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2021-2022学年人教B版数学选择性必修第一册课件:1-2-3 直线与平面的夹角 .ppt

上传人:高**** 文档编号:44328 上传时间:2024-05-24 格式:PPT 页数:58 大小:4.14MB
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资源描述

1、1.2.3 直线与平面的夹角 必备知识自主学习导思 1.空间中斜线与平面所成角的定义与性质是什么?2求直线与平面所成角的方法有哪些?1.直线与平面所成的角【思考】直线与平面的夹角的取值范围与斜线与平面夹角的取值范围相同吗?提示:不相同,直线与平面的夹角的取值范围是0,2,斜线与平面的夹角的取值范围是0,2.2斜线与平面所成角的性质(1)“最小角”结论(2)“三相等”结论经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中,_、_及斜线与平面所成的角,只要有一个相等,则另外两个也对应相等(3)射影长计算公式当线段AB所在的直线与平面 所成的角为,且AB在平面 内的射影为AB 时,有_斜线段长射影长ABABco

2、s 【思考】一平面的斜线在平面内的射影是一条线段还是直线?它是唯一的吗?提示:是一条直线,斜线在平面内的射影是唯一的3直线与平面的夹角的向量求法如果v是直线l的一个方向向量,n是平面 的一个法向量,直线l与平面 所成角的大小为,则 v,n或 ,特别地,cos sin v,n 或 2vn,2sincos,v n【思考】直线 l 的方向向量 v 与平面 的法向量 n 的夹角一定是直线和平面的夹角吗?提示:不是,直线和平面的夹角为2v,n.【基础小测】1辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)斜线与平面的夹角的取值范围是0,2.()(2)直线与平面所成的角 与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角

3、互余()(3)一条直线与平面 所成的角小于它和平面 内其他直线所成的角()提示:(1).斜线与平面的夹角的取值范围是0,2 .(2).直线的方向向量与平面的法向量的夹角可能是钝角(3).当直线与平面垂直时不对 2已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 的方向向量、法向量,且 cos m,n 32,则直线 l 与平面 所成的角为()A30 B60 C120 D150【解析】选 B.设直线 l 与平面 所成的角为,则 sin cos m,n 32,所以 60.3(教材例题改编)已知直线 l平面 A,B 是直线 l 上一点,AB6,直线 l与平面 所成的角为 60,则线段 AB 在平面 内的射影长

4、为_【解析】射影长ABcos 60612 3.答案:3关键能力合作学习类型一 定义法求直线与平面所成的角(数学运算、直观想象)1正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为棱 AB 上的点,且 AB4EB,则直线 C1E 与平面 ADD1A1 所成角的正切值为()A 28 B 24 C 216 D 172在九章算术中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”如图,四棱锥 P-ABCD 为阳马,侧棱 PA底面 ABCD,PAABAD,E为棱 PA 的中点,则直线 CE 与平面 PAD 所成角的正弦值为()A23 B 53 C 32 D 223如图,在正方体 ABCDA1B1C1D

5、1中,A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为_ 【解析】1.选 A.如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1中,因为平面 AA1D1D平面 BB1C1C,所以直线 C1E 与平面 ADD1A1所成角等于直线 C1E 与平面 BCC1B1所成角,因为 EB平面 BB1C1C,连接 BC1,则EC1B 即为直线 C1E 与平面 BCC1B1所成角 设正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 4a,则 EBa,BC14 2 a.所以 tan EC1Ba4 2a 28 .即直线 C1E 与平面 ADD1A1 所成角的正切值为 28 .2选 A.如图,侧棱 PA底面 ABCD,PA 平面 PAD,

6、则平面 PAD平面 ABCD,因为底面 ABCD 为矩形,所以 CDAD,而平面 PAD平面 ABCDAD,所以 CD平面 PAD.连接 ED,则 ED 为 CE 在平面 PAD 上的射影,则CED 为 CE 与平面 PAD 所成角,设 PAABAD2a,则 AEa,ED 5 a,EC ED2CD2 5a24a2 3a.所以 sin CEDCDCE 2a3a 23.即直线 CE 与平面 PAD 所成角的正弦值为23.3连接 BC1交 B1C 于 O 点,连接 A1O.设正方体棱长为 a.易证 BC1平面 A1B1CD,所以 A1O 为 A1B 在平面 A1B1CD 上的射影,所以BA1O 为

