1、3数列时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(文)(2015北京西城区二模)数列an为等差数列，满足a2a4a2010，则数列an前21项的和等于()A.B21C42D84答案B解析由a2a4a2010a1110得a111，所以等差数列an的前21项和S2121a1121，故选B(理)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S10(12x)dx，S2017，则S30为()A15B20C25D30答案A解析S10(12x)dx(xx2)|12.又S10，S20S10，S30S20成等差数列即2(S20
2、S10)S10(S30S20)，S3015.2(文)(2015北京东城练习)已知an为各项都是正数的等比数列，若a4a84，则a5a6a7()A4B8C16D64答案B解析由题意得a4a8a4，又因为数列an为正项等比数列，所以a62，则a5a6a7a8，故选B(理)(2014河北衡水中学二调)已知等比数列an的前n项和为Sn，若S2n4(a1a3a5a2n1), a1a2a327，则a6()A27 B81 C 243D729答案C解析a1a2a3a27，a23，S2n4(a1a3a5a2n1)，S24a1，a1a24a1，a23a13，a11，q3，a6a1q535243.3(2015杭州第
3、二次质检)设等比数列an的各项均为正数，若，则a1a5()A24B8C8D16答案C解析利用等比数列的通项公式求解设此正项等比数列的公比为q，q0，则由得，a1a24，同理由得a3a416，则q44，q，a1a2a4，a2，所以a1a5aq48，故选C.4(文)(2015青岛市质检)“nN*,2an1anan2”是“数列an为等差数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析本题考查等差数列的定义以及充要条件的判断，难度较小由2an1anan2，可得an1anan2an1，由n的任意性可知，数列从第二项起每一项与前一项的差是固定的常数，即数列an为等差数
4、列，反之，若数列an为等差数列，易得2an1anan2，故“nN*,2an1anan2”是“数列an为等差数列”的充要条件，故选C.(理)“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2xz”成立的()A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析“lgx，lgy，lgz成等差数列”2lgylgxlgzy2xz，但y2xz/ 2lgylgxlgz，选A.5(文)(2015福州质检)在等差数列an中，若a21，a82a6a4，则a5的值为()A5BCD答案B解析本题考查等差数列的通项公式，难度中等设等差数列an的公差为d，因为a82a6a4，故a26d2a28da22d，
5、解得d，故a5a23d1，故选B(理)已知正数组成的等差数列an，前20项和为100，则a7a14的最大值是()A25B50C100D不存在答案A解析S2020100，a1a2010.a1a20a7a14，a7a1410.an0，a7a14()225.当且仅当a7a14时取等号6(文)在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限内的两个点，若1，x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则OP1P2的面积是()A1B2C3D4答案A解析由等差、等比数列的性质，可求得x12，x23，y12，y24，P1(2,2)，P2(3,4)，SOP1
6、P21.(理)(2015长沙市一模)等比数列an中，a42，a55，则数列lgan的前8项和等于()A6B5C4D3答案C解析设等比数列an的公比为q，则q，ana4qn42()n4，则lganlg2(n4)lg，数列lgan成等差数列，所以前8项和等于4(lg23lglg24lg)4，故选C.7(2015河南商丘市二模)在递增的等比数列an中，已知a1an34，a3an264，且前n项和为Sn42，则n()A6B5C4D3答案D解析由已知得a1a1qn134，aqn164，a134，解得：a132或a12，当a132时，qn1b，则双曲线1的离心率e等于()A.BCD答案D解析由已知可得ab
