1、虹口区2013年数学学科高考练习题(理科)(时间120分钟,满分150分)2013.4一、填空题(每小题4分,满分56分)1、函数在上单调递减,则的取值范围是 2、已知复数,则 3、已知,则 4、设展开式中二项式系数之和为,各项系数之和为,则 5、已知双曲线与椭圆有相同的焦点,且渐近线方程为,则此双曲线方程为 6、如果,则的最小值为 7、数列的通项,前项和为,则 8、设、是椭圆的两个焦点,点在椭圆上,且满足,则的面积等于 9、从集合的所有非空子集中,等可能地取出一个,记取出的非空子集中元素个数为,则的数学期望 10、对于,不等式恒成立,则实数的取值范围是 11、在中,则面积等于 12、将边长为
2、2的正方形沿对角线折起,以,为顶点的三棱锥的体积最大值等于 13、设,称为整数的为“希望数”,则在内所有“希望数”的个数为 14、已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合,如果对于定义域内的任意实数,函数值均为正,则实数的取值范围是 二、选择题(每小题5分,满分20分)15、直线的倾斜角等于( ) 16、已知函数与直线相交,若在轴右侧的交点自左向右依次记为,则等于( ) 17、若,如果有,则值为( ) 0 118、正方体的棱上到异面直线,的距离相等的点的个数为( )2 3 4 5 三、解答题(满分74分)19、(本题满分12分)如图,平面,矩形的边长,为的中点(1)证明:;(2)如果,求异面
3、直线与所成的角的大小20、(本题满分14分)在中,角,所对的边长分别为, ,向量,且(1)求角;(2)若,求的面积的最大值21、(本题满分14分)已知复数,其中,是虚数单位,且,(1)求数列,的通项公式;(2)求和:;22、(本题满分16分)已知抛物线:,直线交此抛物线于不同的两个点、(1)当直线过点时,证明为定值;(2)当时,直线是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由;(3)如果直线过点,过点再作一条与直线垂直的直线交抛物线于两个不同点、设线段的中点为,线段的中点为,记线段的中点为问是否存在一条直线和一个定点,使得点到它们的距离相等?若存在,求出这条直线和这个定点;若不存
4、在,请说明理由23、(本题满分18分)定义域为的函数,如果对于区间内的任意两个数、都有成立,则称此函数在区间上是“凸函数”(1)判断函数在上是否是“凸函数”,并证明你的结论;(2)如果函数在上是“凸函数”,求实数的取值范围;(3)对于区间上的“凸函数”,在上任取, 证明: 当()时,成立; 请再选一个与不同的且大于1的整数,证明:也成立虹口区2013年数学学科高考练习题答案(理)一、填空题(每小题4分,满分56分)1、; 2、2; 3、; 4、; 5、; 6、1; 7、7; 8、1; 9、; 10、; 11、; 12、; 13、9; 14、或;二、选择题(每小题5分,满分20分)15、; 16
5、、A; 17、; 18、;三、解答题(满分74分)19、(12分) 解:(1)连,由,得,同理,由勾股定理逆定理得,3分由平面,得.由,得平面6分(2)取的中点,的中点,连、, ,的大小等于异面直线与所成的角或其补角的大小8分由,得,异面直线与所成的角的大小为12分注:用向量解相应给分20、(14分)解:(1),5分又,7分(2),即9分,即,当且仅当时等号成立12分,当时,14分21、(14分)解:(1),由得,3分数列是以1为首项公比为3的等比数列,数列是以1为首项公差为2的等差数列,6分(2)由(1)知,,数列是以为首项,公比为的等比数列 9分当,时,当,时,又也满足上式14分22、(1
6、6分)解:(1)过点与抛物线有两个交点,设,由得,4分(2)当直线的斜率存在时,设,其中(若时不合题意)由得,从而6分从而,得,即,即过定点8分当直线的斜率不存在,设,代入得,从而,即,也过综上所述,当时,直线过定点10分(3)依题意直线的斜率存在且不为零,由(1)得点的纵坐标为,代入得,即由于与互相垂直,将点中的用代,得12分设,则消得14分由抛物线的定义知存在直线,点,点到它们的距离相等16分23、(18分)解:(1)设,是上的任意两个数,则函数在上是 “凸函数”4分(2)对于上的任意两个数,均有成立,即,整理得7分若,可以取任意值若,得,综上所述得10分(3)当时由已知得成立假设当时,不等式成立即成立那么,由,得即时,不等式也成立根据数学归纳法原理不等式得证15分比如证明不等式成立由知,有成立,从而得18分