1、四川安居中学2007年高三年级3月模拟考试数 学 试 题(理)本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，用时120分钟第卷（选择题，满分50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的代号填在指定位置上）1条件，条件，则是的 A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2利用数学归纳法证明不等式时，由k递推到k+1左边应添加的因式是 A B C D6O4-4-23函数(0,| ，）的部 分图象如图所示，则此函数表达式为 A B C D4函数的图象与函数 (其中且)的图象关于 A直线对
2、称 B直线对称 C直线对称 D直线对称5设地球的半径为，已知地球表面上A、B两地的纬度均为北纬，又A、B两地的球面距离为，则A、B两地的经度差可以为 A B C D6设椭圆、双曲线、抛物线（其中）的离心率分别为，则 AB C D大小不确定7一个球的内接正四棱柱的侧面积与上下两底面积的和之比为4 : 1 , 体积为4,则这个球的表面积 A12 B12 C D12 8设离散型随机变量可能的取值为1、2、3、4，（），又的数学期望为，则 A B0 C D9记首项为1、公比为q（）的无穷等比数列的各项的和为S，Sn表示该数列的前n项和，且，则实数的取值范围为 A B C D10若函数满足, 且时,则函
3、数的图象与函数的图象的交点个数为 A16 B18 C20 D无数个第卷（非选择题，共计100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确的答案填在指定位置上）11若 (nN)的展开式中第3项为常数项，则展开式中二项式系数最大的是第_项12现有四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获市级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位学生发出录取通知书若这四名学生都愿意进这四所大学的任意一所就读， 则仅有两名学生被录取到同一所大学的概率为_ 13下面的8个语句是一个计算机程序的操作说明：（1）初始值为；（2）（将当前的值赋予新的）；（3）（将当前的值赋予新的）；（4）（将当前的值赋予新的）；（5
4、）（将当前的值赋予新的）；（6）如果，则执行语句（7），否则返回语句（2）继续进行；（7）打印；（8）程序终止由语句（7）打印出的数值为_，_ 14已知的面积为S,且,若,则向量与的夹角的范围是 15已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，满足 下列结论：；为偶函数；数列为等比数列；数列为等差数列其中正确的是 三解答题（本大题共5个小题，共计75分）16（本题满分12分） 已知函数（）若在1，上是增函数，求实数a的取值范围；（）若是的极值点，求在1，a上的最小值和最大值17（本题满分12分）已知函数（）当时，若，求函数的值；（）当时，求函数的值域；（）把函数的图象按向量平移得到函数的图
5、象，若函数是偶函数，写出最小的向量的坐标18（本题满分12分）有混在一起质地均匀且粗细相同的长分别为1、2、3的钢管各3根（每根钢管附有不同的编号），现随意抽取4根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的），再将抽取的4根首尾相接焊成笔直的一根（）求抽取的4根钢管中恰有2根长度相同的概率；（）若用表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）,试求的概率分布和数学期望。PABCDD1A1B1C111441第19题图19（本题满分12分）如图，是正四棱锥,是正方体，其中（）求证：；（）求平面与平面所成的锐二面角的大小；（）求到平面的距离20（本题满分13分）设，常数，定义运算“”：，定义运算“”： ；对于两点
6、、，定义()若0，求动点P( ,) 的轨迹；()已知直线与()中轨迹交于、两点，若，试求的值；() 在()中条件下，若直线不过原点且与轴交于点S，与轴交于点T，并且与()中轨迹C交于不同两点P、Q , 试求的取值范围21（本题满分14分）如图所示的树形图形第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该段均成1350的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第n层设树形图的第n层的最高点到水平线的距离为第n层树形图的高度 （）求第三层及第四层树形图的高度H3，H4； （）求第n层树形图的高度Hn； （）若树形图的高度
7、大于2，则称树形图为“高大”，否则称为“矮小”显然，当 时是“矮小”的，是否存在使得当时，该树形图是“高大”的?四川安居中学2007年高三年级3月模拟考试数学（理）参考答案1A 2C 3B 4C 5C 6 7B 8A 9C 10B 11 5 12 13 14（，） 1516解：() ，要在1，上是增函数，则有在1，内恒成立，即在1，内恒成立又（当且仅当x=1时取等号），所以（）由题意知的一个根为，可得，所以的根为或 (舍去)，又，f（x）在，上的最小值是，最大值是17解：()， （） ， ， ()设，所以，要使是偶函数，即要，即， ，当时，最小，此时， 即向量的坐标为 18解：() 抽取的4根
8、钢管中恰有2根长度相同的概率为：（）新焊接成钢管的长度的可能值有7种，最短的可能值为5m，最长的可能值为11m。当=5m与=11m时的概率为P5=P11=当=6m与=10m时的概率为P6=P10=当=7m与=9m时的概率为P7=P9=当=8m时的概率为P8=的分布列为：567891011P E= 19解：() 连结AC , 交BD于点O , 连结PO , 则PO面ABCD , 又 , , , （） AOBD , AOPO , AO面PBD , 过点O作OMPD于点M，连结AM , 则AMPD , AMO 就是二面角A-PD-O的平面角, 又, AO=,PO= , ,即二面角的大小为 ()用体积
9、法求解：即有 解得，即到平面PAD的距离为20 解：() 设 , 则 , 又由0 ,可得P( ,) 的轨迹方程为，轨迹C为顶点在原点，焦点为的抛物线在轴上及第一象限的内的部分； () 由已知可得 , 整理得,由 ,得，第20题图oxyPSTQQ1P1 ,解得或(舍) ； () ，设直线 , 依题意, ，则分别过P、Q作PP1 y轴，QQ1 y轴，垂足分别为P1、Q1，则 由 消去y得 、取不相等的正数，取等的条件不成立， 的取值范围是（2，+） 21解：()设题中树形图（从下而上）新生的各层高度所构成的数列为，则， 所以，第三层树形图的高度 第四层树形图的高度 （）易知，所以第n层树形图的高度为， 所以，当为奇数时，第n层树形图的高度为； 当为偶数时，第n层树形图的高度为 （）不存在由（）知，当为奇数时，； 当为偶数时， 由定义，此树形图是永远是“矮小“的所以不存在使得当时，该树形图是“高大”的