7、5，ab6，解得或(舍去)则c，故e.(理)ABC的三边分别为a、b、c，若b既是a、c的等差中项，又是a、c的等比中项，则ABC是()A等腰直角三角形B等腰三角形C等边三角形D直角三角形答案C解析b是a、c的等差中项，b.又b是a、c的等比中项，b，()2ac，(ac)20，ac，ba，故ABC是等边三角形9(2015天津十二区县联考)数列an满足a11，且对于任意的nN*都有an1a1ann，则等于()A.B C.D答案C解析本题考查数列的递推公式、裂项法求和，难度中等依题意an1ann1，故an1ann1，由累加法可得ana1，an，故2()，故2(1)，故选C.10(文)已知数列an，
8、若点(n，an)(nN*)在经过点(5,3)的定直线l上，则数列an的前9项和S9()A9B10C18D27答案D解析由条件知a53，S99a527.(理)(2015郑州市质检)已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线y21的离心率为()A.BC.或D或答案C解析由题意知m236，m6，当m6时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a，b1，c，e；当m6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a1，b，c，e，故选C.11(文)(2015重庆市调研)已知等差数列an的前n项和为Sn，若a27，a6a86，则Sn取最大值时，n的值为()A3B4 C5D6答案C解析a7(a6a8)3，公差d2，ana22(n2
9、)112n，因此在等差数列an中，前5项均为正，从第6项起以后各项均为负，当Sn取最大值时，n的值为5，故选C.(理)等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则“d|a1|”是“Sn的最小值为S1，且Sn无最大值”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析依题意，当d|a1|时，数列an是递增的数列，无论a1的取值如何，Sn的最小值为S1，且Sn无最大值；反过来，当Sn的最小值为S1，且Sn无最大值时，如当a11，d时，此时Sn的最小值为S1，且Sn无最大值，但不满足d|a1|.综上所述，“d|a1|”是“Sn的最小值为S1，且Sn无最大值”的
10、充分不必要条件12(文)已知数列an的各项均为正数，执行程序框图(如下图)，当k4时，输出S，则a2014()A2012B2013C2014D2015答案D解析由程序框图可知，an是公差为1的等差数列，且，解得a12，a2014a12013d220132015.(理)已知曲线C：y(x0)上两点A1(x1，y1)和A2(x2，y2)，其中x2x1.过A1、A2的直线l与x轴交于点A3(x3,0)，那么()Ax1，x2成等差数列Bx1，x2成等比数列Cx1，x3，x2成等差数列Dx1，x3，x2成等比数列答案A解析直线A1A2的斜率k，所以直线A1A2的方程为y(xx1)，令y0解得xx1x2，
11、x3x1x2，故x1，x2成等差数列，故选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13(2015海口市调研)在数列an中，已知a11，an1ansin，记Sn为数列an的前n项和，则S2014_.答案1008解析由an1ansinan1ansin，a2a1sin101，a3a2sin1(1)0，a4a3sin2000，a5a4sin011，a5a1，如此继续可得an4an(nN*)，数列an是一个以4为周期的周期数列，而201445032，因此S2014503(a1a2a3a4)a1a2503(1100)111008.14(文)定义运算adbc，函数f
12、(x)图象的顶点坐标是(m，n)，且k，m，n，r成等差数列，则kr的值为_答案9解析f(x)(x1)(x3)2xx24x3(x2)27的顶点坐标为(2，7)，m2，n7，krmn9.(理)已知数列an的通项为an7n2，数列bn的通项为bnn2.若将数列an、bn中相同的项按从小到大顺序排列后记作数列cn，则c9的值是_答案961解析设数列an中的第n项是数列bn中的第m项，则m27n2，m、nN*.令m7ki，i0,1,2，6，kZ，则i2除以7的余数是2，则i3或4，所以数列cn中的项依次是bn中的第3,4,10,11,17,18,24,25,31,32，故c9b31312961.15(
