1、1.2.3 直线与平面的夹角 必备知识自主学习导思 1.空间中斜线与平面所成角的定义与性质是什么？2求直线与平面所成角的方法有哪些？1.直线与平面所成的角【思考】直线与平面的夹角的取值范围与斜线与平面夹角的取值范围相同吗？提示：不相同，直线与平面的夹角的取值范围是0，2，斜线与平面的夹角的取值范围是0，2.2斜线与平面所成角的性质(1)“最小角”结论(2)“三相等”结论经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，_、_及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等(3)射影长计算公式当线段AB所在的直线与平面 所成的角为，且AB在平面 内的射影为AB 时，有_斜线段长射影长ABABco
2、s 【思考】一平面的斜线在平面内的射影是一条线段还是直线？它是唯一的吗？提示：是一条直线，斜线在平面内的射影是唯一的3直线与平面的夹角的向量求法如果v是直线l的一个方向向量，n是平面 的一个法向量，直线l与平面 所成角的大小为，则 v，n或 ，特别地，cos sin v，n 或 2vn，2sincos,v n【思考】直线 l 的方向向量 v 与平面 的法向量 n 的夹角一定是直线和平面的夹角吗？提示：不是，直线和平面的夹角为2v，n.【基础小测】1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)斜线与平面的夹角的取值范围是0，2.()(2)直线与平面所成的角 与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角
3、互余()(3)一条直线与平面 所成的角小于它和平面 内其他直线所成的角()提示：(1).斜线与平面的夹角的取值范围是0，2 .(2).直线的方向向量与平面的法向量的夹角可能是钝角(3).当直线与平面垂直时不对 2已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 的方向向量、法向量，且 cos m，n 32，则直线 l 与平面 所成的角为()A30 B60 C120 D150【解析】选 B.设直线 l 与平面 所成的角为，则 sin cos m，n 32，所以 60.3(教材例题改编)已知直线 l平面 A，B 是直线 l 上一点，AB6，直线 l与平面 所成的角为 60，则线段 AB 在平面 内的射影长
4、为_【解析】射影长ABcos 60612 3.答案：3关键能力合作学习类型一 定义法求直线与平面所成的角(数学运算、直观想象)1正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为棱 AB 上的点，且 AB4EB，则直线 C1E 与平面 ADD1A1 所成角的正切值为()A 28 B 24 C 216 D 172在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”如图，四棱锥 P-ABCD 为阳马，侧棱 PA底面 ABCD，PAABAD，E为棱 PA 的中点，则直线 CE 与平面 PAD 所成角的正弦值为()A23 B 53 C 32 D 223如图，在正方体 ABCDA1B1C1D
5、1中，A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为_ 【解析】1.选 A.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，因为平面 AA1D1D平面 BB1C1C，所以直线 C1E 与平面 ADD1A1所成角等于直线 C1E 与平面 BCC1B1所成角，因为 EB平面 BB1C1C，连接 BC1，则EC1B 即为直线 C1E 与平面 BCC1B1所成角 设正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 4a，则 EBa，BC14 2 a.所以 tan EC1Ba4 2a 28 .即直线 C1E 与平面 ADD1A1 所成角的正切值为 28 .2选 A.如图，侧棱 PA底面 ABCD，PA 平面 PAD，
6、则平面 PAD平面 ABCD，因为底面 ABCD 为矩形，所以 CDAD，而平面 PAD平面 ABCDAD，所以 CD平面 PAD.连接 ED，则 ED 为 CE 在平面 PAD 上的射影，则CED 为 CE 与平面 PAD 所成角，设 PAABAD2a，则 AEa，ED 5 a，EC ED2CD2 5a24a2 3a.所以 sin CEDCDCE 2a3a 23.即直线 CE 与平面 PAD 所成角的正弦值为23.3连接 BC1交 B1C 于 O 点，连接 A1O.设正方体棱长为 a.易证 BC1平面 A1B1CD，所以 A1O 为 A1B 在平面 A1B1CD 上的射影，所以BA1O 为
7、A1B 与平面 A1B1CD 所成的角 在 RtA1BO 中，A1B 2 a，OB 22 a，所以 sin BA1OOBA1B 12，所以BA1O30.即 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 30.答案：30 用定义法求直线与平面所成角的关注点(1)关键：寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的射影(2)三种情况：若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为 0；若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为2；若是斜线与平面，作出斜线与平面所成的角，通过解三角形求出直线与平面夹角的大小类型二 向量法求直线与平面所成的角(数学运算、逻辑推理)【典例】如图，在正三棱柱 ABC-A1B
