1、基础诊断考点突破第2讲 不等式的证明基础诊断考点突破最新考纲 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法基础诊断考点突破知 识 梳 理1不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等(1)比较法求差比较法知道 abab0，ababb，只要证明即可，这种方法称为求差比较法ab0基础诊断考点突破求商比较法由 ab0ab1 且 a0，b0，因此当 a0，b0 时要证明 ab，只要证明 ab1 即可，这种方法称为求商比较法.(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)这种证法称为分析
2、法，即“执果索因”的证明方法充分条件基础诊断考点突破(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立相反基础诊断考点突破2几个常用基本不等式(1)柯西不等式：柯西不等式的代数形式：设 a，b，c，d 都是实数，则(a2b2)(c2d2)(当且仅当 adbc 时，等号成立)柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则|，当且仅当 是零向量，或存在实数 k，
3、使 k 时，等号成立(acbd)2基础诊断考点突破柯西不等式的三角不等式：设 x1，y1，x2，y2，x3，y3R，则x1x22y1y22x2x32y2y32 x1x32y1y32.柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn 是实数，则(a21a22a2n)(b21b22b2n)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当 bi0(i1,2，n)或存在一个数 k，使得 aikbi(i1,2，n)时，等号成立基础诊断考点突破(2)算术几何平均不等式若 a1，a2，an 为正数，则a1a2ann n a1a2an，当且仅当 a1a2an 时，等号成立基础诊断考点突破诊 断
4、 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时假设为“a，b，c全不为0”()(2)若实数x，y适合不等式xy1，xy2，则x0，y0.()答案(1)(2)基础诊断考点突破2(2017泰安模拟)若 ab1，xa1a，yb1b，则 x 与 y 的大小关系是()Axy Bxy Cxy Dxy解析 xya1ab1b abbaab abab1ab.由 ab1 得 ab1，ab0，所以abab1ab0，即 xy0，所以 xy.答案 A基础诊断考点突破3(2017聊城模拟)下列四个不等式：logx10lg x2(x1)；|ab|a|b|；baab 2(ab0)；|x
5、1|x2|1，其中恒成立的个数是()A1 B2C3 D4基础诊断考点突破解析 logx10lg x 1lg xlg x2(x1)，正确ab0 时，|ab|a|b|，不正确；因为 ab0，ba与ab同号，所以baab ba ab 2，正确；由|x1|x2|的几何意义知，|x1|x2|1 恒成立，也正确，综上正确答案 C基础诊断考点突破4设 a，b，m，nR，且 a2b25，manb5，则 m2n2的最小值为_解析 由柯西不等式得(manb)2(m2n2)(a2b2)，即 m2n25，m2n2 5，所求最小值为 5.答案 5基础诊断考点突破5(2016全国卷)已知函数 f(x)x12 x12，M
6、为不等式 f(x)2的解集(1)求 M；(2)证明：当 a，bM 时，|ab|1ab|.(1)解 f(x)2x，x12，1，12x12，2x，x12.基础诊断考点突破当 x12时，由 f(x)2 得2x1；当12x12时，f(x)2 成立；当 x12时，由 f(x)2 得 2x2，解得 x1.所以 f(x)2 的解集 Mx|1x1(2)证明 由(1)知，当 a，bM 时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0，即(ab)2(1ab)2，因此|ab|1ab|.基础诊断考点突破考点一 用分析法证明不等式 【例 1】设 a，b，c0，且 abbcca1.求
7、证：(1)abc 3；(2)abcbaccab3(a b c)基础诊断考点突破证明(1)要证 abc3，由于 a，b，c0，因此只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而 abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而这可以由 abbccaa2b22b2c22c2a22a2b2c2(当且仅当 abc 时等号成立)证得原不等式成立基础诊断考点突破(2)abcbaccababcabc.由于(1)中已证 abc 3.因此要证原不等式成立，只需证明1abca b c.即证 a bcb acc ab1，即证 a bcb
8、 acc ababbcca.基础诊断考点突破规律方法 当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆基础诊断考点突破【训练 1】(2016宜昌一中月考)已知函数 f(x)|x1|.(1)解不等式 f(x1)f(x3)6；(2)若|a|1，|b|1，且 a0，求证：f(ab)|a|fba.解(1)由题意，知原不等式等价为|x2|x2|6，令 g(x)|x2|x2|，则 g(x)2x，x2，4，2x2，2x，x2.基础诊断考点突破当 x2 时，由2x6，得 x3；当2x2
9、时，46 不成立，此时无解；当 x2 时，由 2x6，得 x3.综上，不等式的解集是(，33，)(2)证明 要证 f(ab)|a|fba，只需证|ab1|ba|，只需证(ab1)2(ba)2.而(ab1)2(ba)2a2b2a2b21(a21)(b21)0，从而原不等式成立基础诊断考点突破考点二 用综合法证明不等式【例 2】已知 a0，b0，ab1，求证：(1)1a1b 1ab8；(2)11a 11b 9.基础诊断考点突破证明(1)ab1，a0，b0，1a1b 1ab1a1babab 21a1b2aba abb2baab 44 baab48.1a1b 1ab8(当且仅当 ab12时等号成立)(
10、2)11a 11b 1a1b 1ab1，由(1)知1a1b 1ab8.11a 11b 9.基础诊断考点突破规律方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件基础诊断考点突破【训练 2】(2017重庆适应性测试)设 a，b，cR且 abc1.(1)求证：2abbccac2212；(2)求证：a2c2bb2a2cc2b2a2.基础诊断考点突破证明(1)因为 1(abc)2a2b2c22ab2bc2ca4ab
11、2bc2cac2，所以 2abbccac2212(4ab2bc2cac2)12.(2)因为a2c2b2acb，b2a2c2abc，c2b2a2bca，所 以 a2c2b b2a2c c2b2a acb abc abc bca acb bca acbbc bacca cabba 2a2b2c2.基础诊断考点突破考点三 柯西不等式的应用【例 3】已知 x，y，z 均为实数(1)若 xyz1，求证：3x1 3y2 3z33 3；(2)若 x2y3z6，求 x2y2z2 的最小值(1)证明 因为(3x1 3y2 3z3)2(121212)(3x13y23z3)27.所以 3x1 3y2 3z33 3.
12、当且仅当 x23，y13，z0 时取等号基础诊断考点突破(2)解 因为 6x2y3z x2y2z2 149，所以 x2y2z2187，当且仅当 xy2z3即 x37，y67，z97时，x2y2z2 有最小值187.基础诊断考点突破规律方法(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a21a22a2n)1a21 1a22 1a2n(111)2n2.在使用柯西不等式时，要注意右边常数且应注意等号成立的条件.基础诊断考点突破【训练 3】已知大于 1 的正数 x，y
13、，z 满足 xyz3 3.求证：x2x2y3zy2y2z3xz2z2x3y 32.证明 由柯西不等式及题意得，x2x2y3zy2y2z3xz2z2x3y(x2y3z)(y2z3x)(z2x3y)(xyz)227.基础诊断考点突破又(x2y3z)(y2z3x)(z2x3y)6(xyz)18 3，x2x2y3zy2y2z3xz2z2x3y 2718 3 32，当且仅当 xyz 3时，等号成立基础诊断考点突破思想方法证明不等式的方法和技巧：(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等基础诊断考点突破(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的在本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据基础诊断考点突破易错防范1在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立2柯西不等式使用的关键是出现其结构形式，也要注意等号成立的条件.
