1、北京四中2019-2020学年度第二学期开学考试高三数学测试2.13试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：集合，所以，故选C.考点：交集的运算，容易题.2.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则等于( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知可得z，代入（1+i）z，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】解：由已知得，z2i，（1+i）z（1+i）（2i）3+i故选A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3.已知数列,则的值为 ( )A.
2、 B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将n=1和n=2代入递推关系式，求解即可【详解】数列an，a21，可得a1+a22，a2+a34，解得a11，a33，a1+a34故选A【点睛】本题考查数列递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力.4.已知,则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】若，则0ab，则 是0ab 成立必要不充分条件，故选B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系进行转化是解决本题的关键5.
3、“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所示的是一位猎人记录自己采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数（用十进制表示）是 A. 492B. 382C. 185D. 123【答案】D【解析】由题意满四进一，可得该图示是四进位制，化为十进位制为：.故选D6.设是定义在上的奇函数，且，当时，.则的值为（ ）A. -1B. -2C. 1D. 2【答案】B【解析】分析】根据为奇函数与可求得的周期为3,再利用的性质将中自变量转换到上再计算即可.【详解】是奇函数,关于对称,又,关于对称,函数的一个周期为,.故选：B
4、.【点睛】本题主要考查了根据函数的奇偶性与对称性周期性等求解函数值的问题,属于中档题.7.已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若AF1B的周长为，则C的方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】若AF1B的周长为4,由椭圆的定义可知,，所以方程为，故选A.考点：椭圆方程及性质8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为正方形的四棱锥，然后求解几何体的体积即可【详解】该三视图还原成直观图后的几何体是如图的四棱锥为三视图还原后的几何体，CB
5、A和ACD是两个全等的直角三角形；，几何体的体积为：，故选C【点睛】本题考查由三视图求体积，解决本题的关键是还原该几何体的形状9.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要（ ）A. 6秒钟B. 7秒钟C. 8秒钟D. 9秒钟【答案】C【解析】分析：由题意可得，解不等式可得结果.详解：根据题意，每秒细菌杀死的病毒数成等比数列，设需要秒可将细菌将病毒全部杀死，则，结合解得，即至少需秒细菌将病毒全部杀死，故选C.点睛：本题主要考查等比数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列
6、的求和的项数一定要准确.10.已知点，P为曲线上任意一点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合已知曲线方程，引入参数方程，然后结合和角正弦公式及正弦函数的性质即可求解【详解】解：设则由可得，令，【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数性质的简单应用，参数方程的应用是求解本题的关键.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.直线的倾斜角为_【答案】 【解析】【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角【详解】，则，斜率为则，解得故答案为【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角，解题的关键是求出直线的斜率，属于基础题12.已知分别是定义在R
7、上的偶函数和奇函数，且，则_.【答案】1【解析】试题分析：，又，分别是定义在上的偶函数和奇函数，考点：函数的奇偶性13.中，若面积为6，则的值为_.【答案】4【解析】【分析】根据同角三角函数的关系可求得,再结合三角形的面积公式可得,再利用余弦定理求解即可.【详解】,由余弦定理得：,故答案为：4.【点睛】本题主要考查了解三角形的运用,需要根据题意确定正余弦定理以及面积公式的运用.属于中档题.14.设函数，若，则的零点的个数为_.若的值域为，则实数的取值范围是_.【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】代入,再分段求解函数的零点即可.画出与的图像,再数形结合分析实数的取值范围即可.【详解
8、】当时,令,解得或,此时函数有两个零点；当时,令,解得（舍）,此时函数无零点；综上,当时,函数有2个零点；作出函数及函数的图象如下图所示,由图象可知,若的值域为,则实数的取值范围是.故答案为：2；.【点睛】本题主要考查了分段函数的零点问题,同时也考查了根据分段函数的值域求解参数的问题,需要根据题意画出图像,再分析随的变化函数图像的变化求解范围.属于中档题.15.已知向量，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，则称有序实数对为点的广义坐标，若点、的广义坐标分别为、，对于下列命题： 线段、的中点的广义坐标为； A、两点间的距离为； 向量平行于向量的充要条件是； 向量垂直于向量的充
9、要条件是.其中的真命题是_（请写出所有真命题的序号）【答案】【解析】【分析】根据点、的广义坐标分别为、，利用向量的运算公式分别计算，得出结论.【详解】点、的广义坐标分别为、，对于，线段、的中点设为M，根据=（）=中点的广义坐标为,故正确.对于，（x2x1），A、两点间的距离为，故不一定正确.对于，向量平行于向量，则，即（）=t,，故正确.对于，向量垂直于向量，则=0，故不一定正确.故答案为.【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的
