1、第3练“三个二次”的转化与应用题型分析高考展望“二次函数、二次方程、二次不等式”是高中数学知识的基础，在高考中虽然一般不直接考查，但它是解决很多数学问题的工具如函数图象问题、函数与导数结合的问题、直线与圆锥曲线的综合问题等“三个二次”经常相互转化，相辅相成，是一个有机的整体如果能很好地掌握三者之间的转化及应用方法，会有利于解决上述有关问题，提升运算能力体验高考1(2015陕西改编)对二次函数f(x)ax2bxc(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是_1是f(x)的零点；1是f(x)的极值点；3是f(x)的极值；点(2,8)在曲线yf(x)上答案
2、解析正确等价于abc0，()正确等价于b2a，()正确等价于3，()正确等价于4a2bc8.()下面分情况验证，若错，由()、()、()组成的方程组的解为符合题意；若错，由()、()、()组成的方程组消元转化为关于a的方程后无实数解；若错，由()、()、()组成方程组，经验证a无整数解；若错，由()、()、()组成的方程组a的解为也不是整数2(2015天津改编)已知函数f(x)函数g(x)bf(2x)，其中bR，若函数yf(x)g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是_答案解析记h(x)f(2x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图，直线AB：yx4，当直线lAB且与f(x)的图象相切
3、时，由解得b，(4)，所以曲线h(x)向上平移个单位后，所得图象与f(x)的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当b2时，f(x)与g(x)的图象有四个不同的交点，即yf(x)g(x)恰有4个零点3(2016江苏)函数y的定义域是_答案3,1解析要使原函数有意义，需且仅需32xx20.解得3x1.故函数定义域为3,14(2016山东)已知函数f(x)其中m0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_答案(3，)解析如图，当xm时，f(x)|x|；当xm时，f(x)x22mx4m，在(m，)为增函数，若存在实数b，使方程f(x)b有三个
4、不同的根，则m22mm4m0，m23m0，解得m3.5(2015浙江)已知函数f(x)x2axb(a，bR)，记M(a，b)是|f(x)|在区间1,1上的最大值(1)证明：当|a|2时，M(a，b)2；(2)当a，b满足M(a，b)2时，求|a|b|的最大值(1)证明由f(x)2b，得对称轴为直线x.由|a|2，得|1，故f(x)在1,1上单调，所以M(a，b)max|f(1)|，|f(1)|当a2时，由f(1)f(1)2a4，得maxf(1)，f(1)2，即M(a，b)2.当a2时，由f(1)f(1)2a4， 得maxf(1)，f(1)2，即M(a，b)2.综上，当|a|2时，M(a，b)2
5、.(2)解由M(a，b)2得|1ab|f(1)|2，|1ab|f(1)|2，故|ab|3，|ab|3.由|a|b|得|a|b|3.当a2，b1时，|a|b|3，且|x22x1|在1,1上的最大值为2.即M(2，1)2.所以|a|b|的最大值为3.高考必会题型题型一函数与方程的转化例1已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x0,3)时，f(x).若函数yf(x)a在区间3,4上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是_答案解析作出函数f(x)，x0,3)的图象(如图)，f(0)，当x1时f(x)极大值，f(3)，方程f(x)a0在3,4上有10个根，即函数yf(x)的图象和直线ya在
6、3,4上有10个交点由于函数f(x)的周期为3，则直线ya与f(x)的图象在0,3)上应有4个交点，因此有a.点评二次函数零点问题或二次函数图象与直线交点个数问题，一般都需转化为二次方程根的存在性及根的分布来解决，解决的方法是列出判别式和有关函数值的不等式(组)，或用数形结合的方法解决变式训练1设定义域为R的函数f(x)则关于x的函数y2f2(x)3f(x)1的零点的个数为_答案7解析由y2f2(x)3f(x)10得f(x)或f(x)1，如图画出f(x)的图象，由f(x)知有4个根，由f(x)1知有3个根，故函数y2f2(x)3f(x)1共有7个零点题型二函数与不等式的转化例2已知函数yf(x
7、)是定义在R上的增函数，函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称若对任意的x，yR，不等式f(x26x21)f(y28y)0恒成立，则当x3时，x2y2的取值范围是_答案(13,49)解析由函数f(x1)的图象关于点(1,0)对称可知，函数f(x)为奇函数所以不等式f(x26x21)f(y28y)0，可化为f(x26x21)f(y28y)f(y28y)又因为函数f(x)在R上为增函数，故必有x26x21y28y，即x26x21y28y0，配方，得(x3)2(y4)24.因为x3，故不等式组表示为它表示的区域为如图所示的半圆的内部而x2y2表示该区域内的点到坐标原点距离的平方由图可知，x2y2
8、的最小值在点A处取得，但因为该点在边界的分界线上，不属于可行域，故x2y2322213，而最大值为圆心(3,4)到原点的距离与半径之和的平方，但因为该点在圆的边界上，不属于可行域，故x2y2(52)249，故13x2y249.点评不等式是解决函数定义域、值域、参数范围等问题的有效工具，将函数问题转化为不等式解决是解答此类问题的常规思路而二次不等式的解的确定又要借助二次函数图象，所以二者关系密切函数单调性的确定是抽象函数转化为不等式的关键变式训练2已知f(x)x22ax2，当x1，)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围解设F(x)x22ax2a，则问题的条件变为当x1，)时，F(x)0恒成立当(
