1、第三轮复习：高三数学试题（文） 一、选择题： 1tan600= （ ）ABCD2椭圆=1的准线方程是（ ）Ax = 4Bx = Cx =Dx =3已知cos=，则cos2= （ ）ABCD4若直线x + ( 1 + m )y + m 2 = 0与直线2mx + 4y + 16 = 0平行，则实数m的值等于（ ）A1B2 C1或2 D1或 25已知三条不同直线m、n、l，两个不同平面、，有下列命题，其中正确对待的命题是（ ）Am,n,m,nBm,n,lm,lnlC， = m , n, nmn Dmn , n m 6设a、b是两个非零向量，则“ ( a + b )2 = | a |2 + | b
2、|2”是“ab”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分的条件C充要条件D既不充分又不必要条件7已知函数y = sin ( x +) ( 0 ， 0 且此函数的图象如图所示，则点P（、）的坐标是（ ）A2，B2，C4，D4，8设A、B、C、D是半径为r的球面上的四点，且满足ABAC、ADAC、ABAD，则SABC + SABD + SACD的最大值是（ ）Ar2B2r2C3r2D4r2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。9已知双曲线 y2 = 1，则其渐近线方程是_，离心率e = _。10已知向量a = ( 3k + 1，2 )，b= ( k ，1 )，且ab，
3、则实数k = _。11在正方体ABCD A1B1C1D1中 ，直线BD1与平面ABCD所成角的正切值是_。12设实数x、y满足 则z = x 2y的最小值为_。13三棱锥P ABC中，PA = PB = PC = 2 ，ABBC，AB = 1 ，BC = ，则点P到平面ABC距离为_。14动点P在平面区域C1：x2 + y2 2 ( | x | + | y | ) 内，动点Q在曲线C2：( x 4 )2 + ( y 4 )2 = 1上，则平面区域C1的面积为_，| PQ |的最小值为_。三、解答题：本大题共6小题，共80分。15（本小题12分）在三角形ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a
4、、b、c，且。（）求B的大小；（）若b =，a + c = 4，求三角形ABC的面积。16（本小题共13分）已知圆C的方程为x2 + y2 = 4 。（）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB| =求直线l的方程；（）圆C上一动点M ( x0，y0)，( 0，y0 )若向量，求动点Q的轨迹方程，并明轨迹是什么曲线。17（本小题共13分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC = 90，CB = 1 CA =，AA1 =，M为侧棱CC1上一点，AMA1C。（）求异面直线A1B与AC所成的角的余弦值；（）求证：AM平面A1BC；（）求二面角MABC的正切值。18（本小题共1
5、4分）已知向量a = (cos x , cos x )，b = ( 0 , sin x ) ，c = ( sin x , cos x )，d = ( sin x , sin x )（）当时，求向量a、b的夹角；（）当x0，时，求cd的最大值；（）设函数f ( x ) = ( a b ) ( c + d )，将函数f ( x )的图象按向量m平稳后得到函数g ( x )的图象，且g ( x ) = 2sin2x + 1 ，求| m |的最小值。19（本小题共14分）已知函数f ( x ) =x3 + bx2 + cx , cR，且函数f ( x )在区间（1，1）上单调递增，在区间（1，3）上单
6、调递减。（）若b = 2，求c的值； （）求证：c3（）设函数g ( x ) = f( x ),当x 1，3 时，g ( x )的最小值是1，求b、c的值。20（本小题共14分）如图，设抛物线y2 = 2px ( p0 )的焦点为F，经过点F的直线抛物线于A、B两点，且A、B两点坐标为( x1 , y1 ) ( x2 ,y2 ), y1 0 ,y20 , P是此抛物线的准线上的一点，O是坐标原点。（）求证：y1y2 = p2；（）直线PA、PF、PB的方向向量为( 1, a )、( 1 , b )、( 1, c )，求证：实数a、b、c成等差数列；（）若= 0，APF =，BPF =，PFO
7、=，求证： = | 。参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1B2C3B4A5C6C7B8B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9y =x （缺一扣1分），101 11125 13148 + ， 三、解答题（本大题共6小题，共80分）15（共12分）解：（）由已知得sin B cos C = 2sin A cos B sin C 1分2sin A cos B = sin B cos C + cos B sin C = sin ( B + C ) 2分又在三角形ABC中，sin ( B + C ) = sin A 02sin
8、 A cos B = sin A ,即cos B = 3分0BB = 5分（）b2 = 7 = a2 + c2 2ac cos B = a2 + c2 ac 6分( a + c )2 = 16 = a2 + c2 + 2ac 8分由，可得ac = 3 10分SABC =ac sin B = 3= 12分16（共13分）解：（）若直线l垂直于x轴，则此时直线为x = 1，l与圆的两个交点坐标分别为（1，）和（1，），这两点间的距离为，满足题意。1分若直线l不垂直于x轴，设其方程为y 2 = k ( x 1 )，即kx y k + 2 = 02分设圆心到此直经的距离为d， = ，得d = 13分，