8、1C1 中，D 为 AC 的中点(1)证明：AB1平面 BC1D；(2)证明：BD平面 AA1C1C；(3)若 AA1AB，求直线 BC1 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值【思路导引】(1)连接 B1C，交 BC1 于 O，连接 OD，推导出 ODAB1，由此能证明 AB1平面 BC1D.(2)推导出 BDAC，BDAA1，由此能证明 BD平面 AA1C1C.(3)设 AA1AB2，以 B 为原点，在平面 ABC 中过 B 作 BC 的垂线为 x 轴，BC为 y 轴，BB1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 BC1 与平面AA1C1C 所成角的正弦值【解析】(1)连接
9、B1C，交 BC1于 O，连接 OD，因为正三棱柱 ABC A1B1C1中，D 为 AC 的中点，O 是 B1C 的中点，所以 ODAB1，因为 AB1 平面 BC1D，OD 平面 BC1D，所以 AB1平面 BC1D.(2)因为正三棱柱 ABC A1B1C1中，ABBC，又 D 是 AC 中点，所以 BDAC，又 AA1平面 ABC，BD 平面 ABC，所以 BDAA1，因为 AA1ACA，所以 BD平面 AA1C1C.(3)设 AA1AB2，以 B 为原点，在平面 ABC 中过 B 作 BC 的垂线为 x 轴，BC为 y 轴，BB1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 B(0，0，0)，C
10、1(0，2，2)，A(3，1，0)，C(0，2，0)，1C Buuur(0，2，2)，CA(3，1，0)，1CCuuur(0，0，2)，设平面 AA1C1C 的法向量 n(x，y，z)，则1CA3xy0CC2z0nnuuurguuurg，取 x1，得 n(1，3，0)，设直线 BC1 与平面 AA1C1C 所成角为，则 sin 11|C B|C B|nnuuurguuurg 2 38 4 64.所以直线 BC1 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值为 64.用向量法求直线与平面所成的角的步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量AB；(3)求平面的法向量 n；(4)计算：设直线与平面
11、所成的角为，则 sin|nAB|n|AB|.已知四棱锥 P-ABCD，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD60，PAPD，APD90，F 为 AD 中点，BPAD.(1)证明：平面 PBF平面 ABCD；(2)求 BF 与平面 PBC 所成的角【解析】(1)因为 PAPD，F 为 AD 的中点，所以 PFAD.由题意，在 ABF 中，AB2，AF1，BAF60，由余弦定理，得 BF AB2AF22ABAFcos BAF221222112 3.因为 PAPD，APD90，AD2，所以 PF1.又 BPAD2，所以 BF2PF2BP2，即 PFBF.因为 AD 平面 ABCD，BF 平面
12、 ABCD，ADBFF，所以 PF平面 ABCD，而 PF 平面 PBF，所以平面 PBF平面 ABCD；(2)连接 BD，因为四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，且BAD60，所以 ABD为等边三角形，又 F 为 AD 的中点，所以 BFAD.由(1)知，FA，FB，FP 两两互相垂直以 F 为坐标原点，分别以 FA，FB，FP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 则 F(0，0，0)，A(1，0，0)，D(1，0，0)，B(0，3，0)，P(0，0，1)，FB(0，3，0)，BC AD(2，0，0)，PB(0，3，1).设平面 PBC 的一个法向量为 n(x，y，z)，由nP
13、B 3yz0nBC2x0，取 z1，得 n0，33，1；设 BF 与平面 PBC 所成角为.则 sin|FBn|FB|n|132 3312.所以 BF 与平面 PBC 所成的角为6.类型三 直线与平面所成角的性质及应用(直观想象、逻辑推理)角度1“最小角”结论的应用【典例】已知 PA，PB，PC 是从 P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 60，则直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是_.【解析】如图，在 PC 上任取一点 D 并作 DO平面 APB，连接 PO，则DPO 就是直线 PC 与平面 PAB 所成的角所以 cos BPDcos DPOcos OPB，cos APDcos
