1、第二章 平面解析几何21 坐 标 法必备知识自主学习1.平面直角坐标系中的基本公式(1)定义：平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式都称为平面直角坐标系中的基本公式(2)公式：点 A()x1，y1，B()x2，y2，中点 M()x，y，则|AB ()x2x12()y2y12，Mx1x22，y1y22.2坐标法通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过_等解决问题的方法称为坐标法代数运算【思考】利用坐标法解决几何问题的前提是什么？提示：建立平面直角坐标系1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)解析几何中，点 A 与点 B 之间的距离表示为 AB.()(2)已知 A(
2、3，0)，B(0，4)，则 AB 的中点坐标为32，2.()(3)点 A()x1，y1，B()x2，y2，则|AB()x1x22()y1y22.()提示：(1).点 A 与点 B 之间的距离表示为|AB.(2).中点坐标为32，2.(3).|AB ()x2x12()y2y12 ()x1x22()y1y22.2(教材例题改编)已知点 A(1，2)，B(3，0)，则线段 AB 的中点坐标为()A(1，1)B(2，2)C(2，1)D(4，2)【解析】选 A.点 A(1，2)，B(3，0)，则线段 AB 的中点坐标为132，202，化为(1，1).3已知点 A(2，0)和点 B(4，2)，则|AB|(
3、)A 5 B2 5 C 10 D2 10【解析】选 D.因为 A(2，0)，B(4，2)，所以|AB|（24）2（02）2 2 10.关键能力合作学习类型一 数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式(数学运算)1已知 A(6)，|AB 4，则点 B 的坐标为()A2 B2 或10C10 D2 或 10【解析】选 B.设 B 点的坐标为 x，则|AB|x()64，所以 x2 或 x10.2已知 A(a)，B(a21)，线段 AB 的中点 C32，则 a 的值为()A1 B2 C1 或2 D1 或 2【解析】选 C.由题意得，aa21232，所以 a2a20，所以 a1 或2.3已知 M，N，P 是
4、数轴上三点，若|MN|5，|NP|3，则|MP _【解析】因为 M，N，P 是数轴上三点，|MN|5，|NP|3，(1)当点 P 在点 M，N 之间时(如图所示)，|MP|MN|NP|532.(2)当点 P 在点 M，N 之外时(如图所示)，|MP|MN|NP|538.综上所述，|MP|2 或 8.答案：2 或 8 数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式的关注点(1)熟练运用公式；(2)求参数的值或取值范围时，若由绝对值的定义去绝对值符号时，一定要分类讨论，从而确定出参数的值或范围 【补偿训练】已知数轴上两点 A(a)，B(5).求：当 a 为何值时，(1)两点间距离为 5?(2)两点间距离大
5、于 5?(3)两点间距离小于 3?【解析】数轴上两点 A，B 之间的距离为|AB|a5|.(1)根据题意得|a5|5，解得 a0 或 a10.(2)根据题意得|a5|5，即 a55 或 a510 或 a0.(3)根据题意得|a5|3，即3a53，所以 2a8.类型二 平面内两点之间距离公式与中点坐标公式(数学运算)两点之间的距离公式【典例】已知点 A(2，1)，点 B(5,a)，若|AB|13，则 a_【思路导引】代入距离公式，解方程求 a.【解析】点 A(2，1)，B(5，a)，则|AB|()25 2()1a 2 13，解得 a1 或 3.答案：1 或 3本例若改为：已知点 A(1，2)，B
