1、9.2 向量运算 9.2.3 向量的数量积 第9章 平面向量 学 习 任 务核 心 素 养 1了解向量的夹角、向量垂直、投影向量等概念(易错点)2理解平面向量数量积的含义(重点)3能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题(难点)1通过向量数量积及投影概念的学习，培养数学抽象素养2通过数量积的应用，培养数学运算素养情境导学探新知 NO.1知识点1知识点2知识点3知识点4 我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功如图所示，如果作用在小车上的力 F 的大小为|F|N，小车在水平面上位移 s 的大小为|s|m，力的方向与小车位移的方向所成夹
2、角为，那么这个力所做的功为 W|F|cos (1)显然，功 W 与力向量 F 及位移向量 s 有关，这三者之间有什么关系？(2)给定任意两个向量 a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由 知识点 1 向量的数量积 已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角是，我们把数量_叫作向量 a 和 b 的数量积，记作 ab，即 ab_ 规定：零向量与任一向量的数量积为_|a|b|cos|a|b|cos 0 1(1)两个向量的数量积是向量吗？(2)数量积的大小和符号与哪些量有关？提示(1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量(2)数量积的大小与两个向量的长度及夹角都有
3、关，符号由夹角的余弦值决定 1已知|a|3，|b|6，则(1)若 a 与 b 夹角为 0，则 ab_；(2)若 a 与 b 的夹角为 60，则 ab_；(3)若 a 与 b 的夹角为 90，则 ab_(1)18(2)9(3)0(1)ab|a|b|cos 0|a|b|18(2)ab|a|b|cos 603612182 9(3)ab|a|b|cos 903600 知识点 2 两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量 a，b，作OA a，OB b，则_称为向量 a 与 b 的夹角(2)范围：_(3)当 _时，a 与 b 同向；当 180时，a 与 b 反向(4)当 _时，则称向量 a 与 b 垂直
4、，记作 ab(5)两个非零向量 a 和 b 的夹角，可以由 cos ab|a|b|求得 AOB00180902试指出图中向量的夹角 图中向量OA 与OB 的夹角_；图中向量OA 与OB 的夹角_；图中向量OA 与OB 的夹角_；图中向量OA 与AB的夹角_ 答案 0 180 知识点 3 投影向量 设 a，b 是两个非零向量，如图，OA 表示向量 a，OB 表示向量 b，过点 A 作OB 所在直线的垂线，垂足为点 A1，我们将上述由向量 a 得到向量OA1 的变换称为向量 a 向向量 b 投影，向量OA1 称为向量 a 在向量 b 上的_(1)(2)投影向量所以OA1 _，abOA1 b 投影向
5、量与向量数量积的关系：向量 a 和向量 b 的数量积就是_的投影向量与向量 b 的数量积 (|a|cos)b|b|向量a在向量b上3已知|a|3，|b|5，a 与 b 的夹角为 45，则 a 在 b 上的投影向量为_；b 在 a 上的投影向量为_ 3 210 b 5 26 a a 在 b 上的投影向量为(|a|cos)b|b|(3cos 45)b53 210 b；b 在 a 投影向量为(|b|cos)a|a|(5cos 45)a35 26 a 知识点 4 向量的数量积的运算律及性质(1)向量数量积的运算律：已知向量 a，b，c 和实数 ab_；(a)b_；(ab)c_ baa(b)(ab)ab
6、acbc(2)数量积的性质：aa|a|2 或|a|aa；|ab|a|b|，当且仅当向量 a，b 为共线向量时取“”号；abab_(向量 a，b 均为非零向量)0 2向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？提示 向量线性运算结果是向量，而数量积运算结果是数量 4(多选题)对于向量 a，b，c，下列命题错误的是()A若 ab0 且 a0，则 b0 B若|a|2|b|20，则 ab 或 ab C若 abbc 且 a，b，c 均为非零向量，则 ac D若 a，b，c 均为非零向量，则(ab)ca(bc)0 ABCD 若 ab0，则 a，b 至少有一个为零向量，或者 ab，故 A 错；若|
7、a|2|b|20，则 a，b 均为非零向量且 a，b 的模相等，不能推出 a，b 方向相同或相反，故 B 错；若 ab，bc，则 abbc0，此时 a，c 均与 b 垂直，无法推出 ac，故 C 错；(ab)c 是与 c共线的向量，a(bc)是与 a 共线的向量，(ab)ca(bc)0 不一定成立，故 D 错合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 向量数量积的运算【例 1】(对接教材 P20 例 1)已知|a|2，|b|3，a 与 b 的夹角为 120，求：(1)ab；(2)a2b2；(3)(2ab)(a3b)解(1)ab|a|b|cos 1202312 3(2)a2b2|a
8、|2|b|2495(3)(2ab)(a3b)2a25ab3b2 2|a|25|a|b|cos 1203|b|2 81527 34 1求平面向量数量积的步骤：求 a 与 b 的夹角，0，；分别求|a|和|b|；求数量积，即 ab|a|b|cos 要特别注意书写时，a 与 b 之间用实心圆点“”连结，而不能用“”连结，也不能省去2较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简 跟进训练 1已知正三角形 ABC 的边长为 1，求：(1)ABAC；(2)ABBC；(3)BCAC 解(1)AB与AC的夹角为 60，ABAC|AB|AC|cos 60111212(2)AB与BC的夹角为
