1、内蒙古乌兰察布2021届高三数学下学期3月模拟调研（一模）试题 理（含解析）一、选择题（共12小题）.1已知集合Ax|x1|3，Bx|x（x6）0，则AB（）A（2，6）B（0，4）C（0，6）D（2，4）2i是虚数单位，复数z满足：z（1+i）i+2i2+3i3，则z（）A2B2iC2D2i3某次大学生知识大赛，某校代表队3人参赛，答4道题，每人至少答1道题，每题仅1人作答，则不同的题目分配方案种数为（）A24B30C36D424已知（o，），sin，则cos（）（）ABCD5函数f（x）|x22x|，x1、x2、x3、x4满足：f（x1）f（x2）f（x3）f（x4）m，x1x2x3x4且
2、x2x1x3x2x4x3，则m（）ABC1D6直角ABC中，C90，AB2，O为ABC的外心，（）A1B1CD7某四面体的三视图如图，则该多面体棱长的最大值为（）A2B2C3D8已知F是抛物线y24x的焦点，点M在此抛物线上，且它的纵坐标为6，以M为圆心，|MF|为半径作圆，过Q（1，4）引圆M切线QA、QB，则AQB（）A60B90C120D1509f（x）2sin（2x+），x1、x2满足x1、x2（0，），且f（x1）f（x2），则f（x1+x2）（）ABC或D1或110已知ab，cd，则以下命题：2a2c2b2d；2a+2c2b+2d；（2a）c（2b）d正确的个数是（）A0B1C2D
3、311数列an满足a11且对任意kN*，a2k+1a2k+1，a2k2a2k1，则a2020（）A21011B210112C21010D21010212四棱锥PABCD中，PDDAABCD，ABCD，ADC90，PD平面ABCD，M为PC中点，平面ADM交PB于Q，则CQ与PA所成角的余弦值为（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知x、y满足，则zx+2y的最小值为 14随机变量X服从正态分布N（10，22），P（X12）+P（Xm）1，则m 15双曲线（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径作圆O，与双曲线交于x轴上方的两点为A、B，cos
4、AOB，则双曲线的离心率为 16等差数列an的前n项和为Sn，a210，S1040，则满足Sn0的n的最大值为 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤，第17-21题为必考题.第22，23题为选考题。17锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos（AC）+cosB，（1）求B；（2）若a+c4，求ABC的面积18三棱台ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，BAC90，ABAA12A1B12A1C1（1）证明：AB1BC1；（2）求AC1与平面A1C1B所成角的正弦值19大学生知识竞赛中，每个代表队有3个队员，编号为1、2、3，答编号为1号、2号、3号的3道
5、题，答对两道可过关，答对3道为优秀，如表是星火代表队答对各题的概率分布，其中第m行第n列的数字是第m号同学能答对第n号题的概率0.70.60.40.70.70.50.80.80.6（1）按选手编号与题目编号相同的方式答题，求该队过关的概率；（2）调整选手的答题次序，求出该队优秀的最大概率20椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为B，BF1F2为等边三角形，且椭圆C过点（1，）（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在圆O：x2+y2r2的切线l交椭圆C于M、N，且MON90，若存在，求出r；若不存在，说明理由21已知函数f（x）（x+1）ln（x+1）（1）证明：（0，+）上，
6、f（x）有唯一的极小值点x0，且2x03；（2）讨论函数f（x）零点个数选考题：共10分。请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22已知曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：cos（）（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x2|+|x+2|（图中的每个方格是边长1个单位的正方形）（1）画出函数f（x）的图象；（2）当a0时，若不等式f（x）f（xa）的解集为x|x3，求a
7、的取值范围参考答案一、选择题（共12小题）.1已知集合Ax|x1|3，Bx|x（x6）0，则AB（）A（2，6）B（0，4）C（0，6）D（2，4）解：Ax|2x4，Bx|0x6，AB（0，4）故选：B2i是虚数单位，复数z满足：z（1+i）i+2i2+3i3，则z（）A2B2iC2D2i解：由z（1+i）i+2i2+3i3i23i22i，z故选：C3某次大学生知识大赛，某校代表队3人参赛，答4道题，每人至少答1道题，每题仅1人作答，则不同的题目分配方案种数为（）A24B30C36D42解：根据题意，分2步进行分析：将4道题分为3组，有C426种分组方法，将三组题目安排给3人作答，有A336种
8、情况，则有6636种分配方案，故选：C4已知（o，），sin，则cos（）（）ABCD解：（o，），sin，cos，则cos（）coscossinsin，故选：A5函数f（x）|x22x|，x1、x2、x3、x4满足：f（x1）f（x2）f（x3）f（x4）m，x1x2x3x4且x2x1x3x2x4x3，则m（）ABC1D解：由函数的解析式可知函数的对称轴为x1，不妨设 x113a，x21a，x31+a，x41+3a（a0），由f（x4）f（x3） 可得：|（1+3a）（3a1）|（1+a）（a1）|，解得： （a0舍去）则 故选：B6直角ABC中，C90，AB2，O为ABC的外心，（）A1B
