1、1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.4 二面角 第一章 空间向量与立体几何 学 习 任 务核 心 素 养 1掌握二面角的概念、二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角(重点)2掌握求二面角的方法、步骤(重点、难点)1通过学习二面角的概念及二面角的平面角，培养数学抽象素养2借助求二面角的方法和步骤的学习，提升逻辑推理、数学运算素养情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2 地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面的交角(二面角的平面角)为 2326黄道面与天球相交的大圆称为“黄道”黄道及其附近的南北宽 9以内的区域称为黄道带，太阳及大多数行星在天球上的位
2、置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起，每 30便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、狮子座、双子座等等，这便是星座的由来.今天我们研究的问题便是如何计算二面角的大小.知识点 1 二面角的概念 (1)半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的_都称为半平面(2)二面角：从一条直线出发的_所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的_，_称为二面角的面棱为l，两个面分别为，的二面角的面，记作_，若 A，B，则二面角也可以记作_，二面角的范围为_ 每一部分两个半平面棱 每个半平面lAlB0，(3)二面角的平面角：在二面角-l-的棱上_，以 O 为垂足，分别在
3、半平面和内作垂直于棱的射线OA和OB，则_称为二面角-l-的平面角 二面角的大小等于它的平面角大小，平面角是直角的二面角称为直二面角 任取一点OAOB如何找二面角的平面角？提示(1)定义法 由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识(2)垂面法 作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致(4)射影面积公式法 已知平面 内一个多边形的面积为 S，它在平面 内的射影图形的面积为 S，平面 和平面 所成的二面角的大小为，则 cos
4、 SS 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)二面角的范围是0，2()(2)若二面角-l-的两个半平面的法向量分别为 n1，n2，则二面角的平面角与两法向量夹角n1，n2一定相等()(3)二面角的大小通过平面角的大小来度量()答案(1)(2)(3)提示(1)范围是0，(2)不一定可能相等，也可能互补(3)知识点 2 用空间向量求二面角的大小 如果 n1，n2 分别是平面 1，2 的一个法向量，设 1 与 2 所成角的大小为 则 或 ，sin 二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角大小相等或互补 sinn1，n2n1，n2n1，n22(1)已知二面角-l-，其中平面 的一个法向量 m(
5、1，0，1)，平面 的一个法向量 n(0，1，1)，则二面角-l-的大小可能为_(2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，二面角 A1-BD-C1 的余弦值是_(1)60或 120(2)13(1)cosm，n mn|m|n|12 212，m，n120，二面角-l-的大小为 60或 120(2)如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 D(0，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，DA1(1，0，1)，DB(1，1，0)设 n(x，y，z)是平面 A1BD 的一个法向量，则nDA1 0，nDB 0，即xz0，xy0，令 x1，则 y1，z1，n(1，1，1)同理，求得平
6、面 BC1D 的一个法向量 m(1，1，1)，则 cosm，n mn|m|n|13，所以二面角 A1-BD-C1 的余弦值为13合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 用定义法求二面角 【例 1】如图，设 AB 为圆锥 PO 的底面直径，PA 为母线，点C 在底面圆周上，若PAB 是边长为 2 的正三角形，且 COAB，求二面角 P-AC-B 的正弦值解 如图，取 AC 的中点 D，连接 OD，PD，PO底面，POAC，OAOC，D 为 AC 的中点，ODAC，又 POODO，AC平面 POD，则 ACPD，PDO 为二面角 P-AC-B 的平面角 PAB 是边长为 2 的正
7、三角形，COAB，PO 3，OAOC1，OD 22，则 PD 32222 142 sinPDOPOPD3142 427，二面角 P-AC-B 的正弦值为 427 用定义求二面角的步骤是什么？提示(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角(3)解三角形求角 跟进训练 1已知矩形 ABCD 的两边 AB3，AD4，PA平面 ABCD，且 PA45，则二面角 A-BD-P 的正切值为_ 13 过 A 作 AOBD，交 BD 于 O，连接 PO，矩形 ABCD 的两边 AB3，AD4，PA平面 ABCD，且 PA45，BD 32425，POBD
8、，POA 是二面角 A-BD-P 的平面角，12BDAO12ABAD，AOABADBD125，tanPOAPAAO4512513 二面角 A-BD-P 的正切值为13 类型 2 用向量法求二面角 【例 2】如图所示，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形 ACC1A1 和四边形 BDD1B1 均为矩形(1)证明：O1O底面 ABCD；(2)若CBA60，求二面角 C1-OB1-D 的余弦值 1所有棱长都相等的四棱柱是正方体吗？提示 不一定是正方体，因为其侧棱不一定垂直于底面，底面是菱形，也不一定是正方形 2以 AB，AD，AA1 所在直线
