1、山东省济南市商河县第二中学2021届高三数学上学期期中试题（含解析）一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】,则,故选B.考点：本题主要考查集合交集与补集运算.2. 设，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.详解：，则，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化
2、为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 已知，b=log，c=log2，则（ ）A. abcB. bcaC. cbaD. bac【答案】A【解析】【分析】利用对数的性质和指数的性质对化简后与中间量“0”，“1”比较大小即可【详解】解：因为a=1，0b=log=log321，c=log2=-log23bc，故选：A.【点睛】此题考查对数式和指数式比较大小问题，考查对数的运算性质，属于基础题4. 设命题，命题q：函数没有零点，则p是q( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：
3、本题可以从集合的关系作为切入点，先由得出函数没有零点时的范围，再将此范围与进行比较，即可得到的关系由函数没有零点，则，即，显然，可以推出，而不能推出，故选B考点：1、命题；2、充分条件，必要条件；3、函数零点5. 若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用同角三角函数的基本关系式的值，再利用两角差的正弦函数公式即可求解的值.详解：因为，则，且，则，故选C.点睛：本题主要考查了同角三角函数的基本关系式，以及两角差的正弦函数公式的应用，其中熟记三角恒等变换的公式是化简求值的关键，着重考查了推理与运算能力.6. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解
4、析】分析】由题意可得函数不是偶函数，图象不关于轴对称，然后再根据特殊值进行判断可得结果【详解】解：，所以的图象不关于轴对称，排除选项B，C，又因为，排除A.故选：D.【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数的大体图象，考查分析判断能力和应用意识，结合函数奇偶性的判断，属于基础题.7. 已知三角形的三个顶点在球的球面上，的外接圆圆心为，外接圆面积为，且，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据正三角形外接球的面积求出其半径，再由球心与截面圆圆心、球的半径、截面圆的半径满足勾股定理，从而求出球的半径，再用球的表面积公式求解即可.【详解】因为的外接圆面积为，所以圆
5、半径为2，即因为，所以点为的重心，设，所以，即，所以，又平面，所以，所以，即球的半径为4，所以球的表面积为.故选：A【点睛】本题主要考查球的表面积，解题的关键是根据正三角形外接圆半径与边长的关系及球截面的性质，求出球的半径，属于中档题.8. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列an称为“斐波那契数列”，则（ ）A. 1B. 0C. 1007D. 1006【答案】A【解析】【分析】直接利用数列的关系式的应用归纳关系式所表现的规律，进一步
6、求出结果【详解】由于，所以.故选：A【点睛】本题考查了数列求值，归纳推理，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定数列规律是解题的关键.二、多项选择题： 9. 已知，角的终边经过点，则下列结论正确的是( )A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】先通过终边上点的坐标求出然后代入分段函数中求值即可.【详解】因为角的终边经过点,所以,所以,所以,.故选AC.【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义,分段函数的计算求值,难度较易.10. 已知a0，b0，且a+b=1，则（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于A，当且
7、仅当时，等号成立，故A正确；对于B，所以，故B正确；对于C，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.11. 如图正方体的棱长为2，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是（ ）A. B. 平面C. 三棱锥的体积为定值D. 的面积与的面积相等【答案】ABC【解析】【分析】连结，则平面，点到直线的距离不相等，由此能求出结果【详解】解：连结，则平面，平面，三棱锥的体积为定值，从而，正确点到直线的距离不相等，的面积与的面积不相等，故错误
8、故选：【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于基础题12. 已知集合，若对于，使得成立则称集合是“互垂点集”给出下列四个集合其中是“互垂点集”集合的为（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据题意即对于任意点，在中存在另一个点，使得，结合函数图象进行判断【详解】由题意，对于，使得成立即对于任意点，在中存在另一个点，使得中，当点坐标为时，不存在对应的点所以所以不是“互垂点集”集合，的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以在中的任意点，在中存在另一个点，使得所以是“互垂点集”集合，中，当点坐标为时，不存在对应的点所以不是“
9、互垂点集”集合，的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以所以是“互垂点集”集合，故选：BD【点睛】本题考查命题真假的判断与应用，考查对新定义的理解与应用，属于较难题三、填空题13. 已知向量、满足，则向量、的夹角为_.【答案】【解析】【分析】将和相加得，相减得，再利用夹角公式可得结果.【详解】将和相加得，相减得，故，则、的夹角为.故答案为：.【点睛】本题主要考查平面向量线性运算，考查了平面向量的夹角公式属于基础题.14. 已知正数a、b满足，则ab的最大值为_【答案】【解析】【分析】由题得，再利用基本不等式求最值.【详解】因为正数a、b满足，故可得，当且仅当时，即时取得最大值
