1、一、选择题1(2014广西卷)曲线yxex1在点(1，1)处切线的斜率等于()A2e BeC2 D1解析：函数的导数为f(x)ex1xex1(1x)ex1，当x1时，f(1)2，即曲线yxex1在点(1，1)处切线的斜率kf(1)2.答案：C2设函数f(x)x3x2tan ，其中，则导数f(1)的取值范围是()A B，C，2 D，2解析：f(x)sin x2cos x，f(1)sin cos 2sin.，.sin.2sin.答案：D3(2015郑州模拟)已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)()A
2、1 B0 C2 D4解析：由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，f(3).g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知f(3)1，所以g(3)130.答案：B4(2015厦门模拟)等比数列中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(0)()A26 B29 C212 D215解析：函数f(x)的展开式含x项的系数为a1a2a8(a1a8)484212，而f(0)a1a2a8212，故选C.答案：C5(2014湖北卷)若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx0，则称f(x)，g(x)为区间上的一组正交函数给出
3、三组函数：f(x)sin x，g(x)cos x；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中为区间上的正交函数的组数是()A0 B1 C2 D3解析：对于，sin xcos xdxsin xdx0，所以是一组正交函数；对于，(x1)(x1)dx(x21)dx0，所以不是一组正交函数；对于，xx2dxx3dx0，所以是一组正交函数，故选C.答案：C6(2015全国卷)设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)0，则a的取值范围是()A. B.C. D.解析：由已知函数关系式，先找到满足f(x0)0的整数x0，由x0的唯一性列不等式组求解f(0
4、)1a0，x00.又x00是唯一的使f(x)0的整数，即解得a.又a1，a2，则f(x)2x4的解集为_解析：设F(x)f(x)(2x4)，则F(1)f(1)(24)220.又对任意xR，f(x)2，所以F(x)f(x)20，即F(x)在R上单调递增则F(x)0的解集为(1，)，f(x)2x4的解集为(1，)答案：(1，)12(2015武汉模拟)当xR，|x|1时，有如下表达式：1xx2xn.两边同时积分得：01dx0xdx0x2dx0xndx0dx，从而得到如下等式：123n1ln 2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：CCCC_解析：CCxCxn(1x)n，两边同时积分得0Cdx0
5、Cxdx0Cx2dx0Cxndx0(1x)ndx，从而得到如下等式：CCCC.答案：三、解答题13(2015全国卷)设函数f(x)emxx2mx.(1)证明：f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增； (2)若对于任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范围解析：(1)证明：f(x)m(emx1)2x.若m0，则当x(，0)时，emx10，f(x)0；当x(0，)时，emx10，f(x)0.若m0，则当x(，0)时，emx10，f(x)0；当x(0，)时，emx10，f(x)0.所以，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)由(1)知，对任意的m，f(
6、x)在单调递减，在单调递增，故f(x)在x0处取最小值所以对于任意x1，x2，|f(x1)f(x2)|e1的充要条件是即设函数g(t)ette1，则g(t)et1.当t0时，g(t)0；当t0时，g(t)0.故g(t)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增又g(1)0，g(1)e12e0，故当t时，g(t)0.当m时，g(m)0，g(m)0，即式成立；当m1时，由g(t)的单调性，g(m)0，即emme1；当m1时，g(m)0，即emme1.综上，m的取值范围是14(2015四川卷)已知函数f(x)2(xa)ln xx22ax2a2a，其中a0.(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)
7、的单调性；(2)证明：存在a(0，1)，使得f(x)0在区间(1，)内恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解解析：(1)由已知，函数f(x)的定义域为(0，)，g(x)f(x)2(xa)2ln x2，所以g(x)2.当0a时，g(x)在区间，上单调递增，在区间上单调递减；当a时，g(x)在区间(0，)上单调递增(2)证明：由f(x)2(xa)2ln x20，解得a.令(x)2ln xx22x2.则(1)10，(e)20.故存在x0(1，e)，使得(x0)0.令a0，u(x)x1ln x(x1)由u(x)10知，函数u(x)在区间(1，)上单调递增所以0a01.即a0(0，1)当aa0时，
8、有f(x0)0，f(x0)(x0)0.由(1)知，f(x)在区间(1，)上单调递增，故当x(1，x0)时，f(x)0，从而f(x)f(x0)0；当x(x0，)时，f(x)0，从而f(x)f(x0)0.所以，当x(1，)时，f (x)0.综上所述，存在a(0，1)，使得f(x)0在区间(1，)内恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解15(2014济宁一模)设函数f(x)ax2ln x(aR)(1)若f(x)在点(e，f(e)处的切线方程为xey2e0，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)当x0时，求证：f(x)axex0.解析：(1)f(x)ax2ln x(x0)，f(x)a.又f
9、(x)在点(e，f(e)处的切线方程为xey2e0，f(e)a，故a.(2)由(1)知，f(x)a(x0)，当a0时，f(x)0时，令f(x)0，则x，令f(x)0，则0x0，则x，f(x)在上单调递减，在上单调递增综上可得：当a0时，f(x)的单调减区间为(0，)，当a0时，f(x)的单调减区间为，f(x)的单调增区间为；(3)当x0时，要证f(x)axex0，即证exln x20，令g(x)exln x2(x0)，只需证g(x)0.g(x)ex，由指数函数和幂函数的单调性知，g(x)在(0，)上递增，又g(1)e10，ge30，g(x)在内存在唯一的零点则g(x)在(0，)上有唯一零点设g(x)的零点为t，则g(t)et0，即et.由g(x)的单调性知：当x(0，t)时，g(x)g(t)0.g(x)在(0，t)上为减函数，在(t，)上为增函数，当x0时，g(x)g(t)etln t2ln2t2220，又t0.当x0时，f(x)axex0.
