1、第4讲 函数与方程知识梳理一、函数的零点方程的实数根又叫做函数的零点。方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点；如果函数在区间上的图像是连续不断的，且有，则函数在区间上有零点。二、二分法1如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，且，通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。2给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，验证，给定精度；（2）求区间的中点；（3）计算：若，则就是函数的零点；若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）（4）判断是否达到精度；即若，则得到零点值（或）；否则重复步骤（2）-（4）重
2、、难点突破重点：函数零点的概念，掌握用二分法求函数零点的近似值难点：用二分法求函数的零点近似值重难点：1函数零点的理解函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数的零点的个数，亦即函数的图像与x轴交点的个数变号零点与不变号零点若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点若函数在区间上的图象是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。用二分法求曲线交点的坐标要注意两个问题（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根（2）求曲线和的交点的
3、横坐标，实际上就是求函数的零点，即求方程的根3关于用二分法求函数的零点近似值的步骤须注意的问题：（1）第一步中要使：区间长度尽量小；的值比较容易计算且；（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程根是等价的。对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即方程的根。热点考点题型探析考点1 零点的求法及零点的个数题型1：求函数的零点.例1 求函数的零点.解题思路求函数的零点就是求方程的根解析令 ，即函数的零点为-1，1，2。名师指引 函数的零点不是点，而是函数函数的图像与x轴交点的横坐标，即零点是一个实数。题型2：确定函数零点的个数.例2 求函数f(x)=lnx2x 6的零点个数.
4、解题思路求函数f(x)=lnx2x 6的零点个数就是求方程lnx2x 6=0的解的个数解析方法一：易证f(x)= lnx2x 6在定义域上连续单调递增，又有，所以函数f(x)= lnx2x 6只有一个零点。方法二：求函数f(x)=lnx2x 6的零点个数即是求方程lnx2x 6=0的解的个数即求的交点的个数。画图可知只有一个。名师指引求函数的零点是高考的热点，有两种常用方法：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围例3 (2007广东)已知a是实数,函数,如果函数在区间上有零点
5、，求a的取值范围。解题思路要求参数a的取值范围，就要从函数在区间上有零点寻找关于参数a的不等式（组），但由于涉及到a作为的系数，故要对a进行讨论 解析 若 , ,显然在上没有零点, 所以 . 令 , 解得 当 时, 恰有一个零点在上; 当，即时，在上也恰有一个零点. 当在上有两个零点时, 则 或解得或综上所求实数的取值范围是 或 .名师指引二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.二次函数f（x）=ax2+bx+c的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据. 新题
6、导练1（09年浙江五校联考）函数有且仅有一个正实数的零点，则实数的取值范围是（ ）A；B；C；D解析 B；依题意得（1）或（2）或（3）显然（1）无解；解（2）得；解（3）得又当时，它显然有一个正实数的零点，所以应选B2（中山市09届统测）方程的实数解的个数为 _ 解析 2；在同一个坐标系中作函数及的图象，发现它们有两个交点故方程的实数解的个数为2考点2 用二分法求方程的近似解例4（斗门一中09届模拟）利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：0.20.61.01.41.82.22.63.03.41.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.5560.040
7、.361.01.963.244.846.769.011.56那么方程的一个根位于下列区间的（ ）. A.（0.6，1.0）；B.（1.4，1.8）；C.（1.8，2.2）；D. （2.6，3.0）解题思路判断函数在各个区间两端点的符号解析由，故排除A；由，故排除B；由，故可确定方程的一个根位于下列区间（1.8，2.2），所以选择C名师指引用二分法求方程的近似解的关键是先寻找使得函数在两端点异号的某区间，然后依次取其中点，判断函数在中点的符号，接着取两端函数值异号的区间作为新的区间，依次进行下去，就可以找到符合条件的近似解。新题导练 3用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点 ，
8、第二次应计算 ，这时可判断 解析 ，；由二分法知，这时，故考点3 根的分布问题例4 已知函数f（x）=mx2+（m3）x+1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围解题思路由于二次函数的图象可能与x轴有两个不同的交点，应分情况讨论解析（1）若m=0，则f（x）=3x+1，显然满足要求.（2）若m0，有两种情况：原点的两侧各有一个，则m0； 都在原点右侧，则解得0m1，综上可得m（，1.名师指引二次方程根的分布是高考的重点和热点，需要熟练掌握有关二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布有关的结论：方程f（x）=0的两根中一根比r大，另一根比r小af（r）0.二次方程f（
9、x）=0的两根都大于r二次方程f（x）=0在区间（p，q）内有两根二次方程f（x）=0在区间（p，q）内只有一根f（p）f（q）0，或f（p）=0，另一根在（p，q）内或f（q）=0，另一根在（p，q）内.方程f（x）=0的两根中一根大于p，另一根小于q（pq）新题导练3已知二次函数f(x)=4x22(p2)x2p2p+1,若在区间1，1内至少存在一个实数c,使f(c)0,则实数p的取值范围是_. 解析 (3，） 只需f(1)=2p23p+90或f(1)=2p2+p+10即3p或p1.p(3, ).4若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求实数k
10、的取值范围.解析 ；令，则依题意得，即，解得5.(2007韶关)若关于x的方程4x+2x a+a+1=0有实数根，求实数a的取值范围.解析令t=2x，t0关于x的方程4x+2x a+a+1=0有实数根等价于方程t2+at+a+1=0(t0)有正实数根,令f(t)= t2+at+a+1，且故方程t2+at+a+1=0(t0)有正实数根等价于（1）方程有一个正根一个负根：由f(0)0,得a0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中： (1) 方程fg(x)=0有且仅有三个解； (2) 方程gf(x)=0有且仅有三个解； (3) 方程ff(x)=0有且仅有九个解； (4)
11、方程gg(x)=0有且仅有一个解。-aaxyy=g(x)Oa-a-aaxyy=f(x)Oa-a那么，其中正确命题的个数是（ )A 1;B. 2;C. 3;D. 4解析 B；由图可知，由左图及fg(x)=0得，由右知方程fg(x)=0有且仅有三个解，即(1)正确；由右图及gf(x)=0得，由左图知方程gf(x)=0有且仅有一个解，故(2)错误；由左图及ff(x)=0得，又由左图得到方程ff(x)=0最多有三个解，故(3)错误；由右图及gg(x)=0得，由右图知方程gg(x)=0有且仅有一个解，即(4)正确，所以应选择B8（2008惠州调研）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）. A1.2; B1.3;C1.4 ; D1.59已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根,其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.解析(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，画出示意图，得.(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组 (这里0m1是因为对称轴x=m应在区间(0，1)内通过)
