1、13.2 基本图形位置关系 13.2.3 直线与平面的位置关系 第2课时 直线与平面垂直 第13章 立体几何初步 学 习 任 务核 心 素 养 1能正确判断直线与平面垂直的位置关系(重点)2了解点到平面的距离和直线与平面间的距离(难点)3理解直线与平面垂直的判定定理和性质定理(重点、难点)4了解直线与平面垂直的概念及直线与平面所成角的概念(重点)1借助直线与平面垂直、直线与平面所成的角以及点到平面的距离的定义，培养数学抽象素养 2通过直线与平面垂直的判定定理和性质定理的应用，培养逻辑推理素养 情境导学探新知 NO.1知识点1知识点2知识点3知识点4 学校操场上的旗杆与地面是怎样的位置关系？教室
2、的两墙面的交线与地面是怎样的位置关系？如何判断一条直线和一个平面垂直？如何刻画一条平面的斜线与平面所成的空间角？知识点 1 直线与平面垂直的定义 如果直线 a 与平面 内的_直线都垂直，那么称直线 a与平面 垂直，记作_直线 a 叫作平面 的垂线，平面 叫作直线 a 的垂面，垂线和平面的交点称为垂足 任意一条a图形表示：1下列命题中，所有正确命题的序号是_ 若直线 l 与平面 内的一条直线垂直，则 l；若直线 l 不垂直于平面，则 内没有与 l 垂直的直线；若直线 l 不垂直于平面，则 内也可以有无数条直线与 l 垂直；过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条 当 l 与 内的一条直线垂直时，不
3、能保证 l 与平面 垂直，所以不正确；当 l 与 不垂直时，l 可能与 内的无数条平行直线垂直，所以不正确，正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以正确 知识点 2 直线与平面垂直的判定定理 文字语言图形语言符号语言 如果一条直线与一个平面内的_垂直，那么该直线与此平面垂直amanmnAmna 两条相交直线2给出下列条件(其中 l 为直线，为平面)：l 垂直于 内的一五边形的两条边；l 垂直于 内三条不都平行的直线；l 垂直于 内无数条直线；l 垂直于 内正六边形的三条边 其中能够推出 l 的所有条件的序号是_ 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直都有可
4、能垂直的是平行直线，不能推出l故选 知识点 3 直线与平面垂直的性质定理 文字语言图形语言符号语言 垂直于_的两条直线平行ab _ 同一个平面ab3已知直线 l平面，直线 m，则()AlmBlm Cl，m 异面Dl，m 相交而不垂直 A 根据线面垂直的定义，无论 l 与 m 是异面，还是相交，都有lm，故选 A 知识点 4 距离及直线与平面所成的角(1)距离 点到平面的距离 从平面外一点引平面的垂线，这个点和_间的距离，叫作这个点到这个平面的距离 直线和平面的距离 一条直线和一个平面平行，这条直线上_到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离 垂足任意一点(2)直线与平面所成的角 一条直线
5、与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫作斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段 平面的_与它在这个_所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角 特别地，如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是_；如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是_角 一条斜线平面内的射影直角04在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，已知 AB1，则点 C 到平面 B1BDD1 的距离为_，AB 到平面 A1B1CD 的距离为_22 22 连接 AC，BD，则 ACBD，又 BB1AC，故 AC平面 B1BDD1，所以点 C 到平面 B1BD
6、D1 的距离为12AC 22，AB 到平面A1B1CD 距离等于 A 到该平面的距离，等于 22 5如图所示，三棱锥 P-ABC 中，PA平面 ABC，PAAB，则直线 PB 与平面 ABC 所成的角等于_ 45 PA平面 ABC，PBA 即为直线 PB 与平面 ABC 所成的角，在 RtPAB 中，PAAB，PBA45合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 线面垂直的定义及判定定理的应用【例 1】(对接教材 P174T9)如图所示，已知 PA 垂直于O 所在的平面，AB 是O 的直径，C 是O 上任意一点，过点 A 作 AEPC于点 E，求证：AE平面 PBC证明 PA平面
7、 ABC，PABC 又AB 是O 的直径，BCAC而 PAACA，BC平面 PAC 又AE平面 PAC，BCAE PCAE，且 PCBCC，AE平面 PBC 1用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法 2线线垂直与线面垂直的转化关系 跟进训练 1如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 AB，BC的中点，O 是底面 ABCD 的中心，求证：EF平面 BB1O 证明 E，F 分别是棱 AB，BC 的中点，EF 是ABC 的中位线，EFAC ABCD 为正方形，ACBO，E
8、FBO 又BB1平面 ABCD，EF平面 ABCD，EFBB1 又 BOBB1B，EF平面 BB1O 类型 2 线面垂直性质定理的应用【例 2】如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E，F 分别在A1D，AC 上，且 EFA1D，EFAC求证：EFBD1 证明 如图所示，连接 AB1，B1C，BD，B1D1，DD1平面 ABCD，AC平面 ABCD，DD1AC 又 ACBD，BDDD1D，AC平面 BDD1B1，又 BD1平面 BDD1B1，ACBD1 同理可证 BD1B1C，BD1平面 AB1C EFAC，EFA1D，又 A1DB1C，EFB1C 又 B1CACC，EF平面 A