7、A1B 与平面 A1B1CD 所成的角 在 RtA1BO 中,A1B 2 a,OB 22 a,所以 sin BA1OOBA1B 12,所以BA1O30.即 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 30.答案:30 用定义法求直线与平面所成角的关注点(1)关键:寻找直线与平面的夹角,即准确确定直线在平面内的射影(2)三种情况:若直线与平面平行或直线在平面内,则直线与平面的夹角为 0;若直线与平面垂直,则直线与平面的夹角为2;若是斜线与平面,作出斜线与平面所成的角,通过解三角形求出直线与平面夹角的大小类型二 向量法求直线与平面所成的角(数学运算、逻辑推理)【典例】如图,在正三棱柱 ABC-A1B

8、1C1 中,D 为 AC 的中点(1)证明:AB1平面 BC1D;(2)证明:BD平面 AA1C1C;(3)若 AA1AB,求直线 BC1 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值【思路导引】(1)连接 B1C,交 BC1 于 O,连接 OD,推导出 ODAB1,由此能证明 AB1平面 BC1D.(2)推导出 BDAC,BDAA1,由此能证明 BD平面 AA1C1C.(3)设 AA1AB2,以 B 为原点,在平面 ABC 中过 B 作 BC 的垂线为 x 轴,BC为 y 轴,BB1 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线 BC1 与平面AA1C1C 所成角的正弦值【解析】(1)连接

9、B1C,交 BC1于 O,连接 OD,因为正三棱柱 ABC A1B1C1中,D 为 AC 的中点,O 是 B1C 的中点,所以 ODAB1,因为 AB1 平面 BC1D,OD 平面 BC1D,所以 AB1平面 BC1D.(2)因为正三棱柱 ABC A1B1C1中,ABBC,又 D 是 AC 中点,所以 BDAC,又 AA1平面 ABC,BD 平面 ABC,所以 BDAA1,因为 AA1ACA,所以 BD平面 AA1C1C.(3)设 AA1AB2,以 B 为原点,在平面 ABC 中过 B 作 BC 的垂线为 x 轴,BC为 y 轴,BB1 为 z 轴,建立空间直角坐标系,则 B(0,0,0),C

10、1(0,2,2),A(3,1,0),C(0,2,0),1C Buuur(0,2,2),CA(3,1,0),1CCuuur(0,0,2),设平面 AA1C1C 的法向量 n(x,y,z),则1CA3xy0CC2z0nnuuurguuurg,取 x1,得 n(1,3,0),设直线 BC1 与平面 AA1C1C 所成角为,则 sin 11|C B|C B|nnuuurguuurg 2 38 4 64.所以直线 BC1 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值为 64.用向量法求直线与平面所成的角的步骤(1)建立空间直角坐标系;(2)求直线的方向向量AB;(3)求平面的法向量 n;(4)计算:设直线与平面

11、所成的角为,则 sin|nAB|n|AB|.已知四棱锥 P-ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形,BAD60,PAPD,APD90,F 为 AD 中点,BPAD.(1)证明:平面 PBF平面 ABCD;(2)求 BF 与平面 PBC 所成的角【解析】(1)因为 PAPD,F 为 AD 的中点,所以 PFAD.由题意,在 ABF 中,AB2,AF1,BAF60,由余弦定理,得 BF AB2AF22ABAFcos BAF221222112 3.因为 PAPD,APD90,AD2,所以 PF1.又 BPAD2,所以 BF2PF2BP2,即 PFBF.因为 AD 平面 ABCD,BF 平面

12、 ABCD,ADBFF,所以 PF平面 ABCD,而 PF 平面 PBF,所以平面 PBF平面 ABCD;(2)连接 BD,因为四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形,且BAD60,所以 ABD为等边三角形,又 F 为 AD 的中点,所以 BFAD.由(1)知,FA,FB,FP 两两互相垂直以 F 为坐标原点,分别以 FA,FB,FP 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 则 F(0,0,0),A(1,0,0),D(1,0,0),B(0,3,0),P(0,0,1),FB(0,3,0),BC AD(2,0,0),PB(0,3,1).设平面 PBC 的一个法向量为 n(x,y,z),由nP

13、B 3yz0nBC2x0,取 z1,得 n0,33,1;设 BF 与平面 PBC 所成角为.则 sin|FBn|FB|n|132 3312.所以 BF 与平面 PBC 所成的角为6.类型三 直线与平面所成角的性质及应用(直观想象、逻辑推理)角度1“最小角”结论的应用【典例】已知 PA,PB,PC 是从 P 点出发的三条射线,每两条射线的夹角均为 60,则直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是_.【解析】如图,在 PC 上任取一点 D 并作 DO平面 APB,连接 PO,则DPO 就是直线 PC 与平面 PAB 所成的角所以 cos BPDcos DPOcos OPB,cos APDcos

