1、抛物线考试要求1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0|
2、PF|x0|PF|y0|PF|y01设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦(1)以弦AB为直径的圆与准线相切(2)以AF或BF为直径的圆与y轴相切(3)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦2过x22py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点.一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切()(3)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x.()(4)抛物线既是中心
3、对称图形，又是轴对称图形()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1抛物线yx2的准线方程是()Ay1 By2Cx1 Dx2Ayx2，x24y，准线方程为y1.2若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A B C D0BM到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y，设M(x，y)，则y1，y.3过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|PQ|等于()A9 B8 C7 D6B抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.根据题意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.4已知抛物线的顶点是
4、原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2，4)，则该抛物线的标准方程为 y28x或x2y设抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0)将P(2，4)代入，分别得方程为y28x或x2y. 考点一抛物线的定义及其应用 抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|x|或|PF|y|.典例1(1)(2020全国卷)已知A为抛物线C：y22px(p0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p()A2 B3 C6 D9(
5、2)设P是抛物线y24x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|PF|的最小值为 (1)C(2)4法一：因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以y18p.又点A到焦点的距离为12，所以12，所以18p122，即p236p2520，解得p42(舍去)或p6.故选C法二：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以129，解得p6.故选C(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值为4.母题变迁1若将例(2)中的B点坐标改为(3,4)，试
6、求|PB|PF|的最小值解由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部|PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，|PB|PF|BF|2，即|PB|PF|的最小值为2.2若将例(2)中的条件改为：已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1d2的最小值解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)点P到y轴的距离d1|PF|1，所以d1d2d2|PF|1.易知d2|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2|PF|的最小值为3，所以d1d2的最小值为31.点评：与抛物线有关的最值问题的转换方法(1)将抛物线上的点到准线
7、的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决1已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点且|AF|BF|3，则线段AB的中点到准线的距离为()A B C1 D3BF是抛物线y2x的焦点，F，准线方程x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可得|AF|x1，|BF|x2，|AF|BF|x1x23.解得x1x2，线段AB中点的横坐标为，线段AB的中点到准线的距离为.故选B2已知动圆P与定圆C：(x2)2y21相外切，又与定直线l：x1相切，那么
8、动圆的圆心P的轨迹方程是()Ay24x By24xCy28x Dy28xC令P点坐标为(x，y)，A(2,0)，动圆的半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，|PA|1r，dr，P在直线的右侧，故P到定直线的距离是dx1，所以|PA|d1，即(x1)1，化简得y28x.故选C 考点二抛物线的标准方程及其性质 1.求抛物线标准方程的方法(1)先定位：根据焦点或准线的位置(2)再定形：即根据条件求p.2抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算典例2(1)(2020全国卷)设O为坐
9、标原点，直线x2与抛物线C：y22px(p0)交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为()A B C(1,0) D(2,0)(2)如图所示，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|4，则抛物线的方程为()Ay28xBy24xCy22xDy2x(1)B(2)B(1)将直线方程与抛物线方程联立，可得y2，不妨设D(2,2)，E(2，2)，由ODOE，可得44p0，解得p1，所以抛物线C的方程为y22x，其焦点坐标为.故选B(2)如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|a，则由已知得|B
