1、NO：022002年黄冈市重点中学交流试卷数 学 试 题(理科)第 卷 (选择题 共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1sin2cos3tg4的值( ) A小于0B大于0C等于0D不存在2直线yaxb通过一、三、四象限，则圆(xa)2(yb)2r2(r0)的圆心位于( ) A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3数列an是等差数列的一个充要条件是( ) ASnanbBSnan2bncCSnan2bn(a0)DSnan2bn4若函数f(x)logx2在(0，)上是减函数，则a的取值范围是( ) A|a|1B|a|
2、CaD1|a|5在极坐标系中，已知点P(1，)，下列各点中与点P重合的共有( ) (1，)(1，)(1，)(1，) A1个B2个C3个D4个6yarc cos(2x1)的反函数是( ) Ayarc cos2x x， Bycos2x x，Cyarc cos2x x0， Dycos2x x0，7已知椭圆1(ab0)，直线l：yxt交椭圆于A、B两点，OAB的面积为S(O为原点)，则函数Sf( t )的奇偶性为( ) A奇函数B偶函数 C不是奇函数，也不是偶函数D奇偶性与a、b有关8设pcoscos，qcos2 ，那么p、q的大小关系是( )ApqBpq Cpq Dpq 9等边ABC的边长为a，过A
3、BC的中心O作OP平面ABC，且OPa，则点P到ABC的边的距离为( )AaBaCa Da 10已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，给出下列6个函数：g (x)；g (x)sin(x)；g (x)；g (x)lg sin x ；g (x)lg(x)；g (x)1。其中可以使函数F(x)f(x)g (x)是偶函数的函数是( ) A B C D11已知半圆x2y24(y0)上任一点P(t，h)过点P作切线，切线的斜率为k，则函数kf(t)的单调性为( ) A增函数B减函数C先增后减D先减后增14 1212 11 13 1411 13 13 1214 1212如图是一人出差从A城出发到B城去， D
4、1沿途可能经过的城市的示意图，通过两城市所 C1 E1需时间标在两城市之间的连线上(单位：小时)， A D2 B则此人从A城出发到B城所需时间最少为( ) C2 E2 A49小时B46小时 D3C48小时D47小时 12题图NO：02黄冈市重点中学交流试题数 学 试 题(理科)选择题答题卡题号123456789101112答案第 卷 (非选择题 共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。)13已知圆x2y2mx70与抛物线x24(y3)的准线相切，则m14对于实数a、b、c、d，定义运算“”：(a，b)(c，d)(acbd，adbc)，那么，(0，1)
5、(0，1)154个相同的白球和3个相同的黑球，随机地排成一行，不同的排法有m种，其中有且仅有2个黑球相邻的排法为n种，则(用数字作答)16设an是(3)n的展开式中x项的系数(n2，3，4，)，则()三、计算题：(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)17(12分)已知z是虚数，z22z为实数，且arg(3z)(1)求z ； (2)若z，求复数 的三角形式18(12分)如图，在矩形ABCD中，已知AB1，BCa，PA平面ABCD，且PA1(1)在BC边上是否存在点Q，使得PQQD，说明理由；(2)若BC边上有且仅有一个点Q，使PQQD，求AD与平面PDQ所成角的弦
6、值；(3)在(2)的条件下，求出平面PQD与平面PAB所成角的大小19(12分)已知双曲线c：(1a2)x2a2y2a2(a1)，设双曲线上支的顶点为A，且上支与直线yx交于点P，一条以A为焦点，M(0，m)为顶点，开口方向向下的抛物线通过P点，当PM的斜率为k，且k，求实数a的取值范围20(12分)为迎接2008年的奥运会，北京市政府提出“绿色奥运”的口号，为此，北京市掀起大规模的园林建设热潮，其中正在建设中的二环路广场的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为20000m2的十字型域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元m2，在四个相同的矩形上(图中阴