13、2014辽宁省协作校联考)若数列an与bn满足bn1anbnan1(1)n1，bn，nN，且a12，设数列an的前n项和为Sn，则S63_.答案560解析bn，又a12，a21，a34，a42，a56，a63，S63a1a2a3a63(a1a3a5a63)(a2a4a6a62)(24664)(12331)1056496560.16(2014山西大学附中月考)已知无穷数列an具有如下性质：a1为正整数；对于任意的正整数n，当an为偶数时，an1；当an为奇数时，an1.在数列an中，若当nk时，an1，当1n1(k2，kN*)，则首项a1可取数值的个数为_(用k表示)答案2k2解析当nk时，an
14、1，ak1，当n1矛盾，ak，ak12，同理可得ak23或4，ak35,6,7或8，倒推下去，k(k2)2，倒推(k2)步可求得a1，a1有2k2个可能取值三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)(文)(2015江苏宿迁摸底)已知数列an的各项均为正数，其前n项和Sn(an1)(an2)，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(1)nanan1，求数列bn的前2n项的和T2n.解析(1)当n1时，S1(a11)(a12)a1，解得a11或a12，因为a10，所以a12.当n2时，Sn(an1)(an2)，Sn1(an11)
15、(an12)，两式相减得(anan1)(anan11)0，又因为an0，所以anan10，所以anan11，所以an是首项为2，公差为1的等差数列，所以ann1.(2)T2na1a2a2a3a3a4a4a5a5a6a2n2a2n1a2n1a2na2na2n12(a2a4a2n)，又a2，a4，a2n是首项为3，公差为2的等差数列，所以a2a4a2nn22n，故T2n2n24n.易错分析本题有两个易错点：一是数列an的通项公式求解错误或者不认真审题导致求解过程出现增根；二是在数列求和时，不能够合理地分类与整合(理)(2014临沂三校联考)已知等比数列an的公比q1,4是a1和a4的一个等比中项，
16、a2和a3的等差中项为6，若数列bn满足bnlog2an(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Sn.解析(1)因为4是a1和a4的一个等比中项，所以a1a4(4)232.由题意可得因为q1，所以a3a2.解得所以q2.故数列an的通项公式an2n.(2)由于bnlog2an(nN*)，所以anbnn2n，Sn12222323(n1)2n1n2n，2Sn122223(n1)2nn2n1.得，Sn1222232nn2n1n2n1.所以Sn22n1n2n1.18(本题满分12分)(文)已知数列an的首项为1，对任意的nN*，定义bnan1an.(1)若bnn1，求a3的
17、值和数列an的通项公式；求数列的前n项和Sn；(2)若bn1bn2bn(nN*)，且b12，b23，求数列bn的前3n项的和解析(1)a11，a2a1b1123，a3a2b2336当n2时，由an1ann1得ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)a1b1b2bn1而a11适合上式，所以an(nN*)由得：2()，Sn2(1)2()2()2()2(1).(2)因为对任意的nN*有bn6bn，所以数列bn为周期数列，周期为6.又数列bn的前6项分别为2,3，且这六个数的和为8.设数列bn的前n项和为Sn，则当n2k(kN*)时，S3nS6kk(b1b2b3b4b5b6)8k，当n2k1(k
18、N*)时，S3nS6k3k(b1b2b3b4b5b6)b6k1b6k2b6k38kb1b2b38k，当n1时，S3所以，当n为偶数时，S3n4n；当n为奇数时，S3n4n.(理)(2015郑州市质检)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an2.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog2a1log2a2log2an，求使(n8)bnnk对任意nN*恒成立的实数k的取值范围解析(1)由Sn2an2可得a12，因为Sn2an2，所以，当n2时，anSnSn12an2an1, 即：2.数列an是以a12为首项，公比为2的等比数列， 所以，an2n(nN*)(2)bnlog2a1log2a2lo
