1、最新 2011 数学高中巧学巧解大全第一部分高中数学活题巧解方法总论 一、代入法若动点),(yxP依赖于另一动点),(00 yxQ而运动，而Q点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式)(0 xfx，)(0 xgy，于是将这个Q点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得 P 点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。【例 1】（2009 年高考广东卷）已知曲线C：2xy 与直线l：02 yx交于两点),(AA yxA和),(BB yxB，且BAxx，记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域（含边界）为 D.设点),(tsP是
2、 L 上的任一点，且点 P 与点 A 和点 B 均不重合.若点 Q 是线段 AB 的中点，试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程；【巧解】联立2xy 与2 xy得2,1BAxx，则 AB中点)25,21(Q，设线段 PQ 的中点 M 坐标为),(yx，则225,221tysx，即252,212ytxs，又点 P 在曲线C 上，2)212(252xy化简可得8112xxy，又点 P 是 L上的任一点，且不与点 A和点 B 重合，则22121x，即4541x，中点 M 的轨迹方程为8112xxy（4541x）.【例 2】（2008 年，江西卷）设),(00 yxP 在直线mx)10,(mmy上，过
3、点 P 作双曲线122 yx的两条切线 PA、PB，切点为 A、B，定点 M)0,(1m。过点 A 作直线0 yx的垂线，垂足为 N，试求 AMN的重心 G 所在的曲线方程。【巧解】设1122(,),(,)A x yB x y，由已知得到120y y ，且22111xy，22221xy，（1）垂线 AN 的方程为：11yyxx ，由110yyxxxy 得垂足1111(,)22xyxyN，设重心(,)G x y所以11111111()321(0)32xyxxmxyyy 解得1139341934xymxyxmy由22111xy可得11(33)(33)2xyxymm即2212()39xym 为重心G
4、 所在曲线方程巧练一：（2005 年，江西卷）如图，设抛物线2:xyC的焦点为 F，动点 P 在直线02:yxl上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.，求APB 的重心 G 的轨迹方程.巧练二：（2006 年，全国 I 卷）在平面直角坐标系 xOy中，有一个以)3,0(1F和)3,0(2F为焦点、离心率为23 的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线 C，动点 P 在 C 上，C 在点 P 处的切线与 x、y 轴的交点分别为 A、B，且向量OBOAOM，求点 M 的轨迹方程二、直接法直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、
5、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。从近几年全国各地的高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用的是此法。但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进行分析、验证，或在选项中取值带入题设计算，验证、筛选而迅速确定答案。【例 1】（2009 年高考全国 II 卷）已知双曲线)0,0(1:2222babyaxC的右焦点为 F，过 F 且斜率为3的直线交 C 于 A、B 两点。若FBAF4，则C 的离心率为（）（A）56（B）57（C）58（D）59【巧解】设),(11 yxA，),(22 yxB，)0,(cF，由FBAF4，得),
6、(4),(2211ycxyxc214yy，设过 F 点斜率为 3的直线方程为cyx3，由03222222bayaxbcyx消去 x 得：032)3(42222bycbyab，224212222133)3(36abbyyabcbyy，将 214yy代入得224222222334)3(363abbyabcby化简得)3(43)3(32224222222abbyabcby ，)3(43)3(3422422224abbabcb，化简得：)3(9)3(916222222acabac，223625ac，25362 e，即56e。故本题选（A）【例 2】（2008 年，四川卷）设定义在 R 上的函数)(xf
7、满足13)2()(xfxf，若 2)1(f，则)99(f（）（A）13（B）2（C）213（D）132【巧解】)(13)2(xfxf，)()(1313)2(13)4(xfxfxfxf 函数)(xf为周期函数，且4T，213)1(13)3()3244()99(ffff 故选（C）巧练一：（2008 年，湖北卷）若),1()2ln(21)(2在xbxxf上是减函数，则 b 的取值范围是（）A),1B),1(C1,(D)1,(巧练二：（2008 年，湖南卷）长方体 ABCDA1B1C1D1 的 8 个顶点在同一个球面上，且 AB=2，AD=，3 AA1=1，则顶点 A、B 间的球面距离是（）A22B
8、2C22D42三、定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解题。选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查，凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题，用圆锥曲线的第一和第二定义解题，是一种重要的解题策略。【例 1】（2009 年高考福建卷，理 13）过抛物线)0(22ppxy的焦点 F作倾斜角为 450 的直线交抛物线于 A、B 两点，线段 AB 的长为 8，则p【巧解】依题意直线 AB的方程为2pxy，由pxypxy222消去 y 得：04322ppxx，设),(11 yxA，),(22 yxB，pxx321，根据抛物线的定义。2|2pxBF，2|1pxAF，84|21ppxx
