1、54 三角函数的图象与性质54.1 正弦函数、余弦函数的图象1了解正弦函数、余弦函数的图象2会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象3能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题1正弦曲线正弦函数 ysinx，xR 的图象叫正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线2正弦函数图象的画法(1)几何法利用正弦线画出 ysinx，x0,2的图象；将图象向左、向右平行移动(每次 2 个单位长度)(2)五点法画出正弦曲线在0,2上的图象的五个关键点(0,0)，2，1，(，0)，32，1，(2，0)，用光滑的曲线连接；将所得图象向左、向右平行移动(每次 2 个单位长度)3余弦曲线余弦函数 ycosx，xR
2、 的图象叫余弦曲线它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线4余弦函数图象的画法(1)要得到 ycosx 的图象，只需把 ysinx 的图象向左平移2个单位长度即可，这是由于 cosxsinx2.(2)用“五点法”：画余弦曲线 ycosx 在0,2上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，2，0，(，1)，32，0，(2，1)，再用光滑的曲线连接温馨提示：(1)“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法(2)“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向判断正误(正确的打“”，错误的打“
3、”)(1)函数 ycosx 的图象与 y 轴只有一个交点()(2)将正弦曲线向右平移2个单位就得到余弦曲线()(3)函数 ysinx，x2，52 的图象与函数 ycosx，x0,2的图象的形状完全一致()(4)函数 ysinx，x2k，2(k1)kZ，且 k0 的图象与 ysinx，x0,2的图象形状完全一致()答案(1)(2)(3)(4)题型一用“五点法”作简图【典例 1】用“五点法”作出下列函数的简图(1)ysinx1，x0,2；(2)y2cosx，x0,2思路导引 利用“五点法”作函数简图时，应先列表，再描点，再连线解(1)列表：x02322sinx01010sinx110121描点连线
4、，如图所示(2)列表：x02322cosx101012cosx32123描点连线，如图所示用“五点法”画函数 yAsinxb(A0)在0,2上的简图的步骤(1)列表x02322sinx01010yy1y2y3y4y5(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，2，y2，(，y3)，32，y4，(2，y5)(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来针对训练1利用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y12sinx，x0,2；(2)y1cosx，x0,2解(1)列表：x02322sinx0101012sinx13111在直角坐标系中描出五点(0,1)，2，3，(，1)，32，1，
5、(2，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到 y12sinx，x0,2的图象如图(2)列表：x02322cosx101011cosx01210在直角坐标系中，描出五点(0,0)，2，1，(，2)，32，1，(2，0)，然后并用光滑的曲线连接起来，就得到 y1cosx，x0,2的图象如图题型二正、余弦函数图象的简单应用【典例 2】利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的 x 的集合(1)sinx12；(2)cosx12.思路导引 先在0,2上找到使等式成立的关键点，再依据图象或三角函数线找到不等式的解解(1)作出正弦函数 ysinx，x0,2的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的 x
6、 的集合为62k，56 2k，kZ.(2)作出余弦函数 ycosx，x0,2的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的 x 的集合为32k，53 2k，kZ.用三角函数图象解三角不等式的步骤(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在0,2上的图象(也可以是，上的图象)；(2)在0,2上或(，上)写出适合三角不等式的解集；(3)根据公式一写出定义域内的解集针对训练2求下列函数的定义域(1)ylg(cosx)；(2)y2sinx 2.解(1)为使函数有意义，则需要满足cosx0，即 cosx0.由余弦函数图象可知满足条件的 x 为22kx32 2k，kZ.所以原函数定义域为x22kx32 2k，kZ.(