19、g2an123n.(n8)bnnk对任意nN*恒成立，等价于k对nN*恒成立；设cn(n8)(n1)，则当n3或4时，cn取得最小值为10，所以k10.19(本题满分12分)(文)(2015河北衡水中学三调)已知数列an满足a1，0，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn1，数列bn的前n项和为Sn，证明Sn.解析(1)由已知0，nN*.即0,10.即1(常数)数列是以2为首项，以1为公差的等差数列可得2(n1)(1)(n1)，an(2)由(1)可得an.bn11Snb1b2bn3且mN)，数列an的前n项和为Sn，求证：Sn2m13；(3)若an为正整数，求证：当n1log2a1(
20、nN)时，都有an0.解析(1)设a12k，则a2k，由条件知2ka32k，a30.分两种情况讨论：若k是奇数，则a30，k1，a12，a21，a30，若k是偶数，则a30，k0，a10，a20，a30，a1的值为2或0.(2)当m3时，a12m3，a22m11，a32m2，a42m3，a52m4，am2，am11，am2an0，SnSm1122m42m13.(3)n1log2a1，n1log2a1，2n1a1，由定义可知：an1，an1，.ana1a1，an1log2a1(nN)时，都有an0.20(本题满分12分)(文)(2014江西八校联考)已知数列an的首项a14，前n项和为Sn，且S
21、n13Sn2n40(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设函数f(x)anxan1x2an2x3a1xn，f (x)是函数f(x)的导函数，令bnf (1)，求数列bn的通项公式，并研究其单调性解析(1)由Sn13Sn2n40(nN*)得Sn3Sn12n240(n2)，两式相减得an13an20，可得an113(an1)(n2)，又由已知a214，所以a213(a11)，即an1是一个首项为5，公比q3的等比数列，所以an53n11(nN*)(2)因为f (x)an2an1xna1xn1，所以f (1)an2an1na1(53n11)2(53n21)n(5301)53n123n233n3
22、n30令S3n123n233n3n30，则3S3n23n133n2n31，作差得S，所以f (1)，即bn，而bn1，作差得bn1bnn0，所以bn是单调递增数列(理)已知数列an的首项a15，且an12an1(nN*)(1)证明：数列an1是等比数列，并求数列an的通项公式；(2)令f(x)a1xa2x2anxn，求数列f(x)在点x1处的导数f (1)解析(1)证明：an12an1，an112(an1)，2，数列an1是以a11为首项，2为公比的等比数列，an1(a11)2n162n132n，an32n1.(2)f(x)a1xa2x2anxn，f (x)a12a2xnanxn1，f (1)
23、a12a23a3nan(3211)2(3221)3(3231)n(32n1)3(2222323n2n)(123n)，令Tn2222323n2n，2Tn122223324(n1)2nn2n1，Tn222232nn2n1n2n1(n1)2n12，Tn(n1)2n12，f (1)3(n1)2n16.21(本题满分12分)(文)(2015广东文，19)设数列an的前n项和为Sn，nN*.已知a11，a2，a3，且当n2时，4Sn25Sn8Sn1Sn1.(1)求a4的值；(2)证明：为等比数列；(3)求数列an的通项公式分析考查：1.等比数列的定义；2.等比数列的通项公式；3.等差数列的通项公式(1)令
24、n2可得a4的值；(2)先利用anSnSn1将4Sn25Sn8Sn1Sn1(n2)转化为4an2an4an1，再利用等比数列的定义可证是等比数列；(3)由(2)可得数列的通项公式，再将数列的通项公式转化为数列是等差数列，进而可得数列an的通项公式解析(1)当n2时，4S45S28S3S1，即4581，解得：a4 .(2)因为4Sn25Sn8Sn1Sn1(n2)，所以4Sn24Sn1SnSn14Sn14Sn(n2)，即4an2an4an1(n2)，因为4a3a14164a2，所以4an2an4an1，对于n1成立因为，所以数列是以a2a11为首项，公比为的等比数列(3)由(2)知：数列是以a2a