9、AB，2p，故本题应填 2。【例 2】（2008 年，山东卷，理 10）设椭圆 C1 的离心率为135，焦点在x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2 的标准方程为（）（A）1342222 yx（B）15132222 yx（C）1432222 yx（D）112132222 yx【巧解】由题意椭圆的半焦距为5c，双曲线2C 上的点 P 满足|,|8|2121FFPFPF 点 P 的轨迹是双曲线，其中5c，4a，3b，故双曲线方程为1342222 yx，选（A）巧练一：（2008 年，陕西卷）双曲线)0,0(12222babya
10、x的左、右焦点分别是 F1，F2，过 F1 作倾斜角为 30的直线交双曲线右支于 M 点，若MF2 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为（）A 6B3C2D 33巧练二：（2008 年，辽宁卷）已知点 P 是抛物线xy22 上的一个动点，则点 P 到点（0，2）的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）（A）217（B）3（C）5（D）29四、向量坐标法向量坐标法是一种重要的数学思想方法，通过坐标化，把长度之间的关系转化成坐标之间的关系，使问题易于解决，并从一定程度上揭示了问题的数学本质。在解题实践中若能做到多用、巧用和活用，则可源源不断地开发出自己的解题智慧，必能收到事半功倍的效果。
11、【例 1】（2008 年，广东卷）在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F.若 AC=a，BD=b，则 AF=（）A 41 a+21 bB 32 a+31 bC 21 a+41 bD 31 a+32 b【巧解】如图所示，选取边长为 2 的正方形 ABCD 则)0,2(B，)2,2(C，)2,0(D，)1,1(O，)23,21(E，AxyOBDCE直线 AE的方程为xy3，联立23yxy得)2,32(F)2,32(AF，设BDyACxAF，则)22,22()2,2()2,2(yxyxyxAF2223222yxyx解之得32
12、x，31y，baBDACAF31323132，故本题选 B【例 2】已知点O为 ABC内一点，且OCOBOA320，则 AOB、AOC、BOC的面积之比等于（）A9：4：1 B1：4：9 C3：2：1D1：2：3【巧解】不妨设 ABC为等腰三角形，090B3 BCAB，建立如图所示的直角坐标系，则点)0,0(B)3,0(A，)0,3(C，设),(yxO，OCOBOA320，即)0,0(),3(3),(2)3,(yxyxyx3696yx解之得23x，21y，即)21,23(O，又直线 AC 的方程为03 yx，则 点 O 到 直 线 AC 的 距 离2211|32123|22h，23|AC，因
13、此49|21xABS AOB，43|21yBCS BOC，23|21hACS AOC，故选 C巧练一：（2008 年，湖南卷）设 D、E、F 分别是ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且,2,2EACEBDDCBCCFBEADFBAF与则,2（）A反向平行 B同向平行 C互相垂直 D既不平行也不垂直巧练二：设 O 是 ABC内部一点，且OBOCOA2，则 AOB与 AOC面积之比是.ABCxyO五、查字典法查字典是大家比较熟悉的，我们用类似“查字典”的方法来解决数字排列问题中数字比较大小的问题，避免了用分类讨论法时容易犯的重复和遗漏的错误，给人以“神来之法”的味道。利用“查字典法”解决数
14、字比较大小的排列问题的思路是“按位逐步讨论法”（从最高位到个位），查首位时只考虑首位应满足题目条件的情况；查前“2”位时只考虑前“”位中第“2”个数应满足条件的情况；依次逐步讨论，但解题中既要注意数字不能重复，又要有充分的理论准备，如奇、偶问题，3 的倍数和 5 的倍数的特征，0 的特性等等。以免考虑不全而出错。【例 1】（2007 年，四川卷）用数字 0，1，2，3，4，5 可以组成没有重复数字，并且比 20000 大的五位偶数共有（）（A）288 个（B）240 个（C）144 个（D）126 个【巧解】本题只需查首位，可分 3 种情况，个位为 0，即 0型，首位是 2，3，4，5 中的任
15、一个，此时个数为3414 AA；个位为2，即2，此种情况考虑到万位上不为 0，则万位上只能排 3，4，5，所以个数为3413 AA；个位为 4，4型，此种特点考虑到万位上不为 0，则万位上只能排 2，3，5，所以个数为3413 AA；故共有240234133414AAAA个。故选（B）【例 2】（2004 年全国 II 卷）在由数字 1，2，3，4，5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中，大于 23145 且小于 43521 的数共有（）A56 个B57 个C58 个D60 个【巧解】（1）查首位：只考虑首位大于 2 小于 4 的数，仅有 1 种情况：即3型，此特点只需其它数进行全排列即可。
16、有44A 种，（2）查前位：只考虑前“”位中比既大又小的数，有 4 种情况：24，25，41，42型，而每种情况均有33A 种满足条件，故共有334A 种。（3）查前位：只考虑前“3”位中既比大又小于 5 的数，有 4 种情况：234，235，431，432型，而每种情况均有22A 种满足条件，故共有224A 种。（3）查前 4 位：只考虑前“4”位中既比 4 大又小于 2 的数，此种情况只有 23154 和 43512 两种情况满足条件。故共有58244223344AAA个，故选 C 巧练一：用数字5,4,3,2,1,0可以组成没有重复数字，并且不大于 4310 的四位偶数共有（）A110
