1、第四章测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.把区间a,b(a0)在曲线 y=x2上,若阴影部分的面积与OAP 的面积相等,则x0=.解析:S 阴影=x2dx=x3 ,又 S 阴影=SAOP,x0.x0=.答案:16.由曲线 y=,直线 x=1 及 x 轴所围成的封闭图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 .解析:y=与 x=1 相交于点(1,1),则所求旋转体的体积为 xdx=x2 .答案:三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演
2、算步骤)17.(本小题满分 10 分)利用定积分的几何意义,求:-f(x)dx+-sin xcos xdx,其中 f(x)=-解 -f(x)dx+-sin xcos xdx=-(3x-1)dx+(2x-1)dx+-sin xcos xdx.y=sin xcos x 为奇函数,-sin xcos xdx=0.利用定积分的几何意义,如图.-(3x-1)dx=-2=-8,(2x-1)dx=3-1=2.-f(x)dx+-sin xcos xdx=-6.18.(本小题满分 12 分)已知 ()dx=3+ln 2(ab1),求实数 a,b 的值.解 ()dx=(x2+ln x)=a2+ln a-b2-ln
3、 b=(a2-b2)+ln =3+ln 2.-解得 19.(本小题满分 12 分)一个物体做变速直线运动,速度 v(ms-1)与时间 t(s)的关系如图所示,求该物体在 s至 6 s 间运动的路程.解由题意可知物体的速度函数为v(t)=由变速直线运动的路程公式,可得s=v(t)dt=2tdt+2dt+()dt=t2 +2t ()(m).物体在 s 至 6 s 间的运动路程为 m.20.导学号 88184053(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的图像如图,直线 y=0在原点处与函数图像相切,且此切线与函数图像所围成的区域(阴影)面积为 .(1)求 f(x)的解析
4、式;(2)若常数 m0,求函数 f(x)在区间-m,m上的最大值.解(1)由 f(0)=0 得 c=0,f(x)=3x2+2ax+b.由 f(0)=0 得 b=0,f(x)=x3+ax2=x2(x+a),则易知 a0,图中所围成的区域(阴影)面积为-f(x)dx=-x2(x+a)dx=a4=,解得 a=-3,f(x)=x3-3x2.(2)由(1)知 f(x)=3x2-6x=3x(x-2).x,f(x),f(x)的取值变化情况如下:x(-,0)0(0,2)2(2,+)f(x)+0-0+f(x)单调递增 极大值f(0)=0 单调递减 极小值f(2)=-4 单调递增 又 f(3)=0,故当 03 时
5、,f(x)max=f(m)=m3-3m2.综上可知,当 03 时,f(x)max=f(m)=m3-3m2.21.(本小题满分 12 分)用定积分表示曲线 y=x2,x=k,x=k+2 及 y=0 所围成的图形的面积,并确定 k 取何值时,使所围图形的面积为最小.解在平面直角坐标系中作出题中所述曲线与直线围成图形如图中阴影所示,设其面积为 S,则 S=x2dx=-=(3k2+6k+4)=2()=2(k+1)2+.故当 k=-1 时,S 最小.22.导学号 88184054(本小题满分 12 分)设 f(x)是二次函数,其图像过点(0,1),且在点(-2,f(-2)处的切线方程为 2x+y+3=0
6、.(1)求 f(x)的表达式;(2)求 f(x)的图像与两坐标轴所围成图形的面积;(3)若直线 x=-t(0t1)把 f(x)的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求 t 的值.解(1)设 f(x)=ax2+bx+c,其图像过点(0,1),c=1.又图像在点(-2,f(-2)处的切线方程为 2x+y+3=0,-f(x)=2ax+b,-a=1,b=2.故 f(x)=x2+2x+1.(2)依题意,f(x)的图像与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示,故所求面积 S=-(x2+2x+1)dx=()-.(3)依题意,有 S=-(x2+2x+1)dx=()-,即 t3-t2+t=,2t3-6t2+6t-1=0.2(t-1)3=-1.t=1-.