7、影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元m2(1)设总造价为s元，AD长为x (m)，试建立s关于x的函数关系式；(2)当x为何值时s最小？并求出这个最小值21(12分)设ak为等差数列，公差为d，ak0，k1，2，2n1(1)证明aa2n1a2n1；(2)记bk，试证lg b1lg b2lg bnlg a2n1lg a122(14分)已知函数f(x)的定义域为x|xk，kZ，且对于定义域内的任何x、y，有f(xy)成立，且f(a)1(a为正常数)，当0x2a时，f(x)0(1) 证明f(x)是奇函数；(2)求f(2a)，f(3a)的值；(3)求f(x)在2
8、a，3a 上的最小值和最大值2002年黄冈市重点中学交流试卷参考答案一、选择题1A 2B 3D 4D 5B 6D 7B 8C 9B 10C 11A 12C二、填空题136 14(1，0) 15 1618三、解答题17解(1)设zxyi (x，yR，且y0) 则z22z(xyi)22(xyi)(x2y22x)(2xy2y)iR 2xy2y0 y(x1)0 y0 x1 (3分)z1yi 3z3(1yi)2yi由arg(3z) 得 tg y0 y2 (6分)z 12i (7分)(2)z(12i)4i (10分)的三角形式为4(cosi sin) (12分)18(1)假设存在Q，使得PQQDPA平面A
9、BCD QD平面PAQ QDAQ (1分)从而有AD2AQ2QD2设CQx，则BQax，于是AQ21(ax)2，QD21x2AD2(ax)2x222x22axa22a2即x2ax10 (2分)a24当a2即0时，方程x2ax10有两解，即存在两个点Q，使PQQD；当a2即0时，方程x2ax10有解，即只有一个点Q，使PQQD；当0a2时，方程x2ax10无解，即不存在点Q，使PQQD(4分。这三种情形都给出的得4分，少一种情形扣一分)(2)当BC上有且仅有一个点Q，使得PQQD，可知BC2，此时x1，点Q为BC的中点，过A在平面PAQ上作AFPQ，垂足为F，连FD。QD平面PAQ QDAF又A
10、FPQ AF平面PQD，故FDA是直线AD与平面PQD所成的角(6分)PQ AF sinFDA (8分)(3)易知PQD在面PAB内的射影就是PAB (9分)在rtPAQ中，PQSPQDQDPQ SPAB11 (10分)设面PQD与平面PAB所成角为， 则cos 所求二面角为arc cos (12分)19解：由双曲线方程可知A(0，1)，则抛物线方程为x24(m1)(ym)又P(a，a)在抛物线上a24(m1)(am) (3分)而MP斜率k maka (5分)将代入得：4ak24(a1)ka0 (6分)即a令f(k)k k， 此函数是单调递增的f(k)maxf() f(k)maxf()1 (9
11、分)从而a，4 (12分)20设DQy，则4xyx220000 (2分)y (3分)Sx242002104xy2y280 4200x2210(20000x2)160 4000x23800000 (6分) 23800000 81063.8106 11.8106元1180万元 (9分)当且仅当 4000x2即x10时，Smin1180万元 (12分)21(1)证明：aa2n1a2n1a1(2n1)d2a1(2n2)da12nda12(4n2)a1d(2n1)2d2a12(4n2)a1d(4n24n)d2d20 (d0) aa2n1a2n1 (5分)(2)由(1)知 ()2()2()2 ()2()(
12、)()即 b b b b (11分)lg b1lg b2lg bnlg a2n1lg a1 (12分)22(1)证明：定义域x|xk kZ 关于原点对称又f(x)f(ax)a f(x) 对于定义域内的每个x值都成立 f(x)为奇函数 (4分)(2) f(2a)f(aa)fa(a) 0(6分)f(3a)f(2aa)f2a(a) 1 (8分)(3)先证明f(x)在2a，3a上单调递减 为此，必须证明 x(2a，3a) 时，f(x)0 设2ax3a 则0x2aa f(x2a)0 f(x)0 (10分)设2ax1x23a则0x2x1a f(x1)0 f(x2)0 f(x2x1)0 f(x1)f(x2) 0 f(x1)f(x2) f(x)在2a，3a上单调递减 (12分) f(x)在2a，3a上的最大值为f(2a)0，最小值为f(3a)1 (14分)