17、种B109 种C108 种D107 种巧练二：（2007 年，四川卷）用数字 1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字,并且比 20000 大的五位偶数共有（）（A）48 个（B）36 个（C）24 个（D）18 个六、挡板模型法挡板模型法是在解决排列组合应用问题中，对一些不易理解且复杂的排列组合问题，当元素相同时，可以通过设计一个挡板模型巧妙解决，否则，如果分类讨论，往往费时费力，同时也难以解决问题。【例 1】体育老师把 9 个相同的足球放入编号为 1，2，3 的三个箱中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有（）A8 种B10 种C12 种D16 种【巧解】先在 2 号盒子
18、里放 1 个小球，在 3 号盒子里放 2 个小球，余下的 6 个小球排成一排为：OOOOOO，只需在 6 个小球的 5 个空位之间插入 2 块挡板，如：OOOOOO|，每一种插法对应着一种放法，故共有不同的放法为1025 C种.故选 B【例 2】两个实数集1250,Aa aa，1225,Bb bb，若从 A 到 B 的映射 f使得 B 中每个元素都有原象，且 1250f af af a，则这样的映射共有（）个A2450AB2449CC2550CD2549A【巧解】不妨设BA和 两个集合中的数都是从小到大排列，将集合 A的50 个数视为 50 个相同的小球排成一排为：OOOOOOOOO，然后在5
19、0 个小球的 49 个空位中插入 24 块木板，每一种插法对应着一种满足条件 1250f af af a对应方法，故共有不同映射共有2449C 种.故选B巧练一：两个实数集合 A=a1,a2,a3,a15与 B=b1,b2,b3,b10，若从 A 到 B 的是映射 f 使 B 中的每一个元素都有原象，且 f(a1)f(a2)f(a10)f(a11)f(a15),则这样的映射共有（）A510C 个B49C 个C1015 个D1015105A巧练二：10 个完全相同的小球放在标有 1、2、3、4 号的四个不同盒子里，使每个盒子都不空的放法有（）种A24B84C120D96七、等差中项法等差中项法是
20、根据题目的题设条件（或隐含）的特征，联想到等差数列中的等差中项，构造等差中项，从而可使问题得到快速解决，从而使解题过程变得简捷流畅，令人赏心悦目。【例 1】（2008 年，浙江卷）已知2,0,0baba且，则（）（A）21ab（B）21ab（C）222 ba（D）322 ba【巧解】根据2 ba特征，可得ba,1,成等差数列，1为 a 与b 的等差中项。可设xa1，xb1，其中11x；则21xab，22222xba，又102 x，故10 ab，4222ba，由选项知应选（C）【例 2】（2008 年，重庆卷）已知函数31xxy的最大值为 M,最小值为 m,则 mM 的值为（）（A）14（B）1
21、2（C）22（D）32【巧解】由31xxy可得，2y 为x1与3x的等差中项，令tyx21，tyx23，其中2|yt，则431)2()2(22xxtyty，即4222yt，又2|yt，则4022yt，故442022yy，解之得222 y，即22M，2m22222Mm，故选（C）巧 练：（2008年，江 苏 卷）xzyzyxRzyx2,032*,的 最 小值.八、逆向化法 逆向化法是在解选择题时,四个选项以及四个选项中只有一个是符合题目要求的都是解题重要的信息。逆向化策略是把四个选项作为首先考虑的信息，解题时，要“盯住选项”，着重通过对选项的分析，考查，验证，推断进行否定或肯定，或者根据选项之间
22、的关系进行逻辑分析和筛选，找到所要选择的，符合题目要求的选项。【例 1】（2008 年，湖北卷）函数)4323ln(1)(22xxxxxxf的定义域为（）A),24,(B)1,0()0,4(C1,0()0,4D)1,0()0,4【巧解】观察四个选项取端点值代入计算即可，取1x，出现函数的真数为 0，不满足，排含有 1 的答案 C，取4x代入计算解析式有意义，排不含有4 的答案 B，取2x出现二次根式被开方数为负，不满足，排含有 2 的答案 A，故选 D评析：求函数的定义域只需使函数解析式有意义，凡是考查具体函数的定义域问题都可用特值法代入验证快速确定选项。【例 2】（2008 年，江西卷）已知
23、函数mxxgxmmxxf)(,1)4(22)(2，若对于任一实数)(,xfx与)(xg的值至少有一个为正数，则实数 m 的取值范围是（）A（0，2）B（0，8）C（2，8）D（，0）【巧解】观察四个选项中有三个答案不含 2，那么就取2m代入验证是否符合题意即可，取2m，则有 22)12(144)(xxxxf，这个二次函数的函数值0)(xf 对 Rx 且21x恒成立，现只需考虑xxg2)(当21x时函数值是否为正数即可。这显然 为正数。故2m符合题意，排除不含2m的选项 A、C、D。所以选 B 巧练一：（2007 年，湖北卷）函数1212xxy（x0）的反函数是（）A.11log 2xxy（x1
24、）C.11log 2xxy（x1）巧练二：（2004 年，重庆卷）不等式221xx的解集是（）A(1,0)(1,)B(,1)(0,1)C(1,0)(0,1)D(,1)(1,)九、极限化法 极限化法是在解选择题时,有一些任意选取或者变化的元素,我们对这些元素的变化趋势进行研究,分析它们的极限情况或者极端位置,并进行估算,以此来判断选择的结果.这种通过动态变化,或对极端取值来解选择题的方法是一种极限化法.【例 1】正 三 棱 锥BCDA 中，E 在 棱 AB 上，F 在 棱 CD 上，使 FDCFEBAE)0(，设 为异面直线 EF 与 AC 所成的角，为异面直线 EF 与 BD 所成的角，则 的
25、值是（）A6B 4C 3D 2【巧解】当0时，AE，且CF，从而ACEF。因为BDAC，排除选择支CBA,故选 D（或时的情况，同样可排除CBA,），所以选 D【例 2】若32232(),log3xabxcx，当 x1 时，,a b c 的大小关系是（）A abcB cabCcbaD acb【巧解】当0 x时，32a，1b，0c，故 cab，所以选 B巧练一：若xxxsin32,20与则的大小关系（）Axxsin32 Bxxsin32 Cxxsin32 D与 x 的取值有关巧练二：对于任意的锐角,，下列不等关系式中正确的是（）（A）sinsin)sin(（B）coscos)sin(（C）sin
