1、2021 年 9 月广西高三开学联考理科数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的.1.已知集合RxxxyyA，cos3)3sin(|，0)5(6|2xxxxB，,RU 则)(AUBCU.A.B.35，35.，C53.，D2复数1ii(i 为虚单位)的共轭复数为.A.21 iB.21 i21.iCiD1.3.观察一枚均匀的正方体骰子，任意选取其中两个面的点数，点数之和正好等于 5 的概率为.A.101B.151152.C154.D4.已知21,FF是双曲线C 的两个焦点，P 为双曲线上的一点，且21212FFPFPF
2、，则C 的离心率为.A.1B.23.C4.D5.如右图，已知梯形,42CDBDACABABDC，沿着对角线 AD 折叠使得点，B 点C 的距离为22，此时二面角CADB的平面角为.A.6B.43.C2.D6.已知数列n，.4,4,4,4,3,3,3,2,2,1，则该数列的第2021项为.A.62B.6364.C65.D7.已知函数 xxexfx sin，则 1f.A.1coseB.1sine2.eCeD.8.在 ABC中，,95cosA则abc41的最小值为.A.98B.1910.C911.D9.设213sin6sin，则 3sin.A.23B.2121.C23.D10.已知函数 6sin1x
3、xy在5,5内零点的个数为4.A5.B7.C8.D11.已知 ABC的外心为O，1232 BCAC则 ABOC11.A10.B9.C12.D12.已知21,FF是椭圆 C：babya1x2222的两个焦点，P 为椭圆上的一点，且，：34:1:72121FFPFPF，则ba的1.A2.B4.C21.D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，请把答案写在答题卡上相应的位置.13.12353xxx展开式中常数项是.14.已知函数 0,11axxaxxf，的最小值为3，则a.15.已知正三棱锥ABCP 的底面边长为 2，2PCPBPAPCPB，中点分别为ED,，则直线CDAE、
4、的夹角为.16.已 知 函 数 3,1211,1,2xxxexfx，函 数 2 kxxg，若 xgxf3,1x，恰有两个零点，则kk22 的取值范围是.三、解答题（共 70 分，17 题 10 分，18-22 题每题 12 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，sinA:sinB=6:5,cosC 51（1）求 cosA 的值；（2）若点线段 AB 上的一点 D 满足，0 DBDC求DCBcos的值.18.已知数列 na中，112132,21nnnaaaaa，（1）求 na的通项公式；（2）设nnnaanb2211，求.92
5、51iiib19.前些年，为了响应绿色环保出行，提供方便市民的交通，某市大力推行“共享单车”，根据统计，近 6 年这个城市“共享单车”盈利数据如表：年份代号 x123456盈利 y（万元）69109.81210（1）从这 6 年中，记单车盈利超过 9.5（万元）的年份数量为 X，求 X 的分布列及期望；（2）从 1-6 这 6 个年份中任取两年，盈利总额小于 19（万元）的概率20.在三棱锥 SABC 中，ASCABC90，CBAASC，7 SCAB,SB3，AC3（1）求证：平面 ASC平面 ABC；（2）已知 M 是线段 AC 上一点，23AM，且二面角 ASMB 的余弦值大小21函数 a
6、xxxxf232，（1）讨论 f（x）的单调性；（2）当 a0 时，设 0 xf的零点个数为 2，且零点 x1，x2 满足：23231 xx，求函数 211lnx2xaxxg，的最大值22.设双曲线,1322 yx其右焦点为 F，过 F 的直线与双曲线 C 的右支交于 A、B 两点，（1）求直线的斜率；（2）求 AB 中点的轨迹坐标方程.2021 年 9 月广西高三开学联考理科数学试卷参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的.123456789101112BCCBDCAACABB二、填空题：本大题共 4 小题，每小