9、B1C，EFBD1 空间中证明两条直线平行的方法(1)利用线线平行定义证两线无公共点；(2)若 ab，bc，则 ac(基本事实 4)；(3)利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行；(4)若 a，b，则 ab(线面垂直的性质定理)跟进训练 2如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 是 AB 上一点，N 是A1C 的中点，MN平面 A1DC 求证：MNAD1 证明 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，四边形 ADD1A1 为正方形，A1DAD1 又CD平面 ADD1A1，AD1平面 ADD1A1，CDAD1 A1DCDD，A1D平面 A1DC，CD平面 A1DC，AD
10、1平面 A1DC 又MN平面 A1DC，MNAD1 类型 3 距离问题及直线与平面所成角的求法【例 3】如图所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ACBC，ACBCCC1，M，N 分别是 A1B，B1C1 的中点(1)求证：MN平面 A1BC；(2)求直线 BC1 与平面 A1BC 所成的角的大小 1连接 AB1，AC1，以三角形中位线为切入点，思考 MN 与 AC1的关系，进而证明 MN平面 A1BC；2结合 AC1 与平面 A1BC 的关系，思考直线 BC1 与平面 A1BC 所成的角，并求解.解(1)证明：如图所示，由已知 BCAC，BCCC1，ACCC1C，得 BC平面 ACC1
11、A1连接 AC1，则 BCAC1 由已知可知侧面 ACC1A1 是正方形，所以A1CAC1 又 BCA1CC，所以 AC1平面 A1BC 因为侧面 ABB1A1 是矩形，M 是 A1B 的中点，连接 AB1，则点 M是 AB1 的中点 又点 N 是 B1C1 的中点，则 MN 是AB1C1 的中位线，所以 MNAC1故 MN平面 A1BC(2)因为 AC1平面 A1BC，设 AC1 与 A1C 相交于点 D，连接 BD，则C1BD 为直线 BC1 与平面 A1BC 所成的角 设 ACBCCC1a，则 C1D 22 a，BC1 2a 在 RtBDC1 中，sinC1BDC1DBC112，所以C1
12、BD30，故直线 BC1 与平面 A1BC 所成的角为 30 求直线与平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结到某个三角形中，通过解三角形，求出该角 跟进训练 3如图，正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为 1，侧棱长为2，E，F 分别为 CC1，DD1 的中点(1)求证：A1F平面 BEF；(2)求直线 A1B 与平面 BEF 所成角的正弦值 解(1)证明：连接 AF E，F 分别为 CC1，DD1 的中点，EFAB 且 EFAB，四边形 ABEF 为平行四边形
13、又在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AB平面 AA1D1D，A1F平面 AA1D1D，ABA1F，EFA1F 由已知，得 AF 2，A1F 2，AA12，A1F2AF2AA21，AFA1F 又 AFEFF，A1F平面 ABEF，即 A1F平面 BEF(2)A1F平面 BEF A1B 在平面 BEF 上的射影为 BF，A1BF 为直线 A1B 与平面 BEF 所成的角 由已知，得 A1F 2，A1B 5，sinA1BF 105，即 A1B 与平面 BEF 所成角的正弦值为 105 当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1下列条件中，能判定直线 l平面 的是()Al 与平面 内的两
14、条直线垂直 Bl 与平面 内的无数条直线垂直 Cl 与平面 内的某一条直线垂直 Dl 与平面 内的任意一条直线垂直 D 由直线与平面垂直的定义及判定定理知 D 正确 1 2 3 4 5 2已知 a，b 是平面 内的两条直线，l 是空间中的一条直线则“直线 la 且 lb”是“l”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 B“l，a，b”“la，lb”；反之不一定成立，例如 ab 时，l 不一定垂直平面 所以“直线 la 且 lb”是“l”的必要不充分条件故选 B 1 2 3 4 5 3(多选题)一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中
15、，有下列四个命题，其中正确的是()AAFGC BBD 与 GC 成异面直线且夹角为 60 CBDMN DBG 与平面 ABCD 所成的角为 45 1 2 3 4 5 AB 将平面展开图还原成正方体(如图所示)对于 A，由图形知 AF 与 GC 异面垂直，故 A 正确；1 2 3 4 5 对于 B，BD 与 GC 显然成异面直线如图，连接 EB，ED，则BEGC，所以EBD 即为异面直线 BD 与 GC 所成的角(或其补角)在等边BDE 中，EBD60，所以异面直线 BD 与 GC 所成的角为 60，故 B 正确；对于 C，BD 与 MN 为异面垂直，故 C 错误；1 2 3 4 5 对于 D，
16、由题意得，GD平面 ABCD，所以GBD 是 BG 与平面 ABCD 所成的角但在 RtBDG 中，GBD 不等于 45，故 D 错误综上可得 AB 正确 1 2 3 4 5 4已知平面 外两点 A，B 到平面 的距离分别是 2 和 4，则 A，B 的中点 P 到平面 的距离是_ 1 或 3 A，B 在 同一侧时，P 到 的距离为 3；A，B 在 异侧时，P 到 的距离为 1 5 1 2 3 4 5如图所示，三棱锥 P-ABC 中，PA平面 ABC，PAAB，则直线 PB 与平面 ABC 所成角的度数为_；点 Q 在 PB 的延长线上，则直线 QB 与平面 ABC 所成角的度数为_ 5 1 2
17、 3 4 45 45 因为 PA平面 ABC，所以斜线 PB 在平面 ABC 上的射影为 AB，所以PBA 即为直线 PB 与平面 ABC 所成的角在PAB中，BAP90，PAAB，所以PBA45，即直线 PB 与平面 ABC所成的角等于 45；直线 QB 与直线 PB 共线，所以直线 QB 与平面ABC 所成的角等于 45 回顾本节知识，自我完成以下问题：1判定直线 l 与平面 垂直的方式有哪些？提示 若 al，且 a，则 l；若 lalbabOabl 2求直线与平面所成角的步骤是什么？提示 三步：“一作”“二证”“三求解”3如何求直线到平面的距离？提示 若直线与平面平行，则可以转化为直线上任一点到平面的距离 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
