1、山东省济南市历城第二中学2019-2020学年高一数学下学期学情检测试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数满足，则的虚部为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】由复数的综合运算求出，然后根据定义得结论【详解】，其虚部是4故选：D【点睛】本题考查复数的综合运算，考查复数的概念，掌握复数的除法运算是解题关键2.已知向量，则（ ）A. B. 10C. D. 4【答案】A【解析】【分析】设，根据向量的坐标运算建立方程可求出，求向量模即可.【详解】设，所以因为，所以解得，所以，所以故选：A【点睛】本题
2、主要考查了向量线性运算的坐标表示，向量的模，考查了运算能力，属于中档题.3.已知甲、乙两组按顺序排列的数据：甲组：27，28，37，40，50；乙组：24，34，43，48，52；若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意求出甲组的第30百分位数为第2项，求出，第50百分位数为中位数，从而求出，即可求出,【详解】因为，所以第30百分位数为，第50百分位数为，所以，所以故选：B【点睛】本题考查了样本数据中的数字特征，考查了基本运算求解能力，属于基础题.4.袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用
3、表示“第一次摸到白球”，用表示“第二次摸到白球”，用表示“第一次摸到黑球”则下列说法正确的是（ ）A. 与为互斥事件B. 与为对立事件C. 与非相互独立事件D. 与为相互独立事件【答案】C【解析】【分析】根据互斥事件和相互独立事件的概念逐一判断即可.【详解】与可以同时发生但是不放回的摸球第一次对第二次有影响，所以不为互斥事件，也非相互独立事件；与可以同时发生所以不是对立事件；与，第一次摸到白球与第一次摸到黑球一定不能同时发生，不是相互独立事件.故选：C.【点睛】本题考查互斥事件和相互独立事件的概念，是基础题.5.如图，在正方体中，分别为中点，则异面直线与的夹角为（ ）A. 30B. 60C.
4、45D. 90【答案】D【解析】【分析】根据为中点，为中点，由三角形的中位线定理得到，则异面直线与的夹角即与的夹角，然后再利用线面垂直的判定定理证明平面即可.【详解】因为为中点，为中点，所以为的中位线，所以，所以异面直线与的夹角即与的夹角，在正方体中，因为平面，所以，又，且，所以平面，又平面，所以，所以异面直线的夹角为90故选：D【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法以及线线垂直，线面垂直的转化，还考查了转化化归的思想和空间想象、运算求解的能力，属于中档题.6.在中，则此三角形的形状为（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】【分析】已知等
5、式利用正弦定理化简，将代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到，确定出，即可得出三角形的形状.【详解】解：由正弦定理，又因为，所以即，用两角和的正弦公式展开左边，得：，整理得，所以，又因为和是三角形的内角，所以，此三角形为等腰三角形故选：A.【点睛】本题主要考查利用正余弦定理和三角恒等变换来判断三角形形状，属于中档题.7.如图所示，表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.8，则该系统的可靠性（3个开关只要一个开关正常工作即可靠）为（ ）A. 0.504B. 0.994C. 0.996D. 0.964【答案】C【解析】【分析】根据题意可知，当三个开关都不正常
6、工作时，系统不可靠，再根据对立事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式即可求出【详解】由题意知，所求概率为故选：C【点睛】本题主要考查对立事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于容易题8.如图，在中，是的中点，在边上，与交于点，则（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】先根据向量共线定理设，再根据向量的中点公式以及题意可得，由三点共线的性质可求得，然后利用向量减法运算可得，即解出【详解】，因为三点共线，所以，解得：所以，即，所以，所以故选：C.【点睛】本题主要考查向量共线定理以及其推论的应用，向量中点公式的应用，以及向量的线性运算，意在考查学生的
7、转化能力和数学运算能力，属于中档题二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9.甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表，某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是（ ）班级参加人数中位数方差平均数甲55149191135乙55151110135A. 甲、乙两班学生成绩的平均数相同B. 甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大C. 乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数150个为优秀）D. 甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数【答案】ABC【解析】【分析】
8、根据图表直接计算平均数、方差和众数与甲、乙两班学生每分钟输入汉字数150个的人数分析即可.【详解】甲、乙两班学生成绩的平均数都是35，故两班成绩的平均数相同，A正确；，甲班成绩不如乙班稳定，即甲班的成绩波动较大，B正确.甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班不少于150个的人数要多于甲班，C正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，D错误.故选：ABC【点睛】本题主要考查了根据平均数、方差和众数分析实际意义的问题,属于基础题型.10.在中，内角所对的边分别为若且该三角形有两解，则的值可以为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】AB【解析】【分析】根据