26、sin)cos(（D）coscos)cos(十、整体化法整体化法是在解选择题时,有时并不需要把题目精解出来,而是从题目的整体去观察,分析和把握,通过整体反映的性质或者对整体情况的估算,确定具体问题的结果,例如,对函数问题,有时只需要研究它的定义域,值域,而不一定关心它的解析示式,对函数图象,有时可以从它的整体变化趋势去观察,而不一定思考具体的对应关系,或者对 4 个选项进行比较以得出结论,或者从整体,从全局进行估算,而忽略具体的细节等等,都可以缩短解题过程,这是一种从整体出发进行解题的方法.【例 1】已知 是锐角，那么下列各值中，cossin可能取到的值是（）A43B 34C 35D 21【巧
27、解】)4sin(2cossin，又 是锐角，20 4344，1)4sin(22，即2)4sin(21，故选 B【例 2】(2002 年,全国卷)据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议政府工作报告指出“2001 年国内生产总值达到 95933 亿元,比上一年增长7.3%.”如果“十五”期间(2001-2005 年)每年的国内生产总值按此年增长率增长,那么,到“十五”末,我国国内生产总值约为（）（A）115000 亿元(B)120000 亿元(C)127000 亿元(D)135000 亿元【巧解】注意到已知条件给出的数据非常精确,2001 年国内生产总值达到 95933亿元,精确到亿元,
28、而四个选项提供的数据都是近似值,精确到千亿元,即后三位都是 0,因此,可以从整体上看问题,忽略一些局部的细节.把95933亿元近似地视为96000亿元,又把20.073 近似地视为0.005,这样一来,就有42959331 7.3%96000 1 4 0.0736 0.073 96000(1 0.2926 0.005)126720127000.巧练一：如图所示为三角函数)sin(xAy，（)0,2|A的图象的一部分，则此函数的周期T 可能是（）A4B 2CD 811Oxy2243巧练二：（全国卷）如图，在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形，EFAB，EF23，E
29、F 与面 AC 的距离为 2，则该多面体的体积为（）（A）29（B）5 （C）6 （D）215十一、参数法在解题过程中，适当引入一个或几个新变量代替原式中的某些量，使得原式中仅含有这些新变量，以此作为媒介，在进行分析和综合，然后对新变量求出结果，从而解决问题的方法叫参数法。【例 1】（2008 年，安徽卷）设椭圆2222:1(0)xyCabab过点(2,1)M，且左焦点为1(2,0)F（）求椭圆C 的方程；（）当过点(4,1)P的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点,A B时，在线段 AB上取点Q，满足 APQBAQPB，证明：点Q总在某定直线上。【巧解】(1)由题意：2222222211cab
30、cab，解得224,2ab，所求椭圆方程为22142xy(2)由 APQBAQPB得：|QBAQPBAP 设点 Q、A、B 的坐标分别DEFCBA为1122(,),(,),(,)x yx yxy。由题设知,APPBAQ QB 均不为零，记APAQPBQB,则0 且1 ，又 A，P，B，Q 四点共线，从而,APPB AQQB，于是1241xx，1211yy，121xxx，121yyy从而22212241xxx，2221221yyy，又点 A、B 在椭圆 C 上，即221124,xy222224,xy 2 并结合，得 424xy,即点(,)Q x y 总在定直线220 xy 上。【例 2】（200
31、4 年，辽宁卷）设椭圆方程为1422 yx，过点 M（0，1）的直线 l 交椭圆于点 A、B，O 是坐标原点，点 P 满足)(21OBOAOP，点 N 的坐标为)21,21(，当 l 绕点 M 旋转时，求动点 P 的轨迹方程；【巧解】直线 l 过点 M（0，1）设其斜率为 k，则 l 的方程为.1 kxy记),(11 yxA、),(22 yxB由题设可得点 A、B 的坐标),(11 yx、),(22 yx是方程组14122yxkxy的解.将代入并化简得，032)4(22kxxk，所以.48,42221221kyykkxx于是).44,4()2,2()(21222121kkkyyxxOBOAOP
32、设点 P 的坐标为),(yx则.44,422kykkx消去参数 k 得0422yyx当 k 不存在时，A、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程，所以点 P 的轨迹方程为.0422yyx巧练一：（2008 年，全国 I 卷）直线1 byax通过点)sin,(cosM，则有（）A122 baB122 baC11122 baD11122 ba巧练二：如图，已知直线 l 与抛物线yx42 相切于点 P(2，1)，且与 x轴交于点 A，O 为坐标原点，定点 B 的坐标为（2，0）.（I）若动点 M 满足0|2AMBMAB，求点 M 的轨迹 C；（II）若过点 B 的直线 l（斜率不等于零）与（I）中
33、的轨迹 C 交于不同的两点 E、F（E 在 B、F 之间），试求OBE 与OBF面积之比的取值范围.十二、交轨法如果所求轨迹是两条动曲线（包括直线）的交点所得，其一般方法是恰当地引进一个参数，写出两条动曲线的方程，消去参数，即得所求的轨迹方程，所以交轨法是参数法的一种特殊情况。【例 1】已知椭圆 C：12222byax36)0(的离心率为 ba,短轴一个端点到右焦点 F 的距离为3.（）求椭圆 C 的方程；（）设直线l 经过椭圆的焦点 F 交椭圆 C 交于 A、B 两点,分别过 A、B 作椭圆的两条切线，A、B 为切点，求两条切线的交点 P 的轨迹方程。【巧解】（）设椭圆的半焦距为 c，依题意