6、(2，7)，在 x 轴上求一点 P，使|PA|PB|，并求|PA|的值【解析】设所求点 P(x，0)，于是由|PA|PB|得（x1）2（02）2（x2）2（0 7）2，即 x22x5x24x11，解得 x1.所以所求 P 点坐标为(1，0)，|PA|（11）2（02）2 2 2.中点坐标公式【典例】已知ABC 的顶点坐标为 A(7，8)，B(10，4)，C(2，4)，则 BC 边上的中线 AM 的长为()A8 B13 C2 15 D 65【思路导引】先求出 BC 的中点，再利用距离公式求值【解析】选 D.由 B(10，4)，C(2，4)，设 BC 中点为 M(xM，yM)，得 xM10226，
7、yM4420，即 M(6，0).又 A(7，8)，所以|AM|（76）2（80）2 65.1关于两点之间的距离公式(1)注意公式特征，一是括号内是对应纵横坐标的差；二是作差的顺序必须一致(2)运算结果要进行开方化简2关于中点坐标公式的应用(1)中点坐标公式体现了两点及其中点坐标之间的关系，三个点的坐标“知二求一”；(2)点 A()x，y关于点 P()a，b的对称点坐标为()2ax，2by.1ABC 三个顶点的坐标分别为 A(4，4)，B(2，2)，C(4，2)，则三角形AB 边上的中线长为()A 26 B 65 C 29 D 13【解析】选 A.AB 的中点 D 的坐标为(1，1)，所以|CD
8、|（14）21（2）2 26.2已知 A(1，0)，B(5，6)，C(3，4)三点，则|AC|CB|的值为()A13 B12 C3 D2【解析】选 D.由两点间的距离公式，得|AC|3（1）2（40）2 4 2，|CB|（35）2（46）2 2 2，故|AC|CB|4 22 2 2.3已知点 A(2，1)，B(a，3)，且|AB|5，则 a 的值为_【解析】因为|AB|（a2）2（31）2 5，所以 a5 或 a1.答案：1 或5类型三 坐标法的应用(数学直观、逻辑推理)【典例】如图，在ABC 中，D，E，F 分别为 BC，AC，AB 的中点，用坐标法证明：34(|AB|2|BC|2|AC|2
9、)|AD|2|BE|2|CF|2.关于坐标法解决几何问题(1)建系：利用坐标法解决几何问题的前提是建立平面直角坐标系，采用对称建系或使尽可能多的顶点在坐标轴上的方法，使数据运算简单(2)利用坐标法可以解决线线的垂直、平行，与距离相关的等式等 ABD 和BCE 是在直线 AC 同侧的两个等边三角形，用坐标法证明|AE|CD|.【证明】如图，以 B 为坐标原点，直线 AC 为 x 轴，建立平面直角坐标系，设 ABD 和 BCE 的边长分别为 a，c，则 A(a，0)，C(c，0)，Da2，32 a，Ec2，32 c，则|AE|c2（a）232 c02a2acc2，|CD|a2c232 a02a2a
10、cc2，所以|AE|CD|.课堂检测素养达标1已知点(x，y)到原点的距离等于 1，则实数 x，y 满足的条件是()Ax2y21 Bx2y20C x2y2 1 D x2y2 0【解析】选 C.因为点(x，y)到原点的距离等于 1，所以（x0）2（y0）2 1，即 x2y2 1.2直线 yx 上的两点 P，Q 的横坐标分别是 1，5，则|PQ|等于()A4 B4 2 C2 D2 2【解析】选 B.由题意知 P(1，1)，Q(5，5)，所以|PQ|2（51）2 4 2.3已知点 A(1，2)，点 B(2，6)，则线段 AB 的长为_【解析】由两点间距离公式得|AB|（21）2（62）2 5.答案：54已知三角形的两个顶点 A(3，7)，B(2，5)，两边 AC 和 BC 的中点分别在 x轴、y 轴上，则顶点 C 的坐标是_【解析】设 C(x，y)，由题意可得：2x20，7y20，解得 x2，y7.所以 C(2，7).答案：(2，7)5已知点 A(2，5)，B(4，1)，若在 y 轴上存在一点 P，使|PA|2|PB|2 最小，求点 P 的坐标【解析】设点 P(0，y)，则|PA|2|PB|2(02)2(y5)2(04)2(y1)22y28y462(y2)238，所以 y2 时，|PA|2|PB|2 最小，此时点 P(0，2).