9、1CD解：直角ABC中，C90，AB2，O为ABC的外心，+且|cos1801，1+（）1+01，故选：B7某四面体的三视图如图，则该多面体棱长的最大值为（）A2B2C3D解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由正方体切成的四面体ABCD；如图所示：所以AB，ADCDAC，所以最长边长为AB3故选：C8已知F是抛物线y24x的焦点，点M在此抛物线上，且它的纵坐标为6，以M为圆心，|MF|为半径作圆，过Q（1，4）引圆M切线QA、QB，则AQB（）A60B90C120D150解：如图，抛物线y24x的准线方程为x1，由yM6，求得xM9，|MF|xM+110，即圆的半径为10，又Q点在准
10、线上，圆M与准线切于（1，6），可知|QA|10r，故四边形AQBM为正方形，AQB90故选：B9f（x）2sin（2x+），x1、x2满足x1、x2（0，），且f（x1）f（x2），则f（x1+x2）（）ABC或D1或1解：因为x1、x2（0，），且f（x1）f（x2），所以2x1+，2x2+，所以，或，解得x1+x2或x1+x2，所以f（x1+x2）2sin（2+）或f（x1+x2）2sin（2+），所以f（x1+x2）故选：A10已知ab，cd，则以下命题：2a2c2b2d；2a+2c2b+2d；（2a）c（2b）d正确的个数是（）A0B1C2D3解：因为ab，cd，所以2a2b0，2c
11、2d0，所以2a2c2b2d，故正确；所以2a+2c2b+2d，故正确；取a0，b1，c1，d2，则acbd，则2ac2bd，即（2a）c（2b）d，故错误，故命题正确的个数是2故选：C11数列an满足a11且对任意kN*，a2k+1a2k+1，a2k2a2k1，则a2020（）A21011B210112C21010D210102解：数列an满足a11且对任意kN*，a2k+1a2k+1，a2k2a2k1，则：a2k+22a2k+12（a2k+1）2a2k+2，整理得a2k+2+22a2k+42（a2k+2），即（常数），所以：，则，当n1时，a22，解得：，故，故选：B12四棱锥PABCD中
12、，PDDAABCD，ABCD，ADC90，PD平面ABCD，M为PC中点，平面ADM交PB于Q，则CQ与PA所成角的余弦值为（）ABCD解：延长CB，DA相交于点N，连结MN与PB交于点Q，在PNC中，B为CN的中点，M为PC的中点，故Q为PNC的重心，所以PQ2QB，在AB上取S，使得AS2SB，则QSPA，所以SQC即为CQ与PA所成的角（或补角），作SHDC于点H，不妨设AB1，则，在RtHSC中，连结BD，可得，又CD2，所以CBD90，又CBPD，且PDBDD，PD，BD平面PBD，所以CB平面PBD，又BP平面PBD，所以CBPB，故PBC90，则有，所以，由余弦定理可得，所以CQ
13、与PA所成角的余弦值为故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知x、y满足，则zx+2y的最小值为解：作出x，y满足表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（0，2），B（，1），C（3，1），设zF（x，y）x+2y，将直线l：zx+2y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最小值z最小值F（，1）故答案为：14随机变量X服从正态分布N（10，22），P（X12）+P（Xm）1，则m8解：随机变量X服从正态分布N（10，22），P（X12）P（X8），P（X12）+P（Xm）1，P（Xm）1P（X12）P（X12）P（X8），m8故答案为：815双曲线（a0，
14、b0）的左、右焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径作圆O，与双曲线交于x轴上方的两点为A、B，cosAOB，则双曲线的离心率为解：设F1（c，0），F2（c，0），以线段F1F2为直径的圆O的方程为x2+y2c2，又b2x2a2y2a2b2，由可得x，由于A、B关于y轴对称，可得|AB|，在三角形ABO中，cosAOB，化为9e450e2+250，解得e25（舍去），所以e故答案为：16等差数列an的前n项和为Sn，a210，S1040，则满足Sn0的n的最大值为14解：设等差数列an的公差为d，a210，S1040，a110d，10a1+d40，可得：dSnn（10d）+d，由Sn0，
15、可得：20+（n3）d0，n+3，d，+314+，则满足Sn0的n的最大值为14故答案为：14三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤，第17-21题为必考题.第22，23题为选考题。17锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos（AC）+cosB，（1）求B；（2）若a+c4，求ABC的面积解：（1）因为cos（AC）+cosB，所以cos（AC）+cos（A+C）cos（AC）cos（A+C），可得cosAcosC+sinAsinCcosAcosC+sinAsinC2sinAsinC，可得sinAsinC，又，所以+，解得sinB，又B为锐角，所以B（2）
16、因为B，所以由cos（AC）+cosBcos（AC）+，所以cos（AC）1，由A，C为锐角，可得AC0，可得ACB，可得abc，又a+c4，可得ac2，所以SABCacsinB18三棱台ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，BAC90，ABAA12A1B12A1C1（1）证明：AB1BC1；（2）求AC1与平面A1C1B所成角的正弦值【解答】（1）证明：因为AA1平面ABC，所以AA1AB、AA1AC，又因为BAC90，所以AB、AC、AA1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设A1B11，因为ABAA12A1B12A1C1，所以ABAC2，AA1，A1C11，（1，0，），（2，