34、633caa，解之得2c1b，所求椭圆方程为2213xy（）由（I）知)0,2(F，设),(11 yxA，),(22 yxB，),(00 yxP，对椭圆2213xy求 导：0232yyx，即yxy3，则 过 A 点 的 切 线 方 程 PA 为)(31111xxyxyy 整理得3311yyxx 同理过B点的切线方程 PB为3322yyxx，又),(00 yxP在两切线 PA、PB上，330101yyxx 330202yyxx，因此，),(11 yxA，),(22 yxB两点在均在直线3300yyxx上，又)0,2(F在直线3300yyxx上，303200 yx，即2230 x为交点 P的轨迹方
35、程【例 2】过抛物线 C：2xy 上两点 M，N 的直线l 交 y 轴于点 P（0，b）.（）若MON 是钝角（O 为坐标原点），求实数 b 的取值范围；（）若 b=2，曲线 C 在点 M，N 处的切线的交点为 Q.证明：点Q 必在一条定直线上运动.【巧解】（）设点 M，N 坐标分别为).,(),(),)(,(),(22221121222211xxONxxOMxxxxxx则由题意可设直线l 方程为 y=kx+b,bxxkxxbkbkxxybkxyxy212122204,0得消去由分的取值范围是不成立三点不共势此时得由且是钝角6).1,0(.1cos,.10,0.1cos,0|cos,22221
36、21bMONNMObbbxxxxONOMMONONOMONOMMONMON（）当 b=2 时，由（）知,2,2121bxxkxx函数 y=x2 的导数 y=2x，抛物线在),(),(222211xxNxxM两点处切线的斜率分别为,2,221xkxkNM在点 M，N 处的切线方程分别为.2,2,2,2),(),()(2),(2).(2:),(2:2121212222112122221121上运动点在定直线即满足的坐标解得交点由yQykxxxyxxxyxQxxxxxxyxxxxyxxxxylxxxxylNM巧练一：已知定点 A（1，0）和定直线1x上的两个动点 E、F，满足AFAE，动点 P 满足
37、OPFOOAEP/,/（其中 O 为坐标原点）.（）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（）设直线l经过点)0,1(M与轨迹 C 交于 A、B 两点,分别过 A、B作轨迹 C 的两条切线，A、B 为切点，求两条切线的交点 P 的轨迹方程。巧练二：如图，在以点 O 为圆心，|AB|=4 为直径的半圆 ADB 中，ODAB，P 是半圆弧上一点，POB=30.曲线 C 是满足|MA|MB|为定值的动点 M 的轨迹，且曲线 C 过点 P.（）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程；（）设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E、F.分别过 E、F.作轨迹 C 的两条切线，E、F.为切点
38、，求两条切线的交点Q的轨迹方程。十三、几何法利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律，然后得出题目结论的方法叫做几何法。【例 1】(2008 年，浙江卷)已知 a、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足|,0)()(ccbca则的最大值是（）（A）1（B）2（C）2（D）22【巧解】不妨设以 a、b 所在直线为 x 轴，y 轴，且)0,1(a，)1,0(b，),(yxc 由已知0)()(cbca得0|)(2 ccbaba，整理得022yxyx即21)21()21(22yx，所以向量 c 的坐标是以)21,21(为圆心，22 为半径的一个圆且过原点，故|c 的最大
39、值即为圆的直径为2，故本题选（C）【例 2】（2008 年，江 苏 卷）若 AB=2，AC=ABCSBC则,2的 最 大值.OxyC|c【巧解】建立如图平面直角坐标系，设),(yxC，)0,0(A，)0,2(B，由BCAC2即|2|BCAC，2222)2(2yxyx，化简得08822yxx 配方得8)4(22yx，所以C 点轨迹是以)0,4(D为圆心，22为半径的一个圆（除去与 x 轴的两个交点），所以当C 点纵坐标绝对值为22，即22|y时，ABCS有最大值为222222，所以答案为22巧 练一：已 知)1,1(mmmmA，)0,1(B，其 中0m，则|AB 的 最 小 值为.巧练二：已知实
40、数 x、y 满足6)2()2(2222yxyx，则yx 2的最大值等于.十四、弦中点轨迹法有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦重点轨迹。“点差法”解决有关弦中点问题较方便，要点是巧代斜率。【例 1】（2009 年高考海南、宁夏卷）已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为)0,1(F，直线l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，若 AB 的中点为（2，2），则直线l 的方程为.【巧解】由)0,1(F知抛物线 C 的方程为xy42，设),(11 yxA，),(22 yxB，代入抛物线方程则有：1214xy，2224xy，两式相减有)(4212221
41、xxyy，即4)(4)(21212121yykyyxxyy，又421 yy，44k，即1k。故ABl：22xy，即xy ，本题应填xy B(2,0),(yxCA)0,4(Dxy【例 2】椭圆122 byax与直线xy1交于 A、B 两点，若过原点与线段 AB中点的直线的倾斜角为030，则 ba 的值为（）（A）43（B）33（C）23（D）3【巧解】设 AB的中点为),(00 yxM，),(11 yxA，),(22 yxB，则0212xxx 0212yyy，又1122222121byaxbyax，两式相减，得 0)()(21212121yyyybxxxxa，即0)(2)(2210210yyby
42、xxax，1002121byaxxxyy 100 byax，又3330tan000 xy，33ba，故选（B）巧练一：若椭圆122nymx与直线01 yx交于 A、B 两点，过原点与线段 AB中点的直线的斜率为 22，则 mn 的值为.巧练二：若椭圆193622 yx的弦被点)2,4(P平分，则此弦所在直线的斜率是为.十五、比较法现实世界的同类量之间，有相等关系，也有不等关系。两个可以比较大小的量 a 和b，若0 ba，0ba，0 ba，则它们分别表示ba ，ba ，ba ，我们把根据两个量的差的正、负或零判断两个量不等或相等的方法叫做差式比较法；当两个量均为正值时，有时我们又可以根据1ba，