9、正弦定理可求出，再依据该三角形有两解可知，即得角的取值范围，依据正弦函数的图象即可求出的取值范围，从而得解【详解】由正弦定理得，且，所以，即因为该三角形有两个解，当时只有一解，所以故选：AB【点睛】本题主要考查由三角形解的个数求某一边的取值范围，可采用正弦定理，余弦定理，以及几何法等求解，属于基础题11.已知两不重合的直线与两个不重合的平面则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若平面，平面，则C. ，则D. ，则【答案】BCD【解析】【分析】根据线面关系，逐项判断，即可求得答案.【详解】对A，由，平面与可以相交或平行，故A错误；对B，因为平面，平面，根据平行于同一平面的两平面平行，可得，故
10、B正确；对C，因为，根据垂直于同一直线的两平面平行，可得，故C正确；对D，因为，根据垂直于同一平面的两直线平行，可得，故D正确故选：BCD【点睛】本题解题关键是掌握线面关系基本定理，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.12.设点是所在平面内一点，下列说法正确的是（ ）A. 若，则的形状为等边三角形B. 若，则点是边的中点C. 过任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的垂心D. 若则点在边的延长线上【答案】AB【解析】【分析】对于A，由，利用投影通过三线合一判断；对于B：由，变形为判断；对于C：将此直线特殊为过点，则，有，则直线经过的中点判断；对于D：由，变形为判
11、断.【详解】对于A选项，如图所示作于，则，因为，所以为的中点，同理可证，为等边三角形故A正确对于B选项：，即：，则点是边的中点，故B正确；对于C选项：因为过内一点任作一条直线，可将此直线特殊为过点，则，有如图：则有直线经过的中点，同理可得直线经过的中点，直线经过的中点，所以点是重心，故C错误对于D选项：，则点在边的延长线上，故D错误故选：AB【点睛】本题主要考查平面向量在平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想方法以及转化求解问题的能力，属于中档题。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.复数满足，则_【答案】【解析】【分析】将整理为，利用复数的四则运算以及模长公式求解即可.【详解
12、】，即故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及求复数的模，属于中档题.14.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_ 件.【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为18点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即niNinN15.已知点为内一点，则的面积之比为_【答案】【解析】分析】先将已知向量式化为两个向量共线的形式
13、，再利用平行四边形法则及向量的数乘运算的几何意义，三角形面积公式，确定面积比.【详解】因为，所以，设为中点，为中点，因为，可得，所以三点共线，且，为三角形的中位线所以，而，所以的面积之比等于故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，向量的加法的平行四边形法，向量的数乘的几何意义等知识点的综合应用，其中解答中充分利用共线是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.16.已知在三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】根据题中所给的数据得出和为直角三角形，取的中点为，得到，根据球的定义找到了三棱锥外接球的球心，进而可得外接球的表面积.【详解】解：如图所示，因为，所以，,所
14、以和为直角三角形，公共的斜边为，取的中点为，连接、.则，所以点为三棱锥外接球的球心，则三棱锥外接球半径.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查三棱锥外接球的表面积的求法，关键是找到外接球的球心，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤17.已知为实数，设复数（1）当复数为纯虚数时，求的值；（2）设复数在复平面内对应的点为，若满足，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据复数为纯虚数可得出其虚部不为零，实部为零，由此可求得实数的值；（2）根据题意可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.【详解】（1）由题意，得，解得；（2）复
15、数在复平面内对应的点的坐标为，该点的坐标满足，则，解得，所以的取值范围为【点睛】本题考查利用复数的概念求参数，同时也考查了利用复数对应的点的坐标满足条件求参数，考查计算能力，属于基础题.18.济南市某中学高三年级有1000名学生参加学情调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示（1）求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数和这1000名学生的数学平均分；（2）已知样本中，成绩在140，150内的有2名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机选取2人做学习交流，求选取的两人中至少有一名女生的概率【答案】（1）高是0.