10、C|2a，由定义得|BD|a，故BCD30 ，则在RtACE中，2|AE|AC|，又|AF|4，|AC|43a，|AE|4，43a8，从而得a，AEFG，即，p2.抛物线的方程为y24x.故选B点评：在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此1在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y24x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的倾斜角为120，那么|PF| .4法一：抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.因为直线AF的倾斜角为120，所以AFO60.又tan 60，所以yA2.因为
11、PAl，所以yPyA2.将其代入y24x，得xP3，所以|PF|PA|3(1)4.法二：抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.因为PAl，所以|PA|PF|.又因为直线AF的倾斜角为120，所以AFO60，所以PAF60，所以PAF为等边三角形，所以|PF|AF|4.2已知抛物线x22py(p0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为 x24y由FPM为等边三角形，得|PM|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M，因为焦点F，FPM是等边三角形，所以解得因此抛物线方程为x24y. 考点三直线
12、与抛物线的位置关系 求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解典例3(1)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有 条(2)(2019全国卷)已知抛物线C：y23x的焦点为F
13、，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.若|AF|BF|4，求l的方程；若3，求|AB|.(1)3结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x0)(2)解设直线l：yxt，A，B.由题设得F，故|AF|BF|x1x2，由题设可得x1x2.由 ，可得9x212(t1)x4t20，则x1x2.从而由，得t.所以l的方程为yx.由3得y13y2.由得y22y2t0.所以y1y22.从而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2.故|AB|.点评：解答本例(2)第问的关键是从条
14、件“3”中发现变量间的关系“y13y2”，从而为方程组的消元提供明确的方向(2017全国卷)设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1，y2，x1x24，于是直线AB的斜率k1.(2)由 y，得y.设M(x3，y3)，由题设知1，解得x32，于是M(2,1)设直线AB的方程为yxm，故线段AB的中点为N(2,2m)，|MN|m1|.将yxm代入y得x24x4m0.当16(m1)0，即m1时，x1,222.从而|AB|
15、x1x2|4.由题设知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7.所以直线AB的方程为yx7.备考技法5活用抛物线焦点弦的四个结论抛物线的焦点弦问题一直是高考命题的一个热点，该问题常与弦长、三角形面积、向量、不等式等知识相融合，考查学生的转化与化归意识和灵活解题能力命题点主要体现在焦点弦的四个结论上：设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2.(2)y1y2p2.(3)|AB|x1x2p(是直线AB的倾斜角)(4)为定值(F是抛物线的焦点).过抛物线y24x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|2|BF|，则|AB|等于(
16、)A4 B C5 D6B法一：(通性通法)易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为yk(x1)由得k2x2(2k24)xk20，得xAxB1，因为|AF|2|BF|，由抛物线的定义得xA12(xB1)，即xA2xB1，由解得xA2，xB，所以|AB|AF|BF|xAxBp.法二：(巧用结论)由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BEAD于E，设|BF|m，直线l的倾斜角为，则|AB|3m，由抛物线的定义知|AD|AF|2m，|BC|BF|m，所以cos ，所以tan 2.则sin28cos2，sin2.又y24x，知2p4，故利用弦长公式|AB|.法三：(巧
17、用结论)因为|AF|2|BF|，所以1，解得|BF|，|AF|3，故|AB|AF|BF|.评析本例给出了三种解法，既有通性通法又有秒杀绝技，学习中要多总结，提升自己灵活解题的素养如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|4，则线段AB的长为()A5 B6C DC法一：(通性通法)如图，设l与x轴交于点M，过点A作ADl交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由F是AC的中点，知|AD|2|MF|2p，所以2p4，解得p2，所以抛物线的方程为y24x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1x114，所以x
18、13，可得y12，所以A(3,2)，又F(1,0)，所以直线AF的斜率k，所以直线AF的方程为y(x1)，代入抛物线方程y24x得3x210x30，所以x1x2，|AB|x1x2p.故选C法二：(巧用结论)如上解得p2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1x114，p2，所以x13，又x1x21，所以x2，所以|AB|x1x2p32.法三：(巧用结论)因为，|AF|4，p2，所以|BF|，所以|AB|AF|BF|4.设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A B C DD法一：(通性通法)由已知得焦点坐标为F，