43、1ba或1ba来判断ba ，ba ，ba ，这个方法叫做商式比较法。这两种方法在数列与函数、不等式交汇问题中应用广泛。比较法之一（作差法 0 步骤：作差变形定号结论（1）作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。（2）变形：常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”。（3）定号：就是确定是大于 0，还是等于0，还是小于0，最后下结论。概括为“三步，一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键。注意：若两个正数作差比较有困难，可以把式子灵活变形，通过作商或将它们的平方差来比较大小。【例 1】已知数列 na 中，11 a，且点)(,(*1NnaaPnn在直线01 yx上（1）求 na
44、的通项公式；（2）若函数)2,(1.11)(21nNnananannfn，求函数)(nf的最小值.【巧解】（1）点),(1nn aaP在直线01 yx上，即11nnaa且11 a数列na 是以1为首项，1为公差的等差数列nnan1)1(1nan（2）nnnnf212111)(，221121213121)1(nnnnnnf01122122111221121)()1(nnnnnnnfnf)(nf是单调递增的，故)(nf的最小值是127)2(f【例 2】（）已知函数nSxxxf.263)(2是数列na 的前 n 项和，点（n，Sn）（nN*），在曲线2)(xfy上，求 an.（）在（）的条件下，若6
45、,)21(1nnnnnbacb，且 Tn 是数列cn的前n 项和.试问 Tn 是否存在最大值？若存在，请求出 Tn 的最大值，若不存在，请说明理由.【巧解】（）点（n，Sn）在曲线()2yf x 上，所以236.nsnn 当 n=1 时，a1=S1=3，当 n2 时，an=Sn-Sn-1=9-6n，9 6.nan（）11119611(),()(32)(),26622nnnnnnnnbca bn211111()(32)().222nnnTcccn利用错位相减法，1(21)()1.2nnTn11111(21)()0,1(23)()0,22nnnnTnTn 111(21)()121,11(23)()
46、2nnnnnTTn11111,1.2nnnnTTTTT 存在最大值11.2T 巧练一：（2005 年，全国卷）若ln 2ln3ln5,235abc，则（）Aabc BcbaCcab Dba0,则 ab 与1a1.分析：当 a1 时，原不等式等价于：1-1xa,即 1x1,1-a0,1x 11-a;当 0a1 时，原不等式等价于 01-1xa,1-a1x1,0a0,1x0,从而 1-a,1x同号，由倒数法则，得 1x1 时,x(11-a,+)；当 0a1 时，x(1,11-a).注：有关不等式性质的试题，常以选择题居多，通常采用特例法,排除法比较有效。二、小小等号也有大作为绝对值不等式的应用绝对
47、值不等式：|a|-|b|ab|a|+|b|。这里 a,b 既可以表示向量，也可以表示实数。当 a,b 表示向量时，不等式等号成立的条件是：向量 a 与 b 共线；当 a,b 表示实数时，有两种情形：（1）当 ab0 时，|a+b|=|a|+|b|,|a-b|=|a|-|b|;(2)当 ab0 时，|a+b|=|a|-|b|,|a-b|=|a|+|b|.简单地说就是当 a,b 同号或异号时，不等式就可转化为等式（部分地转化），这为解决有关问题提供了十分有效的解题工具。如：若 11alogba B、|logab+logba|2 C、(logba)2|logab+logba|分 析：由 已 知，得0
48、ba1,a,b同 号，故|logab|+|logba|=|logab+logba|，D 错。答案 D注：绝对值不等式是一个十分重要的不等式，其本身的应用价值很广泛，但在高考或其他试题中常设计成在等号成立时的特殊情况下的讨论，因此利用等号成立的条件（a,b 同号或异号）是解决这一类问题的一个巧解。三、“抓两头 看中间”，巧解“双或不等式”不等式的解法（1）解不等式（组）的本质就是对不等式（组）作同解变形、等价变换。（2）多个不等式组成的不等式组解集的合成先同向再异向不等式组的解法最关键的是最后对几个不等式交集的确定。常用画数轴的方法来确定,但毕竟要画数轴.能否不画数轴直接就可得出解集呢?下面的方
49、法就十分有效。可以“先同向再异向”的原则来确定，即先将同向不等式“合并”（求交集），此时“小于小的，大于大的”；最后余下的两个异向不等式，要么为空集，要么为两者之间。如解不等式组:x1 x-3 x0 -1x)得 x0(大于大的);再由(同)得 x0 与 x0 与得 0 x2;由 x1 与得-1x1.这样所得的不等式的解集为(0,1).（3）双或不等式组的解集合成形如f1(x)bf2(x)d的不等式组称为“双或”型不等式组（实际上包括多个“或”型不等式组成的不等式组也在此列），这是解不等式组中的一个难点。解决这类不等式组时常借用数轴来确定，但学生在求解时总会出现一些错误。这里介绍一种不通过数轴的
50、直接方法：“抓两头 看中间”！如：xbxd,先比较 a,b,c,d 四个数的大小，如 abcd,则其解集中必含有 xd（即抓两头）；再看 xb 与 xc 的交集，若有公共部分，则 bx0)是将分式化为整式，体现分式的整式化作用;试试下面两个问题如何解:求证：（1）a2+b2+c2ab+bc+ac;(2)a2b+b2c+c2aa+b+c.(a,b,c0)（析：（1）由 a22ab-b2 得 b22bc-c2,c22ac-a2,三式相加整理即得；（2）a2b2a-b同样可得另两式，再将三式相加整理即得）。(3)ab(a+b2)2;利用不等关系实现两数和与两数积的互化；(4)a2+b22 a+b2
