的前n项和为
7、（ B ）ABCD二、填空题：8是等差数列，是其前n项和，则在中最小的是 10设等差数列满足：最大时，n= 20 9已知的前n项和的值为 67 10已知数列的通项公式是项和为 三、解答题：11已知数列的通项公式的前多少项之和最大？并求其最大值.（取）解析：是公差为的的等差数列，而所有的正数项之和最大，令12已知数列中：，（I）求 （II）若最小项的值；（III）设数列的前n项为，求数列的前n项和.解析：（I）（II） （III）当时， 当13数列中， .（I）若的通项公式；（II）设的最小值.解析：（I）当n为奇数时，当n为偶数时，（II）当n为偶数时，=（3154）+（3354）+3（n1）54=31+3+5+（n1）14将等差数列的所有项依次排列，并如下分组：（），（），（），其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，第n组有项，记Tn为第n组中各项的和，已知T3=-48，T4=0， （I）求数列的通项公式； （II）求数列Tn的通项公式； （III）设数列 Tn 的前n项和为Sn，求S8的值.解析：（I）设的公差为d，则，解、得 （II）当时，在前n1组中共有项数为 第n组中的 （III）
