1、高考解答题专项三数列中的综合问题1.已知数列an的前n项和为Sn,等比数列an为递增数列,S3=7,且3a2是a1+3和a3+4的等差中项,bn=,设数列bn的前n项和为Tn,是否存在实数k,使得Tnk恒成立?若实数k存在,求出k的最小值;若不存在,请说明理由.2.(2021全国乙,文19)设数列an是首项为1的等比数列,数列bn满足bn=.已知a1,3a2,9a3成等差数列.(1)求an和bn的通项公式;(2)记Sn和Tn分别为an和bn的前n项和.证明:Tn0,数列an为递增数列,所以q=2,所以an=2n-1,Sn=2n-1,所以bn=,所以Tn=1-+=1-1.当k1时,使得Tnk恒成
2、立,故k的最小值为1.2.(1)解设an的公比为q,则an=qn-1.因为a1,3a2,9a3成等差数列,所以1+9q2=23q,解得q=,故an=.由bn=,得bn=n.(2)证明由(1)可知Sn=1-.又bn=,则Tn=+,两边同乘,得Tn=+,-,得Tn=+,即Tn=,整理得Tn=,则2Tn-Sn=2=-0.故Tn0,所以数列bn是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)解由(1)知,bn=2n-1,Sn=2n-1,则cn=|2n-16|,故cn=则当1n4时,Tn=(16-21)+(16-22)+(16-2n)=16n-(21+22+2n)=16n-=16n-2n+1+2.当n4时,Tn
3、=(16-21)+(16-22)+(16-24)+(25-16)+(26-16)+(2n-16)=2T4+(21+22+2n)-16n=234+-16n=2n+1-16n+66,则Tn=4.解(1)因为2=an+1,所以a1=1.因为2=an+1,所以Sn=.当n2时,Sn-1=,-得,2an+2an-1=,所以an-an-1=2,所以数列an是首项为1,公差为2的等差数列,所以an=2n-1.(2)由题意可知,b1=a1=S1,b2=a2+a3=S3-S1,b3=a4+a5+a6=S6-S3,b4=a7+a8+a9+a10=S10-S6,所以bn=,而Sn=n2,所以bn=2-n2=n3.由
4、可得(-1)n=(-1)nn2,所以T2n=(-1+22)+(-32+42)+(-52+62)+-(2n-1)2+(2n)2=3+7+(4n-1)=n(2n+1).5.解(1)设an的公差为d,由a2=1,S7=14得解得an=.b1b2b3bn=,b1b2b3bn-1=(n2),两式相除得bn=2n(n2).当n=1时,b1=2符合上式,bn=2n(nN*).(2)cn=bncos(an)=2ncos,T2n=2cos+22cos+23cos+24cos(2)+22n-1cos+22ncos(n)=22cos+24cos(2)+22ncos(n)=-22+24-+(-1)n22n=-.6.解(1)设第一行数的公差为d,各列的公比为q.由题意可知a13a23a33=1,解得a23=1.由a32+a33+a34=3a33=,解得a33=,则q=.由a23=a13q=(a11+2d)q=(1+2d)=1,解得d=,因此a1n=a11+(n-1)d=1+.(2)由ann=a1nqn-1=n-1=,可得Sn=+,两边同时乘以可得,Sn=+,上述两式相减可得,Sn=1+-=1+,因此Sn=3-.