14、 DPOcos OPA，因为BPDAPDAPB60，所以OPBOPA30，所以 cos DPOcos BPDcos OPB cos 60cos 30 1232 33，即 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值为 33.答案：33本例若改为：已知 PA，PB，PC 是从点 P 出发的三条射线，且APCBPC60，直线 PC 与平面 PAB 所成的角为 45，求射线 PA 与 PB 的夹角【解析】在 PC 上任取一点 D 并作 DO平面 APB，连接 PO，则DPO 就是直线 PC 与平面 PAB 所成的角 所以 cos BPDcos DPOcos OPB，cos APDcos DPOcos OPA
15、，因为BPDAPD60，DPO45，所以OPBOPA，所以 cos OPAcos APDcos DPO cos 60cos 45 1222 22 ，所以OPA45，所以APB2OPA90，即射线 PA 与 PB 的夹角为 90.角度2“三相等”结论及应用【典例】如图，在三棱锥 P-ABC 中，D，E，F 分别是边 AB，AC，BC 上的点，O 为点 P 在平面 ABC 上的射影若 PAPBPC，则直线 PA，PB，PC 与平面 ABC 的夹角相等；若 PAPBPC，则点 O 是ABC 的外心；若 PDPEPF，则点 O 是ABC 的内心以上判断正确的序号是_【解析】连接 OA，OB，OC，则
16、OA，OB，OC 分别是线段 PA，PB，PC 在平面 ABC 上的射影，PAO，PBO，PCO 分别是直线 PA，PB，PC 与平面 ABC 的夹角，因为PAPBPC，所以根据斜线与平面所成角的性质，有PAOPBOPCO，OAOBOC，所以 O 是ABC 的外心，正确；同理若 PDPEPF，则 ODOEOF，但是 OD，OE，OF 是否与ABC 的三边垂直无法说明，故点 O 不一定是ABC 的内心，不正确 答案：斜线与平面所成角的性质的应用策略(1)“三相等”结论常用于直接证明角或线段的相等，省去了先证明三角形全等的麻烦；(2)“最小角”结论可以用于比较线面角、线线角的大小，也可以求线面角、
17、线线角，灵活应用这个结论，有时会起到事半功倍的效果1如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC-A1B1C1 中，P 是棱 BC 上的动点记直线 A1P 与平面 ABC 所成的角为 1，与直线 BC 所成角为 2，则 1，2 的大小关系是()A12B12C12D不能确定【解析】选 C.因为 1 是直线 A1P 与平面 ABC 所成的角，而 2 是直线 A1P 与直线BC 所成的角，由最小角定理可知 12，又因为直线 BC 在平面 ABC 内且不可能与 A1P 的射影 AP 共线，所以 12.2在边长为 30 米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角
18、三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为()A30 米 B20 米 C15 2 米 D15 米【解析】选 A.如图所示，点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，PAD 是一个等腰直角三角形，APD90.OAB 为等边三角形，所以 OA30，因为 OP平面 ABCDEF，所以OAP45，所以 OPOA30.要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为 30 米 课堂检测素养达标1如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，BC1 与对角面 BB1D1D 所成的角是()AC1BB1BC1BDCC1BD1DC1BO【解析】选 D.由线面垂直的判定定理，得 C1O平面 BB1D1D，所以
19、OB 为 BC1在平面 BB1D1D 上的射影，所以C1BO 为 BC1与平面 BB1D1D 所成的角 2AB平面 于点 B，BC 为 AC 在 内的射影，CD 在 内，若ACD60，BCD45，则 AC 和平面 所成的角为()A90 B60 C45 D30【解析】选 C.设 AC 和平面所成的角为，则 cos 60cos cos 45，故 cos 22 ，所以45.3(教材练习改编)已知正四面体 ABCD，则 AB 与平面 BCD 所成角的余弦值为()A12 B23 C13 D 33【解析】选 D.取 CD 中点 E，连接 BE，过 A 作 AO平面 BCD，则交 BE 于 O，设正四面体
20、ABCD 的棱长为 2，则 BE 2212 3，BO23 BE2 33 ，因为 AO平面 BCD，所以ABO 是 AB 与平面 BCD 所成角，cos ABOBOAB 2 332 33 .所以 AB 与平面 BCD 所成角的余弦值为 33 .4若 是直线 l 与平面 所成的角，则 cos 的取值范围为_.【解析】由题意，090，所以 0cos 1.答案：0，1 5若平面 的一个法向量 n(2，1，1)，直线 l 的一个方向向量为 a(1，2，3)，则 l 与 所成角的正弦值为_【解析】cos a，n an|a|n|122131149 411 223146 216，所以l 与平面 所成角的正弦值为 216.答案：216