9、2a)24(2a)4(a2)(a1)0，即2a1时，F(x)0恒成立又当0时，F(x)0在1，)上恒成立的充要条件是3a2.故a的取值范围是3,1题型三方程与不等式的转化例3关于x的二次方程x2(m1)x10在区间0,2上有解，求实数m的取值范围解方法一设f(x)x2(m1)x1，x0,2，若f(x)0在区间0,2上有一解，f(0)10，则应有f(2)0，又f(2)22(m1)21，m.若f(x)0在区间0,2上有两解，则m1.由可知m的取值范围是(，1方法二显然x0不是方程x2(m1)x10的解，0x2时，方程可变形为1mx，又yx在(0,1上单调递减，在1,2上单调递增，yx在(0,2上的
10、取值范围是2，)，1m2，m1，故m的取值范围是(，1点评“三个二次”是一个整体，不可分割有关“三个二次”问题的解决办法通常是利用转化与化归思想来将其转化，其中用到的方法主要有数形结合、分类讨论的思想，其最基本的理念可以说是严格按照一元二次不等式的解决步骤来处理变式训练3若关于x的方程x2ax40在区间2,4上有实数根，则实数a的取值范围是_答案3,0解析如果方程有实数根，注意到两个根之积为40，可知两根必定一正一负，因此在2,4上有且只有一个实数根，设f(x)x2ax4，则必有f(2)f(4)0，所以2a(124a)0，即a3,0高考题型精练1方程|x22x|a21(a0)的解的个数是_答案
11、2解析(数形结合法)a0，a211.而y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与ya21的图象总有两个交点2已知函数f(x)ax22ax4(0a3)，若x1x2，x1x21a，则f(x1)与f(x2)的大小关系为_答案f(x1)f(x2)解析f(x)的对称轴为直线x1，又x1x21a，0a3.1.x1x2，x1离对称轴的距离小于x2离对称轴的距离又a0，f(x1)f(x2)3若函数yf(x)(xR)满足f(x1)f(x)，且x1,1时，f(x)1x2.函数g(x)则函数h(x)f(x)g(x)在区间5,4内的零点的个数为_答案7解析由f(x1)f(x)，可得f(x2)f(x1)f(x)，
12、所以函数f(x)的周期为2，求h(x)f(x)g(x)在区间5,4内的零点，即求f(x)g(x)在区间5,4上图象交点的个数，画出函数f(x)与g(x)的图象，如图，由图可知两图象在5,4之间有7个交点，所以所求函数有7个零点4若关于x的方程x22kx10的两根x1，x2满足1x10x22，则k的取值范围是_答案解析构造函数f(x)x22kx1，关于x的方程x22kx10的两根x1，x2满足1x10x22，即k0.5.如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A(3,0)，对称轴为x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5ab.其中正确的是_答案解析因为图象与x轴交于两
13、点，所以b24ac0，即b24ac，正确；对称轴为x1，即1,2ab0，错误；结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误；由对称轴为x1知，b2a.又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，正确6已知直线ymx与函数f(x)的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是_答案(，)解析作出函数f(x)的图象，如图所示，直线ymx的图象是绕坐标原点旋转的动直线，当斜率m0时，直线ymx与函数f(x)的图象只有一个公共点；当m0时，直线ymx始终与函数y2x(x0)的图象有一个公共点，故要使直线ymx与函数f(x)的图象有三个公共点，必须有直线ymx与函数yx21(x0)的图象有两
14、个公共点，即方程mxx21，在x0时有两个不相等的实数根，即方程x22mx20的判别式4m2420，且m0，解得m.故所求实数m的取值范围是(，)7若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则不等式af(2x)0的解集是_答案解析f(x)x2axb的两个零点是2,3.2,3是方程x2axb0的两根，由根与系数的关系知f(x)x2x6.不等式af(2x)0，即(4x22x6)02x2x30x1.解集为x|x18已知奇函数f(x)在定义域2,2上单调递减，则满足f(1m)f(1m2)0的实数m的取值范围是_答案1,1)解析由f(1m)f(1m2)0，得f(1m)f(1m2)又f(x)为奇函数，f
15、(1m)f(m21)又f(x)在2,2上单调递减，实数m的取值范围为1,1)9已知函数yf(x)的周期为2，当x1,1时，f(x)x2，那么函数yf(x)的图象与函数y|lg x|的图象的交点个数为_答案10解析在同一直角坐标系中，分别作出yf(x)和y|lg x|的图象，如图，结合图象知，共有10个交点10若关于x的不等式(2x1)2ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是_答案解析因为不等式等价于(a4)x24x10，其中(a4)x24x10中的4a0，且有4a0，故0a4，不等式的解集为x，则一定有1,2,3为所求的整数解集，所以34，解得a的范围为.11已知f(x)x2(a2
16、1)xa2的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围解方法一设方程x2(a21)xa20的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10，由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即a2a20，2a1.方法二函数图象大致如图，则有f(1)0，即1(a21)a20，2a1.故实数a的取值范围是(2,1)12设函数f(x)ax2bxb1(a0)(1)当a1，b2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意bR，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围解(1)当a1，b2时，f(x)x22x3，令f(x)0，得x3或x1.函数f(x)的零点为3和1.(2)依题意，f(x)ax2bxb10有两个不同实根b24a(b1)0恒成立，即对于任意bR，b24ab4a0恒成立，有(4a)24(4a)0a2a0，0a1.因此实数a的取值范围是(0,1)