16、028，700人，；（2）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图，利用概率之和为1，求得第四个矩形的高，进而得到成绩不低于120分的频率，从而可估计高三年级不低于120分的人数，然后利用平均数公式求解.（2）由直方图知，成绩在140150的人数是6，记女生为，男生为，这是一个古典概型，先得到从这6人中抽取2人的基本事件的总数，再找出至少有一名女生的基本事件数，然后代入公式求解.【详解】（1）设第四个矩形的高是x，所以，解得，成绩不低于120分的频率是0.7，可估计高三年级不低于120分的人数为人（2）由直方图知，成绩在140150的人数是6，记女生为，男生为，这6人中抽取2人的情况有，共15种
17、其中至少有一名女生的有，共9种，所以至少有一名女生的概率为.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.中，角及所对的边满足（1）求；（2）若，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先由正弦定理，根据题意，得到，根据两角和的正弦公式，进一步整理，得到，从而可求出结果；（2）由题中数据，根据余弦定理，得到，再由三角形面积公式，即可求出结果.【详解】（1）由正弦定理及可得，又，又，；（2）由余弦定理得，解得；.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式即可，属于常考题型.20.如图，在四棱锥中
18、底面为正方形，侧面是正三角形，平面平面，为的中点求证：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，可知点为的中点，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可得出平面；（2）利用面面垂直的性质定理推出平面，可得出，再由等腰三角形三线合一的性质得出，再利用线面垂直的判定定理得出平面，再由面面垂直的判定定理可得出结论.【详解】（1）连接，交于点，连接，四边形为正方形，是的中点，又为的中点，又平面，平面，平面；（2）底面为正方形，平面平面，且平面平面，平面，平面，平面，又是正三角形，为的中点，平面平面，平面平面【点睛】本题考查线面平行
19、的证明，同时也考查了面面垂直的证明，考查了面面垂直性质定理的应用，考查推理能力，属于中等题.21.为了配合新冠疫情防控，某市组织了以“停课不停学，成长不停歇”为主题的“空中课堂”，为了了解一周内学生的线上学习情况，从该市中抽取1000名学生进行调査，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图（1）为了估计从该市任意抽取的3名同学中恰有2人线上学习时间在200,300）的概率，特设计如下随机模拟的方法：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，依次用0,1,2,3，9的前若干个数字表示线上学习时间在200,300）的同学，剩余的数字表示线上学习时间不在200,300）的同学；再以每三个随机数为一
20、组，代表线上学习的情况假设用上述随机模拟方法已产生了表中的30组随机数，请根据这批随机数估计概率的值；907 966 191 925 271 569 812 458 932 683 431 257 027 556438 873 730 113 669 206 232 433 474 537 679 138 602 231（2）为了进一步进行调查，用分层抽样的方法从这1000名学生中抽出20名同学，在抽取的20人中，再从线上学习时间350,450）（350分钟至450分钟之间）的同学中任意选择两名，求这两名同学来自同一组的概率【答案】（1）0.4；（2）0.4【解析】【分析】（1）首先根据频率分
21、布直方图求得线上学习时间在的频率为；按照随机模拟方法产生组随机数，读取名同学中恰有人线上学习时间在的频数为，最后根据古典概型概率公式求得该市名同学中恰有人线上学习时间在的概率为.（2）先从人中抽取人，利用分层抽样确定出中有人，中有人.列举出所有基本样本事件和“两名同学来自同一组”这一事件包含的基本事件个数，利用古典概率公式求得概率为.【详解】解：（1）由频率分布直方图可知，线上学习时间在200,300）的频率为，所以可以用数字0,1,2,3表示线上学习时间在200,300）的同学，数字4,5,6,7,8,9表示线上学习时间不在200,300）的同学；观察上述随机数可得，3名同学中恰有2人线上学
22、习时间在200,300）的有191,271,932,812,431,393,027,730,206,433,138,602，共有12个而基本事件一共有30个，根据古典概型的定义可知该市3名同学中恰有2人线上学习时间在200,300）的概率为（2）抽取的20人中线上学习时间在350,450）的同学有人，其中线上学习时间在350,400）的同学有三名设为，线上学习时间在400,450）的同学有两名设为，从5名同学中任取2人的基本事件空间为，共有10个样本点；用表示“两名同学来自同一组”这一事件，则，共有4个样本点，所以【点睛】本题考查了频率分布直方图、随机模拟方法估计概率、分层抽样及古典概率公式应
23、用，是高考高频考点，属于中档题.22.已知，是的中点（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若是线段上任意一点，且，求最小值；（3）若点是内一点，且，求的最小值【答案】（1）；（2）；（3）6【解析】【分析】（1）根据向量数量积等于，可得，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，根据向量加法、减法以及数量积的坐标表示即可求向量的夹角.（2）以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标表示即可求解.（3）设，可得，利用向量的数量积可得，再将平方，根据向量数量积定义以及基本不等式即可求解.【详解】（1）因为，所以，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系令，则，所以， 设向量，与向量的夹角为，（2）因为，所以，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系因为，则，设 ，当且仅当时，的最小值是（3）设， ，同理：，当且仅当时，所以【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示、向量数量积的定义、利用向量数量积求向量的夹角，考查了运算求解能力，属于中档题.