10、中点.（1）证明：平面（2）已知，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：(1)以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，可得：直线的方向向量为：，平面的一个法向量为，结合可得：平面.(2)结合(1)的结论结合题意可得平面的一个法向量为.平面的一个法向量为：，据此计算可得二面角的余弦值为.试题解析：(1)以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由几何关系有：，则直线的方向向量为：，设平面的法向量，则：，据此可得：平面的一个法向量为，结合可知：，据此可得：平面.(2)结合(1)的结论可知：，则平面的一个法向量为.由平面可知平面的一个法向量为：，据此可得：
11、，则，观察可知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.17.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（1）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（2）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数
12、学期望；（3）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.【答案】（1）平均数为，众数为33；（2）详见解析；（3）甲公司被抽取员工该月收入元，乙公司被抽取员工该月收入元.【解析】【分析】（1）直接利用茎叶图中数据求甲公司员工A投递快递件数的平均数和众数.（2）由题意能求出X的可能取值为136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望.（3）利用（2）的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.【详解】（1）甲公司员工A投递快递件数的平均数为：，众数为33.（2）设a为乙公司员工B投递件数，则当时，元，当时，元，X的可能取值为136，1
13、47，154，189，203，X的分布列为：X136147154189203P（元）.（3）根据图中数据，由（2）可估算：甲公司被抽取员工该月收入元，乙公司被抽取员工该月收入元.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，涉及到茎叶图、平均数等知识，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.18.在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.已知：数列的前项和为，且， .求：对大于1的自然数，是否存在大于2的自然数，使得，成等比数列.若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.【答案】答案不唯一，见解析【解析】【分析】因为要使得,成等比数列,不妨选择,分析可知数列是首项为1,公差为3的等差数列,进
14、而得到,从而计算,再根据二次函数的最值分析的最小值即可.【详解】由,即,可得数列是首项为1,公差为3的等差数列,则,假设对大于1的自然数,存在大于2的自然数,使得,成等比数列,可得,即,两边平方可得由,且递增,可得时,取得最小值6,可得此时取得最小值6,故存在大于2的自然数,使得,成等比数列,且的最小值为6.【点睛】本题主要考查了根据数列的递推公式求解通项公式,并分析存在性的问题,属于开放性问题,需要选择合适的条件进行通项公式求解分析.属于中档题.19.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若且，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】
15、【分析】(1)代入,再根据导数的几何意义求解即可.(2)易得,因为,故分与两种情况分析导数的正负,从而得出单调区间即可.(3)根据(2)中的单调性,分与两种情况讨论的单调性,并求出最值,再根据的值域满足的关系结合题意求解即可.【详解】（1）若,则,故,所求切线方程为；（2）函数的定义域为,当时,函数在上单调递减,当时,令得,令得,故函数在单调递减,在单调递增；（3）当时,函数在上单调递减,又,而,不合题意；当时,由（2）可知,（i）当,即时,不合题意；（ii）当,即时,满足题意；（iii）当,即时,则,函数在单调递增,当时,又函数的定义域为,满足题意.综上,实数的取值范围为.【点睛】本题主要考
16、查了导数的几何意义以及分类讨论分析含参函数的单调性问题,同时也考查了利用导数求解函数的单调性与值域求解参数的问题.属于中档题.20.已知椭圆过点 ，且离心率为.设为椭圆的左、右顶点，P为椭圆上异于的一点，直线分别与直线相交于两点，且直线与椭圆交于另一点.（）求椭圆的标准方程；（）求证：直线与的斜率之积为定值；（）判断三点是否共线，并证明你的结论.【答案】（） （）（）三点共线【解析】【分析】（）根据已知条件列a、b、c的方程组，求a、b、c的值，可得椭圆标准方程（）设点P坐标为（x0，y0），将点P的坐标代入椭圆方程可得x0与y0的等量关系，然后利用斜率公式，结合等量关系可证出结论；（）设直线
17、AP的方程为yk（x2）（k0），得直线BP方程，与直线x2联立，分别求点M、N坐标，然后求直线MN斜率，写直线HM的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理可求点H坐标，计算AH和AN的斜率，利用这两直线斜率相等来证明结论成立【详解】解：（）根据题意可知解得所以椭圆的方程.（）根据题意，直线的斜率都存在且不为零.设，则 .则.因为，所以.所以所以直线与的斜率之积为定值.(III)三点共线.证明如下：设直线的方程为，则直线的方程为.所以，,.设直线，联立方程组消去整理得，.设，则所以,.所以.因为，,.所以，所以三点共线.【点睛】本题考查椭圆方程的求法和椭圆性质的应用，考查韦达定理在椭圆综合的应用
18、，考查计算能力与推理能力，综合性较强21.若数列满足，数列为数列，记.（1）写出一个满足，且的数列；（2）若，证明：数列是递增数列的充要条件是；（3）对任意给定的整数，是否存在首项为0的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由.【答案】（1）0，1，0，1，0；（2）证明见解析；（3）见解析【解析】【分析】(1)根据与和可考虑写出交替的数列.(2)先证明必要性,根据数列是递增数列,可得,进而求得.再证明充分性,因为,故,再累加可得证明即可.(3) 设,则,再累加求得,再分析的奇偶,根据整除的性质,先假设存在再证明矛盾即可.【详解】（1）0,1,0,1,0是一个满足条件的数列.（2）必要性：因为数列是递增数列,所以,所以是首项为13,公差为1的等差数列.所以,充分性：由于,故,所以,即,又因为,所以,故,即是递增数列.综上所述,结论成立.（3）设,则,因为,所以,因为,所以为偶数（）所以为偶数,所以要使,必须使为偶数,即4整除,亦即或,当时,数列的项满足,此时,有且成立,当时,数列的项满足,时,亦有且成立,当或时,不能被4整除,此时不存在数列,使得且成立.【点睛】本题主要考查了数列新定义的问题,需要根据题意去绝对值分析,并根据整除的性质推理证明.属于难题.