17、1，），所以（1，0，）（2，1，）2+20，所以AB1BC1；（2）解：由（1）知（2，1，），（0，1，0），（0，1，），设平面A1C1B的法向量为（x，y，z），令x1，（1，0，），所以AC1与平面A1C1B所成角的正弦值为19大学生知识竞赛中，每个代表队有3个队员，编号为1、2、3，答编号为1号、2号、3号的3道题，答对两道可过关，答对3道为优秀，如表是星火代表队答对各题的概率分布，其中第m行第n列的数字是第m号同学能答对第n号题的概率0.70.60.40.70.70.50.80.80.6（1）按选手编号与题目编号相同的方式答题，求该队过关的概率；（2）调整选手的答题次序，求出该队
18、优秀的最大概率解：（1）按选手编号与题目编号相同的方式答题，由相互独立事件概率乘法公式得该队过关的概率为：P0.70.70.60.294（2）调整选手的答题次序，第一号选手答第一道题，第二号选手选第三道题，第三号选手答第二道题的概率为：P10.70.50.80.28，第一号选手答第一道题，第二号选手选第二道题，第三号选手答第三道题的概率为：P20.70.70.60.294第一号选手答第三道题，第二号选手选第一道题，第三号选手答第二道题的概率为：P30.40.70.80.224，第一号选手答第三道题，第二号选手选第二道题，第三号选手答第一道题的概率为：P40.40.70.80.224，第一号选手
19、答第二道题，第二号选手选第一道题，第三号选手答第三道题的概率为：P50.60.70.60.252，第一号选手答第二道题，第二号选手选第三道题，第三号选手答第一道题的概率为：P60.60.50.80.24该队优秀的最大概率为0.29420椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为B，BF1F2为等边三角形，且椭圆C过点（1，）（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在圆O：x2+y2r2的切线l交椭圆C于M、N，且MON90，若存在，求出r；若不存在，说明理由解：（1）由题意知，bc，a2c，所以椭圆的方程为+1，将（1，）代入椭圆的方程，解得c21，所以椭圆C的标准方程为+1（2）
20、直线l的斜率不存在时，直线l的方程为xr，代入椭圆C的方程得+1，所以y23，由对称性可得3r2，解得r2，若直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx+t，因为直线l与圆O相切得r，（*）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（3+4k2）x2+8ktx+4t2120，所以x1+x2，x1x2，因为MON90，所以x1x2+y1y20，所以（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t20，所以（1+k2）+kt（）+t20，化简得t2（k2+1），由（*）得r2与t2（k2+1），得r2，此时r24，直线l与椭圆交于两点，所以r21已知函数f（x）（x+1）ln（x+1）（1）证明：
21、（0，+）上，f（x）有唯一的极小值点x0，且2x03；（2）讨论函数f（x）零点个数解：（1）证明：令h（x）f（x）x1ln（x+1），则h（x）1，当x0时，h（x）0，h（x）单调递增，h（2）1ln30，h（3）2ln40，所以在（0，+）上，f（x）有唯一的极小值点x0，且2x03（2）在（1，0）上，h（x）0，f（x）为减函数，且f（1）0，f（0）10，所以存在x1（1，0），f（x1）0，所以在（1，x1）上，f（x）0，在（x1，0）上，f（x）0，在（0，+）上，h（x）0，f（x）为增函数，由（1）知，存在x2x0（0，+）上，f（x2）0，所以在（0，x2）上，f（
22、x）0，在（x2，+）上，f（x）0，所以（1，x1）上，f（x）0，f（x）无零点，在（x1，x2）上，f（x）0，f（x）为减函数，又0（x1，x2）且f（0）0，所以f（x）只有一个零点为0，在（x2，+）上，f（x）为增函数，f（x2）f（0）0，所以f（e21）2e20，所以在（x2，+）上，f（x）仅有一个零点，综上所述，f（x）零点个数为2选考题：共10分。请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22已知曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：cos（）（1）求
23、曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为x2+y24直线l的极坐标方程为：cos（），根据转换为直角坐标方程为，（2）利用圆心（0，0）到直线的距离d，所以：|AB|选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x2|+|x+2|（图中的每个方格是边长1个单位的正方形）（1）画出函数f（x）的图象；（2）当a0时，若不等式f（x）f（xa）的解集为x|x3，求a的取值范围解：（1）函数f（x）|x2|+|x+2|，则函数f（x）的图象如图所示：（2）yf（x）的图象向右平移a个单位后得到yf（xa）的图象，因为不等式f（x）f（xa）的解集为x|x3，可得yf（x）与yf（xa）的交点为（3，6），所以f（xa）|xa2|+|xa+2|过点（3，6），故|3a2|+|3a+2|6，解得a6或a0（舍），当a6时，yf（xa）f（x6）的图象为f（x）的图象向右平移6个单位，由前面的论证可知，交点A（3，6），故f（x）f（x6）的解集为x|x3，综上可得，a6