9、分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系可以吗？为什么？提示 不可以因为 AB 与 AD 不垂直 解(1)证明：因为四边形 ACC1A1 和四边形 BDD1B1 均为矩形，所以 CC1AC，DD1BD，又 CC1DD1OO1，所以 OO1AC，OO1BD，因为 ACBDO，所以 O1O底面 ABCD(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形 ABCD 为菱形，ACBD，又 O1O底面 ABCD，所以 OB，OC，OO1 两两垂直如图，以 O 为原点，OB，OC，OO1 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 设棱长为 2，因为CBA60，所以 OB 3，OC1，所以 O(0，0，
10、0)，B1(3，0，2)，C1(0，1，2)，平面 BDD1B1 的一个法向量为 n(0，1，0)，设平面 OC1B1 的法向量为 m(x，y，z)，则 mOB1，mOC1，所以 3x2z0，y2z0，取 z 3，则 x2，y2 3，所以 m(2，2 3，3)，所以 cosm，n mn|m|n|2 3192 5719 由图形可知二面角 C1-OB1-D 的大小为锐角，所以二面角 C1-OB1-D 的余弦值为2 5719 1(变问法)本例(2)条件不变，求二面角 B-A1C-D 的余弦值 解 如图建立空间直角坐标系 设棱长为 2，则 A1(0，1，2)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(3
11、，0，0)所以BC(3，1，0)，A1C(0，2，2)，CD(3，1，0)设平面 A1BC 的法向量为 n1(x1，y1，z1)，则n1A1C 0，n1BC0，即2y12z10，3x1y10，取 x1 3，则 y1z13，故 n1(3，3，3)设平面 A1CD 的法向量为 n2(x2，y2，z2)，则n2A1C 0，n2CD 0，即2y22z20，3x2y20，取 x2 3，则 y2z23，故 n2(3，3，3)所以 cosn1，n2 n1n2|n1|n2|152157 由图形可知二面角 B-A1C-D 的大小为钝角，所以二面角 B-A1C-D的余弦值为57 2(变条件、变问法)本例四棱柱中，
12、CBA60改为CBA90，设 E，F 分别是棱 BC，CD 的中点，求平面 AB1E 与平面 AD1F所成锐二面角的余弦值 解 以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱长为 1，则 A(0，0，0)，B1(1，0，1)，E1，12，0，D1(0，1，1)，F12，1，0，AE1，12，0，AB1(1，0，1)，AF12，1，0，AD1(0，1，1)设平面 AB1E 的法向量为 n1(x1，y1，z1)，则n1AB1 0，n1AE0，即x1z10，x112y10，令 y12，则 x11，z11，所以 n1(1，2，1)设平面 AD1F 的法向量为 n2(x2，y2，z2)，
13、则n2AD1 0，n2AF0，即y2z20，12x2y20.令 x22，则 y21，z21所以 n2(2，1，1)所以平面 AB1E 与平面 AD1F 所成锐二面角的余弦值为|n1n2|n1|n2|1，2，12，1，1|122212221212|122111|6 612 利用坐标法求二面角的步骤设 n1，n2 分别是平面，的法向量，则向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图用坐标法的解题步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量 n1，n2(3)计算：求 n1 与 n2 所成锐角，cos|n1n2|n1
14、|n2|(4)定值：若二面角为锐角，则为；若二面角为钝角，则为 提醒：正确计算出平面的法向量是关键 跟进训练 2如图所示，PA平面 ABC，ACBC，BC 2，PAAC1，则二面角 A-PB-C 的余弦值为_ 33 法一：建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz，取 PB 的中点 D，连接 DC，易得 PCBC 2，DCPB，作 AEPB 于 E则向量DC 与EA的夹角的大小为二面角 A-PB-C 的大小 易知 A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，0)，P(1，0，1)，又 D为 PB 的中点，D12，22，12 在 RtPAB 中，PEEBAP2AB213，E34，24，34 EA
15、14，24，34，DC 12，22，12 EADC 12 又|EA|32，|DC|1，cosEA，DC EADC|EA|DC|1232 1 33 即二面角 A-PB-C 的余弦值为 33 法二：如图所示，以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Axyz，则 A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，故AP(0，0，1)，AB(2，1，0)，CB(2，0，0)，CP(0，1，1)设平面 PAB 的法向量为 m(x，y，z)，则mAP0，mAB0，即z0，2xy0.令 x1，则 m(1，2，0)为平面 PAB 的一个法向量 设平面 PBC 的法向量为 n(x，y，z)
16、，则nCB0，nCP0，即 2x0，yz0，令 y1，则 n(0，1，1)为平面 PBC 的一个法向量，cosm，n mn|m|n|33 由图可知二面角 A-PB-C 是锐角，二面角 A-PB-C 的余弦值为 33 类型 3 空间中的翻折与探索性问题【例 3】如图甲，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABBC，CD2AB2BC4，过 A 点作 AECD，垂足为 E，现将ADE 沿AE 折叠，使得 DEEC取 AD 的中点 F，连接 BF，CF，EF，如图乙 甲 乙(1)求证：BC平面 DEC；(2)求二面角 C-BF-E 的余弦值 解(1)证明：DEEC，DEAE，AEECE，DE平面 AB
