1、虹口区2013年数学学科高考练习题(理科)（时间120分钟，满分150分）2013.4一、填空题（每小题4分，满分56分）1、函数在上单调递减，则的取值范围是 2、已知复数，则 3、已知，则 4、设展开式中二项式系数之和为，各项系数之和为，则 5、已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且渐近线方程为，则此双曲线方程为 6、如果，则的最小值为 7、数列的通项，前项和为，则 8、设、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积等于 9、从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个，记取出的非空子集中元素个数为，则的数学期望 10、对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是 11、在中，则面积等于 12、将边长为
2、2的正方形沿对角线折起，以，为顶点的三棱锥的体积最大值等于 13、设，称为整数的为“希望数”，则在内所有“希望数”的个数为 14、已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合，如果对于定义域内的任意实数，函数值均为正，则实数的取值范围是 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、直线的倾斜角等于（ ） 16、已知函数与直线相交，若在轴右侧的交点自左向右依次记为，则等于（ ） 17、若，如果有，则值为（ ） 0 118、正方体的棱上到异面直线，的距离相等的点的个数为（ ）2 3 4 5 三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图，平面，矩形的边长，为的中点（1）证明：；（2）如果，求异面
3、直线与所成的角的大小20、（本题满分14分）在中，角，所对的边长分别为， ，向量，且（1）求角；（2）若，求的面积的最大值21、（本题满分14分）已知复数，其中，是虚数单位，且，（1）求数列，的通项公式；（2）求和：；22、（本题满分16分）已知抛物线：，直线交此抛物线于不同的两个点、（1）当直线过点时，证明为定值；（2）当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）如果直线过点，过点再作一条与直线垂直的直线交抛物线于两个不同点、设线段的中点为，线段的中点为，记线段的中点为问是否存在一条直线和一个定点，使得点到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存
4、在，请说明理由23、（本题满分18分）定义域为的函数，如果对于区间内的任意两个数、都有成立，则称此函数在区间上是“凸函数”（1）判断函数在上是否是“凸函数”，并证明你的结论；（2）如果函数在上是“凸函数”，求实数的取值范围；（3）对于区间上的“凸函数”，在上任取， 证明： 当（）时，成立； 请再选一个与不同的且大于1的整数，证明：也成立虹口区2013年数学学科高考练习题答案（理）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、； 2、2； 3、； 4、； 5、； 6、1； 7、7； 8、1； 9、； 10、； 11、； 12、； 13、9； 14、或；二、选择题（每小题5分，满分20分）15、； 16
5、、A； 17、； 18、；三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1）连，由，得，同理，由勾股定理逆定理得，3分由平面，得.由，得平面6分（2）取的中点，的中点，连、， ，的大小等于异面直线与所成的角或其补角的大小8分由，得，异面直线与所成的角的大小为12分注：用向量解相应给分20、（14分）解：（1），5分又，7分（2），即9分，即，当且仅当时等号成立12分，当时，14分21、（14分）解：（1），由得，3分数列是以1为首项公比为3的等比数列，数列是以1为首项公差为2的等差数列，6分（2）由（1）知，,数列是以为首项，公比为的等比数列 9分当，时，当，时，又也满足上式14分22、（1
6、6分）解：（1）过点与抛物线有两个交点，设，由得，4分（2）当直线的斜率存在时，设，其中（若时不合题意）由得，从而6分从而，得，即，即过定点8分当直线的斜率不存在，设，代入得，从而，即，也过综上所述，当时，直线过定点10分（3）依题意直线的斜率存在且不为零，由（1）得点的纵坐标为，代入得，即由于与互相垂直，将点中的用代，得12分设，则消得14分由抛物线的定义知存在直线，点，点到它们的距离相等16分23、（18分）解：（1）设，是上的任意两个数，则函数在上是 “凸函数”4分（2）对于上的任意两个数，均有成立，即，整理得7分若，可以取任意值若，得，综上所述得10分（3）当时由已知得成立假设当时，不等式成立即成立那么，由，得即时，不等式也成立根据数学归纳法原理不等式得证15分比如证明不等式成立由知，有成立，从而得18分