25、11为首项，公比为的等比数列，所以an1ann1.即4，所以数列是以2为首项，4为公差的等差数列，所以2(n1)44n2，即an(4n2)n(2n1)n1，所以数列an的通项公式是an(2n1)n1.(理)(2015辽宁葫芦岛市一模)已知数列an为等差数列，a35，a4a822；(1)求数列an的通项公式an及前n项和公式Sn；(2)令bn，求证：b1b2bn.解析(1)由a4a822得：a611，又a35，d2，a11，an2n1，Snn2.(2)bn当n1时，b1，原不等式成立；当n2时，b1b2bnb1b2bn0，数列H(n)单调递增，nN*时，H(n)H(1)，故p.p的最大值为.反馈
26、练习一、选择题1等比数列an中，a1a35，a2a410，则a6a8等于()A80B96C160D320答案C解析q2，a6a8(a2a4)q41024160.2(2015广州二测)已知等差数列an的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为()A10B20C30D40答案A解析设这个数列的项数为2n，于是有2n251510，即这个数列的项数为10，故选A.易错分析考生不会利用奇数项和与偶数项和的关系去求解数列的项数，导致无法解题3已知等差数列an的公差d0，a1，a5，a17依次成等比数列，则这个等比数列的公比是()A4B3C2D答案B解析解法1：由
27、条件知aa1a17，即(a14d)2a1(a116d)，得a12d，a5a14d6d，q3，故选B解法2：q3，故选B4以Sn表示等差数列an的前n项和，若S5S6，则下列不等关系不一定成立的是()A2a33a4B5a5a16a6Ca5a4a30Da3a6a122a7答案D解析依题意得a6S6S50,2a33a4；5a5(a16a6)5(a14d)a16(a15d)2(a15d)2a60,5a5a16a6；a5a4a3(a3a6)a3a60.综上所述知选D5(文)在等差数列an中，7a55a90，且a5a9，则使数列前n项和Sn取得最小值的n等于()A5B6C7D8答案B解析7a55a90，a
28、50，且a1d，Snna1dndd(n2)，当n6时，Sn取到最小值(理)(2014辽宁理，8)设等差数列an的公差为d，若数列2a1an为递减数列，则()Ad0Ca1d0答案C解析数列2a1an递减，a1an递减a1ana1an1a1(anan1)a1d0，若S22a3，则q的取值范围是()A(1,0)(0，)B(，0)(0,1)C(，1)(，)D(，)(1，)答案B解析S22a3，a1a1q2a1q2，a10，2q2q10，q0，S100，a50.又S10(a1a10)5(a5a6)0，a5a60，即得a6a5，则数列an的前5项均为正数，从第6项开始均为负数，则当n5时，数列是递增的正数
29、项数列，其最大项为，当n6时，各项均为负数，即可得最大，故应选B(理)等比数列an的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n2)，则Tn的最大值为()A.BC1D2答案D解析由题意知S奇2S偶q，S奇，S偶，q，a12，q，Tn为递减数列且a21，ak2)，T2a1a22为最大值9(2015南昌市二模)已知an是等差数列，a15，a818，数列bn的前n项和Sn3n，若amb1b4，则正整数m等于()A29B28C27D26答案A解析由题意得：a8a17d57d18，d，am5(m1)，又Sn3n，bn，5(m1)323357，解得m29.10设f(
30、x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x、yR，都有f(x)f(y)f(xy)，若a1，anf(n)(nN*)，则数列an的前n项和Sn为()A2n1B12nC()n1D1()n答案D解析由已知可得a1f(1)，a2f(2)f(1)2()2，a3f(3)f(2)f(1)f(1)3()3，anf(n)f(1)n()n，Sn()2()3()n1()n，故选D11(文)数列an满足an1，若a1，则a2014()A.BCD答案A解析由题可得a1，a2，a3，a4，a5，a6，所以数列an是一个周期为4的周期数列，又因为201450342，所以a2014a2，故选A.(理)(2015山西太原市