9、 120，ABBC|AB|BC|cos 120 1112 12(3)BC与AC的夹角为 60，BCAC|BC|AC|cos 60111212 类型 2 求向量的模【例 2】已知向量OA a，OB b，AOB60，且|a|b|4求|ab|，|ab|，|3ab|解 ab|a|b|cosAOB44128，|ab|ab2 a22abb2 1616164 3，|ab|ab2 a22abb2 1616164，|3ab|3ab2 9a26abb2 91648164 13 1求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用 aa|a|2，勿忘记开方2一些常见的等式应熟记，如(ab)2a22abb2，
10、(ab)(ab)a2b2 等 跟进训练 2已知向量 a 与 b 夹角为 45，且|a|1，|2ab|10，则|b|_ 2 因为|2ab|10，所以(2ab)210，所以 4a24abb210，又因为向量 a 与 b 的夹角为 45，且|a|1，所以 4|a|24|a|b|cos 45|b|210，故 41241|b|22|b|210，整理得|b|22 2|b|60，解得|b|2或|b|3 2(舍去)，故|b|2 类型 3 求向量的夹角【例 3】已知 a，b 都是非零向量，且 a3b 与 7a5b 垂直，a4b 与 7a2b 垂直，求 a 与 b 的夹角 由两组向量分别垂直可得出|a|，|b|同
11、 ab 的关系，由此可借助公式 cos ab|a|b|求 a 与 b 的夹角.解 由已知，得(a3b)(7a5b)0，即 7a216ab15b20，(a4b)(7a2b)0，即 7a230ab8b20，两式相减，得 2abb2，ab12b2，代入中任一式，得 a2b2，设 a，b 的夹角为，则 cos ab|a|b|12b2|b|212，0180，60 求 a 与 b 夹角的思路(1)求向量夹角的关键是计算 ab 及|a|b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算 cos ab|a|b|，最后借助 0，求出 的值(2)在个别含有|a|，|b|及 ab 的等量关系式中，常利用消元思想计算 cos
12、 的值 提醒：注意两向量的夹角 0，跟进训练 3已知单位向量 e1，e2 的夹角为 60，求向量 ae1e2，be22e1 的夹角 解 e1，e2 为单位向量且夹角为 60，e1e211cos 6012 ab(e1e2)(e22e1)2e1e21212132，|a|a2 e1e2212121 3，|b|b2 e22e1214412 3，cos ab|a|b|3213 312 又0，180，120 当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1若|a|3，|b|4，a，b 的夹角为 60，则 ab()A3 3 B6 C6 3 D12 B a，b 的夹角为 60，且|a|3，|b|4，ab34co
13、s 6012126，故选 B 1 2 3 4 5 2(多选题)下面给出的关系式中正确的是()A0a0 Ba2|a|2 Cab|a|b|D(ab)2a2b2 ABC(ab)2a2b2cos2，故 D 错误，其余均正确 1 2 3 4 5 3已知非零向量 a，b 满足|a|2|b|，且(ab)b，则 a 与 b 的夹角为()A6 B3 C23 D56 B 设 a 与 b 的夹角为，(ab)b，(ab)b0，abb2，|a|b|cos|b|2，又|a|2|b|，cos 12，0，3故选 B 1 2 3 4 5 4已知|a|3，|b|5，且 ab12，则向量 a 在 b 方向上的投影向量为_ 1225
14、b cos ab|a|b|45，向量 a 在 b 方向上的投影向量为(|a|cos)b|b|345b51225b 5 1 2 3 4 5若向量 ab，且|a|1，|b|3，则|ab|_ 10 ab，ab0，又|a|1，|b|3，|ab|ab2 a2b22ab 1910 回顾本节知识，自我完成以下问题：1向量的数量积与实数运算有何区别？提示(1)在实数运算中，若 ab0，则 a 与 b 中至少有一个为0，而在向量数量积的运算中，不能从 ab0 推出 a0 或 b0实际上由 ab0 可推出以下四种结论：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，但 ab(2)在实数运算中，若 a，bR，则|a
15、b|a|b|，但对于向量 a，b，却有|ab|a|b|，当且仅当 ab 时等号成立这是因为|ab|a|b|cos|，而|cos|1(3)实数运算满足消去律：若 bcca，c0，则有 ba在向量数量积的运算中，若 abac(a0)，则向量 c，b 在向量 a 方向上的投影相同，因此由 abac(a0)不能得到 bc(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c 不一定等于 a(bc)，这是由于(ab)c 表示一个与 c共线的向量，而 a(bc)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线 2两个非零向量 a，b 的夹角为锐角ab0 吗？提示 两个非零向量 a，b 的夹角为锐角ab0 且 ab|a|b|3如何借助数量积求|ab|?提示|ab|ab2 a22abb2 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