7、题 5 分，满分 20 分，请把答案写在答题卡上相应的位置.13.12353xxx展开式中常数项是240.14.已知函数 0,11axxaxxf，的最小值为3，则a16.17.已知正三棱锥ABCP 的底面边长为 2，2PCPBPAPCPB，中点分别为ED,，则直线CDAE、的夹角为.18.已 知 函 数 3,1211,1,2xxxexfx，函 数 2 kxxg，若 xgxf3,1x，恰有两个零点，则kk22 的取值范围是.三、解答题（共 70 分，17 题 10 分，18-22 题每题 12 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b
8、，c，sinA:sinB=6:5,cosC 51（1）求 cosA 的值；（2）若点线段 AB 上的一点 D 满足，0 DBDC求DCBcos的值.解：（1）因为cosC 51，所以61cosarc9161，562sinC 5:6sin:sin:,5,6BAbambma故设,由余弦定理得cosC 5156256222mmcmm，所以mc7，35192co222bcacbsA.762751cos1sinBcos22BDCB18.已知数列 na中，112132,21nnnaaaaa，（1）求 na的通项公式；（2）设nnnaanb2211，求.9251iiib解：（1）因为112132,21nnn
9、aaaaa，所以2111nnnnaaaa，,112 aa所以2211naannn，所以，1,12,21231-nnnan（2）nnnnnnaanb212121211221111iiib112212121211iiii.9253141494212119422ii19.前些年，为了响应绿色环保出行，提供方便市民的交通，某市大力推行“共享单车”，根据统计，近 6 年这个城市“共享单车”盈利数据如表：年份代号 x123456盈利 y（万元）69109.81210（2）从这 6 年中，记单车盈利超过 9.5（万元）的年份数量为 X，求 X 的分布列及期望；（2）从 1-6 这 6 个年份中任取两年，盈利
10、总额小于 19（万元）的概率解：（1）观察表格知这 6 年中，单车盈利超过 9.5（万元）的年份数量为 X，X 的分布列如下：年份代号 X1012盈利 y（万元）1/31/3X 的期望EX31123110.322（3）从 1-6 这 6 个年份中任取两年，盈利总额小于 18（万元）的年份代号是1,2；1,3；1,4；1,6；所以从 1-6 这 6 个年份中任取两年，盈利总额小于 18（万元）的概率是.154426 CP20.在三棱锥 SABC 中，ASCABC90，CBAASC，7 SCAB,SB3，AC3（1）求证：平面 ASC平面 ABC；（2）已知 M 是线段 AC 上一点，23AM，且
11、二面角 ASMB 的余弦值大小解：（1）在三棱锥 SABC 中，ASCABC90，所以BCABSCAS,，CBAASC，7 SCAB，SB3，AC3 所以，2 BCAS作，ACBHACSH得32222MBHMSHSB，所以平面 ASC平面 ABC；2BMKLAMSK，则SLK为二面角 A-SM-B 的平面角，23621SLKtan.1919cosSLK21函数 axxxxf232，（1）讨论 f（x）的单调性；（2）当 a0 时，设 0 xf的零点个数为 2，且零点 x1，x2 满足：23231 xx，求函数 211lnx2xaxxg，的最大值解：（1）axxxf432，a1216 若，34a
12、则，0 单调递减；xfxf0若,34a则，0 单调递增；xfxf0若,34a则，0 单调递增；，当xfxfax0,3342 单调递减；，当xfxfaxa0,33423342 .0,3342单调递增，当xfxfax(2)当 a0 时，设 0 xf的零点个数为 2，且零点 x1，x2 满足：23231 xx，所以.940a 2101x12xaxxg，；xg单调递增；2gxg.2ln916912ln4a函数 211lnx2xaxxg，的最大值为.2ln9169 22.设双曲线,1322 yx其右焦点为 F，过 F 的直线与双曲线 C 的右支交于 A、B 两点，（1）求直线的斜率；（2）求 AB 中点的轨迹坐标方程.解：（1）设直线方程为kkxy2，代入方程,1322 yx得,031212132222kxkxk设 2211,xyxByA，则0133,013122212221kxxkkxx，312134144224kkk03k32，所以,333,k.（2）设 AB 中点为00yx，136222210kkxxx，1322220210kkkkxyyy，1312020yx.所以 AB 中点的轨迹坐标方程为13122yx.