31、一模)已知数列an的通项公式为an(1)n(2n1)cos1(nN*)，其前n项和为Sn，则S60()A30B60C90D120答案D解析由an的通项公式得：a1a3a5a591，当n2p(p为奇数时)，an(2n1)122n；当n2q(q为偶数时)an(2n1)12n，S60301120.12(文)已知数列an满足a11，a22，an2(1cos2)ansin2，则该数列的前10项和为()A2101B1067C1012D2012答案B解析当n为奇数时，an2an1，这是一个首项为1，公差为1的等差数列；当n为偶数时，an22an1，这是一个以2为首项，公比为2的等比数列，所以S18a1a2a
32、17a18(a1a3a17)(a2a4a18)9193610221067.(理)已知等差数列an的前n项和为Sn，若a2a2014，且A、B、C三点共线(该直线不过原点O)，则下列各式中正确的是()AS20151BS2014CS2015DS20141007答案C解析A、B、C共线，且该直线不过O点，a2a2014，(a21)a2014，即(a21)a2004kkk，由共线向量定理得a21a2014，a2a20141，S2015.二、填空题13各项均为实数的等比数列an的前n项和记为Sn，若S1010，S3070，则S40_.答案150解析设每10项一组的和依次组成的数列为bn，由已知可得：b1
33、10，b1b2b370.设原等比数列an的公比为q，则q10.同理：q10，q10，bn构成等比数列，且公比qq10.由可得1010q10(q)270，即(q)2q60，解得q2或q3.qq100，q2.bn的前4项依次是：10,20,40,80.S40150.14等差数列an中，a1a2a810，a14a1550，则此数列的前15项之和是_答案180解析S1515a1d180.15(2015山东青岛摸底)设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2015x1log2015x2log2015x2014的值为_答案1解析因为y(n1)xn，所以在点(1,1
34、)处的切线的斜率kn1，所以n1，所以xn，所以log2015x1log2015x2log2015x2014log2015(x1x2x2014)log2015()log20151.16(文)(2014合肥质检)定义等积数列：在一个数列中，若每一项与它的后一项的积是同一常数，那么这个数列叫做等积数列，且称此常数为公积已知在等积数列an中，a12，公积为5，当n为奇数时，这个数列的前n项和Sn_.答案解析由题可知，等积数列an为2，2，当n为奇数时，其前n项和Sn，可分两部分组成，个2之和与个之和，所以Sn2.(理)已知数列an满足a11，1，则a10_.答案解析由1，得1，又，故数列是首项为，公
35、差为1的等差数列，故(101)1，得a10.三、解答题17(文)已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设TnSn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值解析(1)设等比数列an的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是递减数列且a1，所以q.故等比数列an的通项公式为an()n1(1)n1.(2)由(1)得Sn1()n当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1SnS1，故0SnS1.当n为偶数时，Sn随
36、n的增大而增大，所以S2SnSnS2.综上，对于nN*，总有Sn.所以数列Tn最大项的值为，最小项的值为.(理)已知等差数列an的首项a10，前n项和为Sn，且S4a23S3；等比数列bn满足b1a2，b2a4.(1)求证：数列bn中的每一项都是数列an中的项；(2)若a12，设cn，求数列cn的前n项和Tn；(3)在(2)的条件下，若有f(n)log3Tn，求f(1)f(2)f(n)的最大值解析(1)设等差数列an的公差为d，由S4a22S3，得4a16da1d6a16d，a1d，则ana1(n1)dna1，b12a1，b24a1，等比数列bn的公比q2，则bn2a12n12na1，2nN*
37、，bn中的每一项都是an中的项(2)当a12时，bn2n1，cn2()则Tnc1c2cn2()2().(3)f(n)log3Tnlog3，f(1)f(2)f(n)log3log3log3log3()log3log31，即f(1)f(2)f(n)的最大值为1.18(文)(2014日照市诊断)已知等差数列an中，公差d0，其前n项和为Sn，且满足：a2a345，a1a414.(1)求数列an的通项公式；(2)通过公式bn构造一个新的数列bn若bn也是等差数列，求非零常数c；(3)对于(2)中得到的数列bn，求f(n)(nN*)的最大值解析(1)数列an是等差数列a2a3a1a414.又a2a345
