1、第4课时 万有引力定律及其应用考点一万有引力定律在天体运行中的应用1解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 GMmr2 ma 向mv2r m2rm4 2rT2.(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即GMmR2 mg(g 表示天体表面的重力加速度)在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度 g时，常运用 GMgR2 作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来由于这种代换的作用很大，此式通常称为黄金代换公式利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度在行星表面重力加速度有 GMmR2 mg，所以 gGMR2.在离地面高
2、为 h 的轨道处重力加速度有 GMm（Rh）2mgh，所以 ghGM（Rh）2.2天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R.由于 GMmR2 mg，故天体质量 MgR2G，天体密度MVM43 R33g4 GR.(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T 和轨道半径 r.由万有引力等于向心力，即 GMmr2 m4 2T2 r，得出中心天体质量 M4 2r3GT2.若已知天体半径 R，则天体的平均密度：MVM43 R33 r3GT2R3.若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 3GT2.可见，只要测出卫星环绕天
3、体表面运动的周期 T，就可估算出中心天体的密度【例1】(多选)(2017石家庄模拟)如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为，下列说法正确的是()A轨道半径越大，周期越长B轨道半径越大，速度越大C若测得周期和张角，可得到星球的平均密度D若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度解析：设星球质量为 M，半径为 R，飞行器绕星球转动半径为 r，周期为 T.由 GMmr2 m42T2 r 知 T2r3GM，r 越大，T 越大，选项 A 正确；由 GMmr2 m v2r 知 vGMr，r 越大，v 越小，选项 B 错误；由 GMmr2 m 42T2 r 和 M43R3得 3r3
4、GT2R3，又Rrsin2，所以 3GT2 sin32，所以选项 C 正确，D 错误 答案：AC1(2016西安模拟)若在某行星和地球上相对于各自水平地面附近相同的高度处以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为 2 7.已知该行星质量约为地球的 7 倍，地球的半径为R，由此可知，该行星的半径为()A.12R B.72RC2R D.72 R解析：平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，即 xv0t，在竖直方向上做自由落体运动，即 h12gt2，所以 xv02hg，两种情况下，抛出的速度相同，高度相同，所以g行g地74，根据公式 GMmR2 mg可得 gGMR2，故g行g地M行R2行M地
5、R2地74，解得 R 行2R，故 C 正确 答案：C考点二人造卫星、宇宙飞船的运行和变轨问题1圆轨道上稳定运行：GMmr2 mv2r mr2T2.2变轨运行分析：当卫星由于某种原因速度 v 突然改变时，受到的万有引力 G Mmr 2 和向心力 m v2r 不再相等，卫星将偏离原轨道运行当 GMmr2 m v2r 时，卫星做近心运动，其半径 r 变小，由于万有引力做正功，因而速度越来越大；反之，当 GMmr2 m v2r 时，卫星做离心运动，其轨道半径 r 变大，由于万有引力做负功，因而速度越来越小【例2】(2017泰安模拟)如图所示，“嫦娥三号”探测器发射到月球上要经过多次变轨，最终降落到月球
6、表面上，其中轨道为圆形下列说法正确的是()A探测器在轨道运行时的加速度大于月球表面的重力加速度B探测器在轨道经过P点时的加速度小于在轨道经过P点时的加速度C探测器在轨道的运行周期大于在轨道的运行周期D探测器在P点由轨道进入轨道必须点火加速解析：由GMmr2ma，GMmR2 mg，得 aGMr2，GMR2 g.由题意可知探测器在轨道 I 运行时的半径大于在月球表面时的半径，所以探测器在轨道 I 运行时的加速度小于月球表面的重力加速度，故 A 错误；在 P 点探测器产生的加速度都是由万有引力产生的，因为同在 P点万有引力大小相等，故不管在哪个轨道上运动，在 P 点时万有引力产生的加速度大小相等，故
7、 B 错误；开普勒的周期定律同样适用于月球体系，轨道半径的半长轴越长，周期越大，故 C 正确；卫星在轨道上的 P 点处减速，使万有引力大于向心力做近心运动，才能进入轨道，故 D 错误 答案：C规 律 总 结航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断，稳定在新轨道上的运行速度变化由判断(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大(3)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速率大于内轨道的速率2(多选)(2016 青岛模拟)我国发射的首个目标飞行器“天宫一号”，在高度约343 km的近圆轨道上运行，等待与“神
8、舟十号”飞船进行对接“神舟十号”飞船发射后经变轨调整后到达距“天宫一号”后下方距地高度约为330 km的近圆稳定轨道图中为二者对接前在各自稳定圆周轨道上运行的示意图二者运行方向相同，视为做匀速圆周运动，下列说法中正确的是()A为使“神舟十号”与“天宫一号”对接，可在当前轨道位置对“神舟十号”适当加速B“天宫一号”所在处的重力加速度比“神舟十号”大C“天宫一号”在发射入轨后的椭圆轨道运行阶段，近地点的速度大于远地点的速度D在“天宫一号”内，太空健身器、体重计、温度计都可以正常使用解析：“神舟十号”适当加速后做离心运动可与“天宫一号”对接，故选项 A 正确；由 GMm（rh）2ma 知 a 天OB，则()A星球A的质量一定大于星球B的质量B星球A的线速度一定大于星球B的线速度C双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大D双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大解析：设双星质量分别为 mA、mB，轨道半径分别为 RA、RB，两者间距为 L，周期为 T，角速度为，由万有引力定律可知GmAmBL2mA2RA，GmAmBL2mB2RB，RARBL.由式可得mAmBRBRA，而 AOOB，故 A 错误 vARA，vBRB，B 正确 联立得 G(mAmB)2L3，又因为 T2，故 T2L3G（mAmB），可知 C 错误，D 正确 答案：BD