10、.故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15. 若函数在上有最小值，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】f(x)x21(x1)(x1)，令f(x)0得x1或x1，令f(x)0得1x1，所以函数f(x)的单调递增区间为(，1)和(1，)，减区间为(1,1)所以要使函数f(x)x3x在(a,10a2)上有最小值，只需，即2a1.16. 一般地，若的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”，（1）若为的跟随区间，则_；（2）若函数存在跟随区间，则的取值范围是_.【答案】 (1). 2 (2). 【
11、解析】【分析】空1：根据所给的定义，给合二次函数的性质进行求解即可；空2：根据所给的定义，结合函数的单调性，通过构造新函数，利用新构成函数的性质进行求解即可.【详解】空1：因为为的跟随区间，所以函数的值域为，因为，所以二次函数的对称轴为：，因此函数在上单调递增，因此根据题中所给的定义有；空2：函数的定义域为：，因为函数存在跟随区间，所以设跟随区间为：，所以的值域为，而函数是定义域内的递减函数，因此有：，因为，所以，因此由，所以，令，所以，因此有，同理，设函数因为，所以，因为，所以方程在时，有两个不相等的实数根.因此直线与函数的图象有两个交点，因此有.故答案为：2；【点睛】关键点睛：本题的关键：
12、一是利用因式分解法由得到；二是由得到方程在时，有两个不相等的实数根.四、解答题17. 在中，_，求边上的高.在；这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】【分析】选，先根据正弦定理得，再根据余弦定理得，进而得边上的高为；选，由得，进而根据余弦定理得，进而得边上的高为；选择，由得，进而由余弦定理得，进而得边上的高为.【详解】解：选择，在中，由正弦定理得，即，解得，由余弦定理得，即，化简得，解得或（舍去）；所以边上的高为.选择，在中，由正弦定理得，又因为，所以，即；由余弦定理得，即，化简得，解得或（舍去）；所以边上的高为
13、.选择，在中，由，得；由余弦定理得，即化简得，解得或（舍去）；所以边上的高为.【点睛】本题解题的关键在于应用正余弦定理的方程思想计算出边，进而根据边上的高为求解，考查运算求解能力，是基础题.18. 已知数列前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由整理可得；进而得到是首项为3，公比为3的等比数列，即可求出其通项，从而求得结论；（2）利用第一问的结论，求得数列的通项，再结合错位相减法即可求得结论【详解】解：（1）由题知，即，即，数列是首项为3，公比为3的等比数列，；（2）由（1）知， ， 得，.【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒
14、序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和19. 已知函数.（1）求函数在上的单调递减区间；（2）在锐角中，内角，的对边分别为，已知，求的面积.【答案】（1）和.（2）【解析】【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再将代入正弦函数递增区间，并与区间取交集，即可得答案；（2）根据可得，再根据正弦定理和三角形的面积公式，即可得答案；【详解】（1）由已知得由，可得，又函数在的单调递减区间为和.（2）由（1）知，由，可得.中是锐角三角形，又，即，又，正弦定理可得，.【点
15、睛】本题考查三角恒等变换中的倍角公式、解三角形中的正弦定理和面积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.20. 如图，在几何体中，四边形为矩形，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用中位线及矩形的性质证明，即可推出，从而证明线面平行；（2）证明平面，即可根据直线与平面所成的角推出，由勾股定理证明，在点C处建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量法求两向量夹角的余弦值.【详解】（1）取的中点，连接，如图所示，N、Q分别AB、BC的中
16、点，四边形为矩形，且M为EF的中点，则四边形为平行四边形，即.平面，平面，平面.（2）由，可得，由为等腰三角形可知，.四边形为矩形，又，平面，平面，平面，平面，则为直线与平面所成的角，即，.，则可建立如图所示的空间直角坐标系，.设为平面的法向量，则，即，取，则为平面的一个法向量.又为平面FCB的一个法向量，故平面与平面夹角的余弦值为.21. 如图，在半径为的半圆形（为圆心）铝皮上截取一块矩形材料，其中点、在直径上，点、在圆周上.（1）怎样截取才能使截得的矩形的面积最大？并求最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱
17、形罐子体积最大？并求最大面积.【答案】（1）取为时，矩形的面积最大，最大值为；（2）取为时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为.【解析】【分析】（1）设，矩形的面积为，利用基本不等式求解最值；（2）设圆柱底面半径为，高为，体积为.由，得，其中，利用导函数求解最值.【详解】（1）连结.设，矩形的面积为.则，其中. 所以.当且仅当，即时，取最大值为.所以，取为时，矩形的面积最大，最大值为. （2）设圆柱底面半径为，高为，体积为.由，得，所以，其中.由，得，因此在上是增函数，在上是减函数.所以当时，的最大值为.取为时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为.【点睛】此题考查函数模型的应用：（1）合理设未
18、知数，建立函数关系，需要注意考虑定义域；（2）利用基本不等式求最值，要注意最值取得的条件；（3）利用导函数讨论函数单调性求解最值，注意自变量的取值范围.22. 已知函数（为常数）.（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；（2）若函数存在两个极值点，且，求的范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出，解不等式即得解；（2）求导得到韦达定理，再化简，设，求出的最值即得解.【详解】（1），只要，即时恒成立，在定义域上单调递增.（2）由（1）知有两个极值点则，的二根为，则，设，又，.则，在递增，.即的范围是.【点睛】方法点睛：关于双变量的问题，一般转化成单变量的函数问题来解决.本题就是把双变量的化成关于的函数再来解答.