38、，或.公差d0，a25，a39.da3a24，a1a2d1.ana1(n1)d4n3.(2)Snna1n(n1)dn2n(n1)2n2n，bn.数列bn是等差数列，2b2b1b3，2，解得c(c0舍去)bn2n.显然bn成等差数列，符合题意，故c.(3)f(n).即f(n)的最大值为.(理)(2014山西太原五中月考)已知等比数列an的前n项和为Sn，an0，a1，且，成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足bnlog3(1Sn1)1，求适合方程b1b2b2b3bnbn1的正整数n的值解析(1)设数列an的公比为q，由，成等差数列得，3，解得q或q1(舍去)，所以an2()n
39、(2)因为Sn11，得log3(1Sn1)log3n1所以bn，bnbn1，b1b2b2b3bnbn1由题意得，解得n100.19已知Sn为数列an的前n项和，且2anSnn.(1)若bnan1，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列Sn的前n项和Tn.解析(1)证明：n1时，2a1S11，a11.由题意，得2anSnn,2an1Sn1(n1)，两式相减可得2an12anan11，即an12an1.于是an112(an1)，即bn12bn，又b1a112.所以数列bn是首项为2，公比为2的等比数列(2)解：由(1)知：bn22n12n，an2n1，Sn2ann2n1n2，TnS1S2Sn(22
40、232n1)(12n)2n2n2n24n2.20(2014唐山市二模)在公差不为0的等差数列an中，a3a1015，且a2，a5，a11成等比数列(1)求an的通项公式；(2)设bn，试比较bn1与bn的大小，并说明理由解析(1)设等差数列an的公差为D由已知得注意到d0，解得a12，d1.所以ann1.(nN)(2)由(1)可知bn，bn1，因为bn1bn0，所以bn1bn.21等比数列an的前n项和为Sn.已知S1，S3，S2成等差数列(1)求an的公比q；(2)若a1a3，求数列nan的前n项和Tn.解析(1)由已知得2S3S1S2，2(a1a2a3)a1(a1a2)，a22a30，an
41、0，12q0，q.(2)a1a3a1(1q2)a1(1)a1，a12，an(2)()n1()n2，nann()n2.Tn1()12()03()1n()n2，Tn1()02()13()2n()n1，得Tn2()0()1()2()n2n()n1()n1(n)，Tn()n1(n)22(文)已知点P(an，an1)(nN*)是函数yx2在点(1，)处的切线上的点，且a1.(1)证明：an是等比数列；(2)求数列an的前n项和Sn.解析(1)证明：函数yx2的导数为yx，函数yx2在点(1，)处的切线斜率为.故函数yx2在(1，)处的切线方程为y(x1)点P在此切线上，an1(an1)an1(an)a1
42、，an0.数列an是首项为1，公比为的等比数列(2)解：由(1)知an()n1，an()n1.Sn1()2()n12.(理)已知函数f(x)ax2bx(a0)的导函数f (x)2x7，数列an的前n项和为Sn，点Pn(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上(1)求数列an的通项公式及Sn的最大值；(2)令bn，其中nN*，求nbn的前n项和解析(1)f(x)ax2bx(a0)，f (x)2axb，由f (x)2x7得：a1，b7，所以f(x)x27x，又因为点Pn(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上，所以有Snn27n.当n1时，a1S16；当n2时，anSnSn12n8，an2n8(nN*)令an2n80得n4，当n3或n4时，Sn取得最大值12.综上，an2n8(nN*)，当n3或n4时，Sn取得最大值12.(2)由题意得b18，bn2n4，所以，即数列bn是首项为8，公比是的等比数列，故nbn的前n项和Tn123222n2n4，Tn12222(n1)2n4n2n3，得：Tn23222n4n2n3Tnn24n32(2n)24n.