51、ab;(a,b0)利用不等关系实现两数和、两数的平方和及两数积之间的转化；注：涉及两数和、两数的平方和及两数积的问题是一个十分常见的问题，利用、两式可以使其中的关系一目了然。从解题分析上看，对解题有很好的导向作用。(5)若 a,bR+，则x2a+y2b(x+y)2a+b(当且仅当xa=yb时取等号);此式在解题中的主要作用表现在：从左向右看是“通分”（不是真正的通分）或“合并”，化多项为一项，项数多了总不是好事；从右向左看，是“分解”或“拆项”，实现“一分为二”的变形策略。这在解不等式相关问题中就很有作为！请看下例：例：已知-1a1,-1b0);b12a1+b22a2+bn2an(b1+b2+
52、bn)2a1+a2+an(a1,a2,an0)(6)ax+by a2+b2 x2+y2.(柯西不等式)此不等式将和(差)式与平方和式之间实现了沟通,灵活应用此式可以很方便地解决许多问题.如下例:例:使关于 x 的不等式 x-3+6-xk 有解的实数 k 的取值范围是【】A 6-3B 3C 6+3D 6分析:所求 k 的范围可以转化为求不等式左边的最大值即可,由柯西不等式得x-3+6-x 2(x-3)2+(6-x)2=2 3=6.k 6,k的最大值是 6.填 D.五、不等式中解题方法的类比应用1、三种基本方法：比较法、分析法、综合法。其中比较法可分为作差比较法和作商比较法，不仅在不等式的证明和大
53、小比较中有广泛的应用，同时在其他方面也有很大的作用。如分析法就是一种重要的思维方法，在数学的其他章节中也有广泛的应用。2、放缩法：是不等式证明中一种十分常用的方法，它所涉及的理论简单，思维简单，应用灵活，因而在解题时有着十分重要的应用。如果能灵活应用放缩法，就可以达到以简驭繁的效果。活题巧解例 1 若 11alogba B|logab+logba|2 C(logba)2|logab+logba|【巧解】特例法、排除法由已知，可令 a=12，b=13，则 logab=log231,0logba=log321,于是 A、B、C 均正确，而 D 两边相等，故选 D。答案 D。例 2 不等式组|x-2
54、|1的解集为【】(A)(0,3)；(B)(3,2)；(C)(3,4)；(D)(2,4)。【巧解】排除法令 x=3,符合，舍 A、B；令 x=2,合题，舍 D，选 C。答案 C。例 3 已知 y=f(x)是定义在 R 上的单调函数，实数 x1x2，-1=x1+x21+,=x2+x11+，若|f(x1)-f(x2)|f()-f()|，则【】A0 B=0 C.01 D1【巧解】等价转化法显然0,=x2+x11+=x1+1 x21+1,、分别是以 x1,x2 为横坐标的点所确定的线段以和 1为定比的两个分点的横坐标.由题意知，分点应在线段两端的延长线上，所以0,故选 A。【答案】A。例 4 0a2 （
55、B）|log(1+a)(1-a)|log(1-a)(1+a)|（C）|log(1+a)(1-a)+log(1-a)(1+a)|log(1+a)(1-a)|-|log(1-a)(1+a)|【巧解】换元法、综合法由于四个选项中只涉及两个式子 log(1+a)(1-a)和 log(1-a)(1+a)，为了简化运算看清问题的本质，不妨设 x=log(1+a)(1-a),y=log(1-a)(1+a),由0a1 知，x0,y2 B|x|y|C|x+y|x|+|y|D|x-y|x|-|y|这样选 A 就是极自然的事了。答案 A。(12)a=(13)b，例 5 已知实数a，b 满足等式下列五个关系式：0ba
56、；ab0；0ab；ba0 图中平行于 x 轴的三条虚线),由图象可以看到：当 0m1时,0b1 时,ab0.所以不可能成立的有两个，选 B。答案 B。a b1Oyx(13)x(12)x例 6 如果数列an是各项都大于 0 的等差数列，且公差 d0，则【】.（A）a1+a8a4+a5 （D）a1a8=a4a5【巧解】特例法、排除法取 an=n,则 a1=1,a4=4,a5=5,a8=8,a1+a8=a4+a5,故选 B。答案 B。例 7 条件甲：x2+y24,条件乙：x2+y2 2x,那么甲是乙的【】A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既非充分也非必要条件【巧解】数形结
57、合法 画示意图如图。圆面 x2+y22x（包括圆周）被另一个圆面 x2+y24 包含，结论不是一目了然了吗？答案 B 例 8 已知 a,b,c 均为正实数，则三个数 a+1b,b+1c,c+1a与 2 的关系是【】A、都不小于 2 B、至少有一个不小于 2 C、都不大于 2 D、至少有一个不大于 2【巧解】整体化思想将 a+1b,b+1c,c+1a“化整为零”，得 a+1b+b+1c+c+1a=a+1a+b+1b+c+1c6，故已知的三个数中至少有一个不小于 2。故选 B。12oyx答案 B例 9 解不等式 1 3xx2-41.【巧解】数轴标根法、等价转化法 原 不 等 式 等 价 于 （3x
58、+x2-4)(3x-x2+4)0,由数轴标根法，知解集为x|x-4 或-1x4。答案 x|x-4 或-1x4 注：可以证明不等式 mf(x)g(x)n 与不等式f(x)-mg(x)f(x)-ng(x)0，不等式 x+|x-2c|1 的解集是 R，求 c 的取值范围。【巧解】等价转化法 要使原不等式的解集为 R，只需不等式中不含 x 即可，故有 x-x+2c1 c12。答案 c12 注：这里将|x-2c|中去绝对值的讨论简化为符合题意的一种，显然简捷、精彩！例 12 已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2(ab),方程 f(x)=0 的两实根为 m,n(mn),试确定 a,b,m,n 的大小关
59、系。【巧解】数形结合法令 g(x)=(x-a)(x-b),则 f(x)=g(x)-2,由 f(x)=0 得g(x)=2,因此 f(x)=0 的两根 m,n 可看成直线 y=2 与 y=g(x)交点的横坐标，画出f(x),g(x)的图象，由图象容易得到 mabn.答案 mabn.例 13 若 0abcd,且 a2+d2=b2+c2,求证：a+db+c.【巧解】综合法由0abcc-b,(d-a)2(b-c)2,又(a+d)2+(a-d)2=(b+c)2+(b-c)2,两式相减，得(a+d)2(b+c)2,a+dBD,则 ACAD.例 14 求征：1+122+132+1n22-1n(n2,nN*).