19、因此直线AB的方程为y，即4x4y30.与抛物线方程联立，化简得4y212y90，故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|6.法二：(巧用结论)由2p3，及|AB|，得|AB|12.原点到直线AB的距离d|OF|sin 30，故SAOB|AB|d12.评析巧用结论解题避免了通性通法的繁杂计算解题中务必熟记结论，灵活应用求解结论：SAOB，其中为焦点弦AB的倾斜角(2020成都模拟)O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A B C2 D3B法一：(通性通法)由y24x可得抛物线的焦点F(1,0)，准线方程为x1，如图，过点P作准线x1
20、的垂线，垂足为M，根据抛物线的定义可知PMPF4，设P(x，y)，则x(1)4，解得x3，将x3代入y24x可得y2，所以POF的面积为|y|OF|21.故选B法二：(巧用结论)设PFx，则|PF|4，cos ，即60.设P(x，y)，则|y|PF|sin 42.SPOF|OF|y|12.故选B备考技法6“设而不求”在解析几何中的妙用“设而不求”是解析几何解题简化运算的一种重要手段，它的精彩在于通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，最大限度地减少运算；同时，“设而不求”也是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用.活用定义，转化坐标在平面直角坐
21、标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点，若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 yx设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由抛物线定义可得|AF|BF|yAyB4yAyBp，由 可得a2y22pb2ya2b20，所以yAyBp，解得ab，故该双曲线的渐近线方程为yx.评析设出点的坐标，先通过抛物线的定义，实现点的坐标与几何关系|AF|BF|4|OF|的转换，然后借助根与系数的关系建立参数a，b的等量关系，达到设而不求，从而求得双曲线的渐近线方程抛物线y24mx(m0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(m,0)，则的最
22、小值为 设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知|PF|xPm，又|PA|2(xPm)2y(xPm)24mxP，则(当且仅当xPm时取等号)，所以，所以的最小值为.妙用“点差法”，构造斜率已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则椭圆E的标准方程为()A1B1C1 D1D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，y1y22，得0，所以kAB.又kAB，所以.又9c2a2b2，解得b29，a218，所以椭圆E的方程为1.评析该题目属于中点弦问题，可设出A，B两点的坐标，通过“点差法”，巧妙地表达出直线AB的斜率，
23、通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题1抛物线E：y22x上存在两点关于直线yk(x2)对称，则k的取值范围是 (，)当k0时，显然成立当k0时，设两对称点为B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点为M(x0，y0)，由y2x1，y2x2，两式相减得(y1y2)(y1y2)2(x1x2)，则直线BC的斜率kBC，由对称性知kBC，点M在直线yk(x2)上，所以y0k，y0k(x02)，所以x01.由点M在抛物线内，得y2x0，即(k)22，所以k，且k0.综上，k的取值范围为(，)2已知双曲线x21，过点P(1,1)能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且
24、点P是线段AB的中点？解假设存在直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1x2，由 两式相减得(x1x2)(x1x2)0，又1，1，所以2(x1x2)(y1y2)0，所以kAB2，故直线l的方程为y12(x1)，即y2x1.由 消去y得2x24x30，因为162480，方程无解，故不存在一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点巧引参数，整体代入已知椭圆y21的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N两点(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？
25、若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由解(1)直线AM的斜率为1时，直线AM的方程为yx2，代入椭圆方程并化简得5x216x120.解得x12，x2，所以M.(2)设直线AM的斜率为k，直线AM的方程为yk(x2)，联立方程化简得(14k2)x216k2x16k240.则xAxM，xMxA2.同理，可得xN.由(1)知若存在定点，则此点必为P.证明如下：因为kMP，同理可计算得kPN.所以直线MN过x轴上的一定点P.评析第(2)问先设出AM的方程为yk(x2)，联立方程，利用根与系数的关系求出xM，在此基础上借助kAMkAN1，整体代入求出xN.已知F为抛物线C：y22x的
26、焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，求|AB|DE|的最小值解法一：由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，设l1：xty，则直线l1的斜率为，联立方程得 消去x得y22ty10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22t，y1y21.所以|AB|y1y2|2t22，同理得，用替换t可得|DE|2，所以|AB|DE|24448，当且仅当t2，即t1时等号成立，故|AB|DE|的最小值为8.法二：由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，不妨设l1的斜率为k，则l1：yk，l2：y.由消去y得k2x2(k22)x0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21.由抛物线的定义知，|AB|x1x21112.同理可得，用替换|AB|中k，可得|DE|22k2，所以|AB|DE|222k242k2448，当且仅当2k2，即k1时等号成立，故|AB|DE|的最小值为8.