9、解得k = 4分故所求直线方程为3x 4y + 5 = 0 5分综上所述，所求直线方程为3x 4y + 5 = 0或x = 1 6分（）设Q点坐标为（x ,y）,M点坐标是 ( x0 , y0 ),= ( x0 , y0 ),( x , y ) = ( x0 ,2y0 )x = x0 y = 2y0 9分= 4x2 + ( )2 = 4 ,即+= 1 11分Q点的轨迹方程是+= 1，12分轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆 13分17（共13分）解法一：（）在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1BA1C1是异面直线A1B与AC所成的角 2分连接BC1 CC1平面A1B1C1CC1A1C1又A1
10、C1B1 = ACB = 90即A1C1B1C1A1C1平面BB1C1CBC1平面BB1C1CA1C1BC1在直角三角形BCC1中，BC = 1 ，CC1 = AA1 =BC1=在直角三角形A1BC1中，A1C1 =，BC1=A1B=cosBA1C1 = 4分（）由（）可知，BCAC，BCCC1BC平面ACC1A1，又AM平面ACC1A1，则BCAM AMA1C ，AM平面A1BC 9分（）在三角形ABC中，作AB边上的高CH，垂足为H，连接MH，显然CH是MH在平面ABC上射影MHABMHC是二面角MABC的平面角11分AMA1CMAC =AA1C则tanMAC = tanAA1C即=又AA
11、1 =，AC =MC =又CH =，故在直角三角形MCH，tanMHC= 13分解法二：（）如图，以C为原点，CA，CB，CC1所 在直线分别为x轴y轴z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（，0，0），A1（，0，），B（0，1，0）=（，1，），=（，0，0） 2分设异面直线A1B与AC所成的角为设异面直线A1B与AC所成的角为，则cos=4分（）同解法一 9分（）设M（0，0，z1）AMA1C 。= 0即 3 + 0 + z1 = 0，故z1 =，所以M（0，0，）10分设向量m = ( x ,y, z )为平面AMB的法向量，则m，m，则即令x = 1，则平面AMB的一个法向
12、量为m = ( 1, , ),11分显然向量n = ( 0, 0, 1 )是平面ABC的一个法向量，设所求二面角的大小为则cos=tan= 13分18（共14分）解：（）x = a = (,), b ( 0, ) 1分则ab = (,)( 0, ) = ，cosa，b=向量a,b的夹角为 3分（）cd = ( sin x , cos x )( sin x ,sin x ) = sin2x + sin x cos x=5分x0，2x 6分当2x=，即x = 时，cd取最大值 8分（）f ( x ) = ( a b )( c + d ) = (cos x , cos x sin x )( 2sin
13、 x ,sin x + cos x )=2sin x cos x + cos2x sin2 x = sin2x + cos2x =2sin ( 2x +) 10分设m = ( s , t ) 则g ( x ) = f ( x s ) + t = 2sin 2 ( x s ) + + t = 2sin ( 2x 2s +) + t =2sin2x + 1 t = 1 , s = k+ ( kZ )易知当k = 0时，| m |min = 14分19（共14分）解：（）由已知可得f( 1 ) = 0 1分又f( x ) = x2 + 2bx + c f( 1 ) = 1 + 2b + c = 0
14、2分将b = 2 代入，可得c = 3 3分（）由（）可知b = ，代入f( x )可得f( x ) = x2 ( c + 1 ) x + c 。令f( x ) = 0 ，则x1 = 1 ，x2 = c 4分又当1x1时，f( x )0；当1x3时，f( x )0如图所示：易知c3 8分（）若1 b3，则g ( x )min = g ( b ) = b2 2b2 + c = 1 。又能1 + 2b + c = 0 ，得b = 2或b = 0（舍），c = 3 若b3 ，则g ( x )min = g ( 3 )= 9 + 6b + c = 1 ,又1 + 2b + c = 0得b = （舍）综
15、上所述，b = 2，c = 3 14分20（共14分）证明：（）（1）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x =，则A (, p ),B (, p ),y1y2 = p2 1分（2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB方程为：y = k ( x ),则由 可得ky2 2py kp2 = 0 ( k 0 )y1y2 = p2 3分（）由已知a = kPAb = kPFc = kPB ,设P (, t ), F ( , 0 )a = , b =c = ; 且x1 =, x2 =故a + c =+=+=+=2p=2p=2p= 2b a，b，c成等差数列 8分（）解法一： = 0PAPB
16、故ac = 1 由（）可知a + c = 2b , a b = b c 若ABx轴，则= 45， = 0=若kAB0tan= c 同理可得tan=tan()=即| tan ()| = | b | = tan易知PFO，BPF，APF都是锐角= |若kAB0，类似的也可证明= |综上所述，= | 14分解法二：= 0PAPB故ac = 1 如图，若ABx轴，则= 45， = 0=若kAB 0，A，B在抛物线上，| AF | = | AC | ，| BF | = | BD |设AB中点为M，则| PM | = =所以PM是梯形ABDC的中位线，故p是CD中点P, t = , F= ( p , ), 又= ( x2 x1 , y2 y1 )= p ( x2 x1 ) = p ( x2 x1 ) = 0PDBPBF 。BPF=DPB=+2= 90=+,=若kAB0。类似可证= = | 14分说明：其它正确解法按相应步骤给分。