7、2)为使函数有意义，则需要满足 2sinx 20，即 sinx 22.由正弦函数图象可知满足条件的 x 为42kx34 2k，kZ.所以原函数定义域为x42kx34 2k，kZ.课堂归纳小结1本节课要牢记正、余弦函数图象中“五点”的确定ysinx，x0,2与 ycosx，x0,2的图象上的关键五点分为两类：(1)图象与 x 轴的交点；(2)图象上的最高点和最低点2用“五点法”在0,2内做出正、余弦函数的简图，再通过平移即可得到正、余弦曲线.1用“五点法”画 ysinx，x0,2的图象时，下列哪个点不是关键点()A.6，12B.2，1C(，0)D(2，0)解析 五个关键点为(0,0)，2，1，(
8、，0)，32，1，(2，0)，故选 A.答案 A2对于余弦函数 ycosx 的图象，有以下三项描述：向左向右无限延伸；与 x 轴有无数多个交点；与 ysinx 的图象形状一样，只是位置不同其中正确的有()A0 个B1 个C2 个D3 个解析 如图所示为 ycosx 的图象可知三项描述均正确答案 D3函数 y1sinx，x0,2的大致图象是()解析 列表x02322sinx010101sinx10121描点与选项比较，可知选 B.答案 B4在0,2内，不等式 sinx 32 的解集是()A(0，)B.3，43C.43，53D.53，2解析 画出 ysinx，x0,2的图象如下：因为 sin3 3
9、2，所以 sin3 32，sin23 32.即在0,2内，满足 sinx 32 的是 x43 或 x53.由图可知不等式 sinx0)的图象中与 y 轴最近的最高点的坐标为()A.2，1B(，1)C(0,1)D(2，1)解析 用五点作图法作出函数 ycosx(x0)的图象如图所示，由图易知与 y 轴最近的最高点的坐标为(，1)答案 B3函数 ysinx，x2，32 的简图是()解析 将 x2代入 ysinx 中，得 ysin2 sin21.故排除 A、B、C，故选 D.答案 D4使不等式 22sinx0 成立的 x 的取值集合是()A.x2k4x2k34，kZB.x2k4x2k74，kZC.x
10、2k54 x2k4，kZD.x2k54 x2k74，kZ解析 22sinx0，sinx 22，作出 ysinx 在32，2内的图象，如图所示，则满足条件的 x54，4.使不等式成立的x 的取值范围为x2k54 x2k4，kZ.答案 C5方程 xsinx0 的根有()A0 个B1 个C2 个D无数个解析 设 f(x)x，g(x)sinx，在同一直角坐标系中画出 f(x)和 g(x)的图象，如图所示由图知 f(x)和 g(x)的图象仅有一个交点，则方程 xsinx0 仅有一个根答案 B二、填空题6已知函数 f(x)32cosx 的图象经过点3，b，则 b_.解析 由题意知，b32cos332124
11、.答案 47不等式 cosx0，x0,2的解集为_ 解 析 由 y cosx，x 0,2 的 图 象 知 cosx0 的 解 为x2x32.答案 x2x328函数 ysinx，x0,2的图象与直线 y12的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2_.解析 解法一：ysinx，x0,2的图象与直线 y12的交点坐标为76，12 和116，12，故 x1x276 116 186 3.解法二：A、B 两点关于 x32 对称，x1x2232 3.答案 3三、解答题9用“五点法”作出函数 ycosx6，x6，116的图象解 找出五个关键点，列表如下：ux602322x635643116y
12、cosu10101描点并将它们用光滑的曲线连接起来10求函数 ysinx12 cosx的定义域解 由sinx120，cosx0，得sinx12，2k2x2k2，kZ.所以 2k6x2k2，kZ，即函数 ysinx12 cosx的定义域为2k6，2k2(kZ)综合运用11函数 ycosx|cosx|，x0,2的大致图象为()解析 ycosx|cosx|2cosx，x0，2 32，2，0，x2，32，故选 D.答案 D12方程|x|cosx 在(，)内()A没有根B有且仅有一个根C有且仅有两个根D有无穷多个根解析 求解方程|x|cosx 在(，)内根的个数问题，可转化为求解函数 f(x)|x|和
13、g(x)cosx 在(，)内的交点个数问题f(x)|x|和 g(x)cosx 的图象显然有两交点，即原方程有且仅有两个根故选 C.答案 C13函数 f(x)sinx，x0，x2，x12的解集是_解析 在同一平面直角坐标系中画出函数 f(x)和 y12的图象，由图易得32x0 或62kx562k，kN.答案 x32x0或62kx56 2k，kN14关于三角函数的图象，有下列命题：ysin|x|与 ysinx 的图象关于 y 轴对称；ycos(x)与 ycos|x|的图象相同；y|sinx|与 ysin(x)的图象关于 x 轴对称；ycosx 与 ycos(x)的图象关于 y 轴对称其中正确命题的序号是_解析 对，ycos(x)cosx，ycos|x|cosx，故其图象相同；对，ycos(x)cosx，故其图象关于 y 轴对称，由作图可知均不正确答案 15若函数 y2cosx(0 x2)的图象和直线 y2 围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积解 观察图可知，图形 S1 与 S2，S3 与 S4 都是两个对称图形；有 S1S2，S3S4，因此函数 y2cosx 的图象与直线 y2 所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形 OABC 的面积，因为|OA|2，|OC|2，所以 S 矩形 OABC224.所以所求封闭图形的面积为 4.