14、 DPOcos OPA,因为BPDAPDAPB60,所以OPBOPA30,所以 cos DPOcos BPDcos OPB cos 60cos 30 1232 33,即 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值为 33.答案:33本例若改为:已知 PA,PB,PC 是从点 P 出发的三条射线,且APCBPC60,直线 PC 与平面 PAB 所成的角为 45,求射线 PA 与 PB 的夹角【解析】在 PC 上任取一点 D 并作 DO平面 APB,连接 PO,则DPO 就是直线 PC 与平面 PAB 所成的角 所以 cos BPDcos DPOcos OPB,cos APDcos DPOcos OPA

15、,因为BPDAPD60,DPO45,所以OPBOPA,所以 cos OPAcos APDcos DPO cos 60cos 45 1222 22 ,所以OPA45,所以APB2OPA90,即射线 PA 与 PB 的夹角为 90.角度2“三相等”结论及应用【典例】如图,在三棱锥 P-ABC 中,D,E,F 分别是边 AB,AC,BC 上的点,O 为点 P 在平面 ABC 上的射影若 PAPBPC,则直线 PA,PB,PC 与平面 ABC 的夹角相等;若 PAPBPC,则点 O 是ABC 的外心;若 PDPEPF,则点 O 是ABC 的内心以上判断正确的序号是_【解析】连接 OA,OB,OC,则

16、OA,OB,OC 分别是线段 PA,PB,PC 在平面 ABC 上的射影,PAO,PBO,PCO 分别是直线 PA,PB,PC 与平面 ABC 的夹角,因为PAPBPC,所以根据斜线与平面所成角的性质,有PAOPBOPCO,OAOBOC,所以 O 是ABC 的外心,正确;同理若 PDPEPF,则 ODOEOF,但是 OD,OE,OF 是否与ABC 的三边垂直无法说明,故点 O 不一定是ABC 的内心,不正确 答案:斜线与平面所成角的性质的应用策略(1)“三相等”结论常用于直接证明角或线段的相等,省去了先证明三角形全等的麻烦;(2)“最小角”结论可以用于比较线面角、线线角的大小,也可以求线面角、

17、线线角,灵活应用这个结论,有时会起到事半功倍的效果1如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC-A1B1C1 中,P 是棱 BC 上的动点记直线 A1P 与平面 ABC 所成的角为 1,与直线 BC 所成角为 2,则 1,2 的大小关系是()A12B12C12D不能确定【解析】选 C.因为 1 是直线 A1P 与平面 ABC 所成的角,而 2 是直线 A1P 与直线BC 所成的角,由最小角定理可知 12,又因为直线 BC 在平面 ABC 内且不可能与 A1P 的射影 AP 共线,所以 12.2在边长为 30 米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源,已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角

18、三角形,要使整个广场都照明,光源悬挂的高度至少为()A30 米 B20 米 C15 2 米 D15 米【解析】选 A.如图所示,点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心,PAD 是一个等腰直角三角形,APD90.OAB 为等边三角形,所以 OA30,因为 OP平面 ABCDEF,所以OAP45,所以 OPOA30.要使整个广场都照明,光源悬挂的高度至少为 30 米 课堂检测素养达标1如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BC1 与对角面 BB1D1D 所成的角是()AC1BB1BC1BDCC1BD1DC1BO【解析】选 D.由线面垂直的判定定理,得 C1O平面 BB1D1D,所以

19、OB 为 BC1在平面 BB1D1D 上的射影,所以C1BO 为 BC1与平面 BB1D1D 所成的角 2AB平面 于点 B,BC 为 AC 在 内的射影,CD 在 内,若ACD60,BCD45,则 AC 和平面 所成的角为()A90 B60 C45 D30【解析】选 C.设 AC 和平面所成的角为,则 cos 60cos cos 45,故 cos 22 ,所以45.3(教材练习改编)已知正四面体 ABCD,则 AB 与平面 BCD 所成角的余弦值为()A12 B23 C13 D 33【解析】选 D.取 CD 中点 E,连接 BE,过 A 作 AO平面 BCD,则交 BE 于 O,设正四面体

20、ABCD 的棱长为 2,则 BE 2212 3,BO23 BE2 33 ,因为 AO平面 BCD,所以ABO 是 AB 与平面 BCD 所成角,cos ABOBOAB 2 332 33 .所以 AB 与平面 BCD 所成角的余弦值为 33 .4若 是直线 l 与平面 所成的角,则 cos 的取值范围为_.【解析】由题意,090,所以 0cos 1.答案:0,1 5若平面 的一个法向量 n(2,1,1),直线 l 的一个方向向量为 a(1,2,3),则 l 与 所成角的正弦值为_【解析】cos a,n an|a|n|122131149 411 223146 216,所以l 与平面 所成角的正弦值为 216.答案:216

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