1、7.6 直线与圆的位置关系巩固夯实基础 一、自主梳理 1.直线与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系有三种：相离、相交和相切. (2)直线l:Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的位置关系的判定方法有两种： 几何方法 直线l与圆M|MN|= 其中|MN|是圆心到直线的距离. 代数方法 由 消去y(或消去x)，可得形如x2+px+q=0的方程，设=p2-4q，则直线l与M (3)计算直线被圆截得的弦长的常用方法： 几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦半径及半径构成直角三角形计算. 代数方法 运用韦达定理及弦长公式 |AB|=. 2.圆与圆的位置关系的判定 设
2、C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r10),C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r20),则有 |C1C2|r1+r2C1与C2相离； |C1C2|=r1+r2C1与C2相切； |r1-r2|C1C2|r1+r2C1与C2相交； |C1C2|=|r1-r2|C1与C2内切； |C1C2|0,则直线(x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为（ ）A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切解析：圆心到直线的距离为d=,圆半径为. d-r=-=(m-2+1)=(-1)20, 直线与圆的位置关系是相切或相离.答案：C2.圆x2+y2-4x+4y+6=0截直线x-
3、y-5=0所得的弦长等于( )A. B. C.1 D.5解析：圆心到直线的距离为，半径为，弦长为2=.答案：A3.圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为（ ）A.x+y-2=0 B.x+y-4=0 C.x-y+4=0 D.x-y+2=0解法一： x2-4x+(kx-k+)2=0. 该二次方程应有两相等实根,即=0,解得k=. y-3=(x-1),即x-y+2=0. 解法二：点(1,3)在圆x2+y2-4x=0上, 点P为切点,从而圆心与P的连线应与切线垂直. 又圆心为(2,0),k=-1. 解得k=,切线方程为x-y+2=0.答案：D4.圆心为(1,2)且与直线5x-12y-7=0
4、相切的圆的方程为_.解析：由题意知圆的半径r=2. 故圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=4.答案：(x-1)2+(y-2)2=45.(2005湖南高考，文)设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2-2x-3=0相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程是_.解析：圆心(1,0)，垂直平分线斜率为k，满足k(-)=-1.k=. 方程为y=(x-1)，即3x-2y-3=0.答案：3x-2y-3=0诱思实例点拨【例1】 (1)求过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1 所引的切线方程；(2)过点M(2,4)向圆引两条切线，切点为P、Q，求P、Q所在直线方程(简称切点弦).剖析：(1)用点斜
5、式设直线方程时，要分斜率存在、不存在两种情况讨论；(2)点M、圆心C、切点P、Q四点共圆，直线PQ为两圆公共弦，两圆方程相减即得公共弦方程.解：(1)当所求切线斜率存在时，设切线方程为y-4=k(x-2)，即kx-y+4-2k=0. =1.解得k=， 即切线方程为24x-7y-20=0. 当k不存在时，切线方程为x=2. 故所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2. (2)连结CP、CQ，则CPPM，CQQM. M、P、Q、C四点共圆. 其圆是以CM为直径的圆. C(1,-3),CM的中点为(,). |CM|=5. 以CM为直径的圆的方程为(x-)2+(y-)2=. PQ的方程为(x-1)
6、2+(y+3)2-1-(x-)2+(y-)2-=0，即x+7y+19=0.【例2】 求经过两圆(x+3)2+y2=13和x2+(y+3)2=37的交点,且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.剖析：根据已知,可通过解方程组得圆上两点, 由圆心在直线x-y-4=0上,三个独立条件,用待定系数法求出圆的方程. 也可根据已知,设所求圆的方程为(x+3)2+y2-13+x2+(y+3)2-37=0,再由圆心在直线x-y-4=0上,定出参数,得圆方程.解：因为所求的圆经过两圆(x+3)2+y2=13和x2+(y+3)2=37的交点, 所以设所求圆的方程为(x+3)2+y2-13+x2+(y+3)2-37
7、=0. 展开、配方、整理,得(x+)2+(y+)2=+. 圆心为(-,-),代入方程x-y-4=0,得=-7. 故所求圆的方程为(x+)2+(y+)2=.讲评：圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若圆C1、C2相交,那么过两圆公共点的圆系方程为(x2+y2+D1x+E1y+F1)+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(R且-1).它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆.【例3】 已知A(8,0)、B(0,6)和AOB的内切圆：(x-2)2+(y-2)2=4,P(x,y)是圆上一点(如右图所示)，(1)求P点到直线l:4x
8、+3y+11=0距离的最大值和最小值;(2)若S=|PA|2+|PB|2+|PO|2，求S的最大值和最小值.剖析：(1)设(x-2)2+(y-2)2=4的圆心为C，则C(2,2).由圆的几何性质知过C作l的垂线交圆于Q，交直线l于R，易求最大值和最小值.(2)利用圆的参数方程可解.解：(1)设圆(x-2)2+(y-2)2=4的圆心C(2,2)到l的距离为d，则d=5. 圆上的点到l的距离最大值、最小值分别为d1=d+r=5+2=7,d2=d-r=5-2=3. (2)设P(2+2cos,2+2sin), S=|PA|2+|PB|2+|PO|2 =(2cos-6)2+(2+2sin)2+(2+2cos)2+(2sin-4)2+(2+2cos)2+(2+2sin)2 =80-4(2cos+sin)=80-4sin(+). 0,2,Smax=80+4,Smin=80-4.讲评：利用圆的几何性质和圆的参数方程来求有关最值较简单.