60、【巧解】逆用公式法、放缩法逆用数列的前 n 项和的方法来求。设想右端 2-1n是某数列an的前n 项和，即令 Sn=2-1n,则 n2 时，an=Sn-Sn-1=(2-1n)-(2-1n-1)=1n-1-1n=1n(n-1),这样问题就转化为 1n2bc,求证：1a-b+1b-c+1c-a0.【巧解】放缩法0a-b 1a-c,而 1b-c0,1a-b+1b-c 1a-c,原式得证。答案 见证明过程例 16 已知 a,b,c 均为正数，求证：3(a+b+c3-3 ab)2(a+b2 -ab)。【巧解】比较法、基本不等式法 左边-右边=2ab+c-33 ab=ab+ab+c-33 ab33 ab-
61、33 ab=0，原式成立。答案 见证明过程例 17 已知-1a1,-1b1,求证：11-a2+11-b2 21-ab.【巧解】构造法、综合法由无穷等比数列（|q|sin(cos).【巧解】单调性法、放缩法cos+sin=3sin(+4)22，cos2-sin,又02，cos0,1,2-sin2-1,2，sin(cos)b0,c=21b(a-b),求 证：f(a)+f(c)1.【巧解】基本不等式法、放缩法 QTP(-1,-1)oyx可以证明 f(x)在(0,+)上是增函数。c=21b(a-b)21(a-b+b2)2=24a2=4a0,c4a，f(c)f(4a)，而 f(a)+f(c)f(a)+f
62、(4a)=aa+1+4a 4a+1=aa+1+4a+4 aa+4+4a+4=1.答案 见证明过程例 21 若关于 x 的不等式 x2+2ax-2b+10 与不等式-x2+(a-3)x+b2-10 有相同的非空解集，求 a,b 的值。【巧解】等价转化法,数形结合法将y=x2+2ax-2b+1与y=-x2+(a-3)x+b2-1两 式 相 加，得2y=(3a-3)x+b2-2b,此即为直线 MN 的方程（其中 M、N 分别为两函数图象与 x 轴的两个交点）；另一方面，由题意知，MN 即 x 轴，其方程为y=0,比较两式的系数得，3a-3=0,b2-2b=0,从而易得 a=1,b=0 或 2，特别地
63、当 a=1,b=0 时，两不等式的解集为-1，也符合题意。答案 a=1,b=0 或 2。例 22 设定义在-2,2上的偶函数在区间0,2上单调递减，若f(1-m)f(m),求实数 m 的取值范围。【巧解】等价转化法解：f(x)是偶函数，f(-x)=f(x)=f(|x|),f(1-m)f(m)等价于f(|1-m|)|m|且-21-m2 且-2m2解得-1m12。答案-1m12.注：本题应用了偶函数的一个简单的性质，从而避免了一场“大规模”的讨论，值得关注。例 23 解不等式：12x3+2x+32x3+x+1 0,即x3+2x+32x3+x+1-123-x3+2x+32x3+x+10,化简得 x(
64、3x+5)0,x(-,53)(0,+)。答案 x(-,53)(0,+)。例 24 已知 x,y,z 均是正数，且 x+y+z=1,求证：1-3x2+1-3y2+1-3z2 6。【巧解】配凑法、升幂法 不等式两边配上23，再运用均值不等式升幂。（你知道为什么要配23 吗？）231-3x2+231-3y2+231-3z2 23+1-3x22+23+1-3y22+23+1-3z22=5-3(x2+y2+z2)25-3132=2，原式成立。答案 见证明过程例 25 设 a,b,c 为ABC 的三条边，求证：a2+b2+c2c,b+ca,c+ab,三 式 两 边 分 别 乘 以c,a,b得ac+bcc2
65、,ab+aca2,bc+abb2,三式相加并整理得,a2+b2+c20.【巧解】构造法,综合法 原不等式等价于(2x+1)3+5(2x+1)x3+5x,构造函数 f(x)=x3+5x,则原不等式即为 f(2x+1)f(x)，又 f(x)在 R 上是增函数，2x+1x,解此不等式得 x-2 或-1x1。答案 x|x-2 或-1x1.例 27 已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,bR),x-1,1,求证：|f(x)|的最大值M12.【巧解】反证法假设 M12,则|f(x)|12恒成立，-12f(x)12,即-12x2+ax+b12,令 x=0,1,-1,分别代入上式，得-12b12，-121-
66、a+b12,-121+a+b12,由+得-32bbc0,求证：|m|1.【巧解】综合法 设方程的另一根为 n,则由韦达定理得 m+n=-ba0,m,n同为负数，1ba|m+n|=|m|+|n|,|m|1,|n|0),设方程 f(x)=x的两实根为 x1和 x2，如果 x12x2-1.【巧解】数形结合法 得g(2)0,设 g(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+1,由题意GFEPDCBA1-yy1-xxHa(18,14)b即4a+2b-10,目标是证明-b2a-1,即ba2.如图作出约束条件下的平面区域（不含边界），而ba表示区域内的点(a,b)与坐标原点连线的斜率，易见bab0），A、B
67、 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与 x 轴相交于 P(x0,0),证明：-a2-b2a x0a2-b2a.【巧解】数形结合法、等价转化法记 Q(x,y)是椭圆上的任一点，则|PQ|2=(x-x0)2+y2=(x-x0)2+b2(1-x2a2),x-a,a,得二次函数，f(x)=a2-b2a(x-a2a2-b2x0)2+b2-a2a2-b2x02 且由|PA|=|PB|,知 f(xA)=f(xB),即 f(x)在-a,a上不单调，由二次函数最小值的唯一性知a a2a2-b2x0a,变形即得所求。答案 见证明过程 例 35 已知 a,b,cR,f(x)=ax2+bx+c.若 a+c=0,f(x)在-1,1上的最大值是 2，最小值是-52。证明：a0 且|ba|0,y0,要证：x2x+y+yx+2y23，只要证 3x(x+2y)+3y(2x+y)2(2x+y)(x+2y),即证：x2+yy2xy,这显然成立，x2x+y+yx+2y23；（2）再 证：xx+2y+y2x+y 23，只 需 证：3x(2x+y)+3y(x+2y)2(x+2y)(2x+y),即证：x2+y22xy,这显然成立，xx+2y+y2x+y23。综合（1）、（2）得，存在常数 C=23，使对于任何正数 x,y 都有 x2x+y+yx+2y23 xx+2y+y2x+y成立。答案 存在常数 C=23,证明略.