17、CE，又BC平面 ABCE，DEBC，又BCEC，DEECE，BC平面 DEC(2)如图，以点 E 为坐标原点，分别以 EA，EC，ED 为 x，y，z轴建立空间直角坐标系 Exyz，则 E(0，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，D(0，0，2)，A(2，0，0)，F(1，0，1)，设平面 EFB 的法向量 n1(x1，y1，z1)，由EF(1，0，1)，EB(2，2，0)，所以x1z10，2x12y10，取 x11，得平面 EFB 的一个法向量 n1(1，1，1)，设平面 BCF 的一个法向量为 n2(x2，y2，z2)，由CF(1，2，1)，CB(2，0，0)，x20，x22y
18、2z20，取 y21，得平面 BCF 的一个法向量 n2(0，1，2)，设二面角 C-BF-E 的大小为，则 cos|n1n2|n1|n2|12|3 5 155 1与空间角有关的翻折问题的解法要找准翻折前后图形中的不变量及变化的量，再结合向量知识求解相关问题 2关于空间角的探索问题的处理思路 利用空间向量解决空间角中的探索问题，通常不需要复杂的几何作图、论证、推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理 跟进训练 3如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，M，N 分别是棱 AB，AD，A1B
19、1，A1D1 的中点，点 P，Q 分别在棱 DD1，BB1 上移动，且 DPBQ(02)(1)当 1 时，证明：直线 BC1平面 EFPQ；(2)是否存在实数，使平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 解 以点 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz由题意得 B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，)故BC1(2，0，2)，FP(1，0，)，FE(1，1，0)(1)当 1 时，FP(1，0，1)BC1(2，0，2)，BC1 2FP，又 BFP，BC1FP 又 FP平面 EFP
20、Q，且 BC1平面 EFPQ，故直线 BC1平面 EFPQ(2)设平面 EFPQ 的法向量为 n(x，y，z)，由FEn0，FPn0，得xy0，xz0.取 z1，则平面 EFPQ 的一个法向量为 n(，1)同理，平面 PQMN 的一个法向量为 m(2，2，1)若存在实数，使平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角为直二面角，则 mn(2，2，1)(，1)0，即(2)(2)10，解得 1 22 故存在实数，使平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角为直二面角，此时 的值为 1 22 当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1三棱锥 A-BCD 中，平面 ABD 与平面 BCD 的
21、法向量分别为n1n2，若n1，n23，则二面角 A-BD-C 的大小为()A3 B23 C3或23 D6或3 C 当二面角 A-BD-C 为锐角时，等于n1，n23 当二面角 A-BD-C 为钝角时，等于 n1，n2323 1 3 5 2 4 2已知ABC 和BCD 均为边长为 a 的等边三角形，且 AD 32a，则二面角 A-BC-D 的大小为()A30B45 C60D90 1 3 5 2 4 C 如图，取 BC 的中点为 E，连接 AE，DE，由题意得 AEBC，DEBC，且 AEDE 32 a，又 AD 32 a，AED60，即二面角 A-BC-D 的大小为 60 1 3 5 2 4 3
22、如图所示，在正四棱锥 P-ABCD 中，若PAC 的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为 68，则侧面与底面所成的二面角为()A 12B4 C6D3 1 3 5 2 4 D 设正四棱锥的底面边长为 a，侧面与底面所成的二面角为，高为 h，斜高为 h，则12 2ah412ah 68，hh 32，sin 32，即 3 1 3 5 2 4 4在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 BB1 的中点，则平面 A1ED与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为_ 23 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，E1，1，12，DA1(1，0，1)，
23、1 3 5 2 4 DE 1，1，12 设平面 A1ED 的一个法向量为 n(x，y，z)，则 nDA1 0，且 nDE0，即xz0，xy12z0，1 3 5 2 4 令 x1，得 y12，z1 n1，12，1，又平面 ABCD 的一个法向量为DD1(0，0，1)，则 cosn，DD1|nDD1|n|DD1|23 1 3 5 2 4 5若二面角内一点到两个面的距离分别为 5 和 8，两垂足间的距离为 7，则这个二面角的大小是_ 120 设二面角大小为，由题意可知 cos()825272285 6425498012，所以 120回顾本节知识，自我完成以下问题：1构成二面角的平面角有几个要素？提示(1)角的顶点在二面角的棱上；(2)角的两边分别在表示二面角的两个半平面内；(3)角的两边分别和二面角的棱垂直 2二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有何关系？提示 条件平面，的法向量分别为 u，v，所构成的二面角的大小为，u，v 图形 关系计算cos cos cos cos 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
