1、保温卷一 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分共 150 分，考试时间 120 分钟第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 Ax|1x2，xN，集合 B2,3，则 AB 等于()A1,0,1,2,3 B0,1,2,3C1,2,3D2解析 因为集合 Ax|1x2，xN0,1,2，B2,3，所以 AB0,1,2,3答案 B2设 i 为虚数单位，复数 z 满足(1 3i)z(3i)2，则共轭复数 z的虚部为()A.3iB 3i C.3D 3解 析 (1 3 i)z(3 i)2 2 23i，z 21 3i1
2、 3i 21 3i21 3i1 3i1 3i，z1 3i，复数 z的虚部为 3.答案 C3设 a，b 为非零向量，则“ab”是“a 与 b 方向相同”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析 因为 a，b 为非零向量，所以 ab 时，a 与 b 方向相同或相反，因此“ab”是“a 与 b 方向相同”的必要而不充分条件答案 B4函数 f(x)2x3x 的零点所在的一个区间是()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)解析 易知函数 f(x)2x3x 在定义域上单调递增且连续，且 f(2)2260，f(1)2130，所以由零点存在性定理得，零点所在
3、的区间是(1,0)答案 B5执行如图所示的程序框图，则输出 x 的值为()A2B13C12D3答案 A解析 x12，当 i1 时，x13；i2 时，x2；i3 时，x3；i4 时，x12，即 x 的值周期性出现，周期数为 4，201850442，输出 x 的值为2.6已知实数 x，y 满足约束条件xy20，x2y20，x1，则目标函数 zy2x1的最小值为()A23B54C43D12答案 B解析 作出不等式组对应的平面区域如图，则目标函数 zy2x1的几何意义为动点 M(x，y)到定点 D(1，2)的斜率，当 M 位于 A1，12 时，DA 的斜率最小，此时 zmin12211 54.7数列a
4、n中，a12，且 anan1nanan12(n2)，则数列1an12前 2019 项和为()A.40362019B20191010C.40372019D40392020答案 B解析 anan1nanan12(n2)，a2na2n12(anan1)n，整理得(an1)2(an11)2n，(an1)2(a11)2n(n1)2，又 a12，(an1)2nn12，可得，1an122nn121n 1n1.则数列1an12 的前 2019 项和为 21121213 12019 12020 21 12020 20191010.8下列四个图中，函数 yln|x1|x1 的图象可能是()答案 C解析 yln|x
5、|x 是奇函数，其图象向左平移 1 个单位所得图象对应的函数解析式为 yln|x1|x1，yln|x1|x1 的图象关于(1，0)中心对称，故排除A，D，当 x2 时，y0 恒成立故选 C.9已知公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，a1a510，a1a5a24，则Snan()A有最大值 9 B有最大值 25C没有最小值 D有最小值24答案 D解析 易知 an2n11，Snn210n，Snann210n2n11，nN*，当 n10 时，Snan0，且 n时，Snan，无最大值，当 5n10时，Snan0，逐一计算易知，SnanminS6a624，当 00.故选 D.10已知在正四
6、棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，ABBC，AA12AB，则 CD与平面 BDC1 所成角的正弦值等于()A.23B 33C 23D13答案 A解析 设 ACBDO，连接 OC1，过 C 点作 CHOC1于点 H，连接 DH.BDAC，BDAA1，ACAA1A，AC，AA1平面 ACC1A1，BD平面 ACC1A1，又 CH平面 ACC1A1，BDCH，又 CHOC1，BDOC1O，BD，OC1平面 C1BD，CH平面 C1BD，则CDH 为 CD 与平面 BDC1所成的角，设 AA12AB2，则 OC1 CC21OC242223 22，由等面积法得 OC1CHOCCC1，代入得 CH23，
7、sinCDHCHCD23.11已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F(c,0)圆 C：(xc)2y21 上所有点都在椭圆 E 的内部，过椭圆上任一点 M 作圆 C 的两条切线，A，B 为切点，若AMB，3，2，则椭圆 C 的离心率为()A2 2B32 2C.32 2D 21答案 B解析 如图可知，当且仅当点 M 为椭圆的左顶点时，AMB 最小，即AM1B3，在 RtAM1C 中，|AC|1，AM1C6，则|M1C|ac2，同理，当点 M 为椭圆的右顶点时，AMB 最大，可得|M2C|ac 2，解得 a2 22，c2 22，离心率 eca32 2，故选 B.12已知函数 f(x
8、)ln xx2 与 g(x)(x2)2122xm(mR)的图象上存在关于(1,0)对称的点，则实数 m 的取值范围是()A(，1ln 2)B(，1ln 2C(1ln 2，)D1ln 2，)答案 D解析 函数 f(x)ln xx2 与 g(x)(x2)2122xm(mR)的图象上存在关于(1,0)对称的点，f(x)g(2x)有解，ln xx2x2 12xm 在(0，)上有解，即 mln x 12x在(0，)上有解，令 h(x)ln x 12x，则 h(x)2x12x2，x0，h(x)在0，12 上单调递减，在12，上单调递增，h(x)minh12 ln 121，mln 1211ln 2.第卷本卷
9、包括必考题和选考题两部分第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知平面向量 a，b 满足(ab)(2ab)4，且|a|2，|b|4，则 a与 b 的夹角为_答案 3解析 由题意可得(ab)(2ab)2a2b2ab816ab4，解得 ab4，设 a 与 b 的夹角为，所以 cos ab|a|b|12，又因为 0，所以 3.14已知数列 a1，a2a1，a3a2，anan1，是首项为 1，公差为1 的等差数列，则数列an的通项公式为_解析 a1，a2a1，a3a2，anan1，是首
10、项为 1，公差为 1的等差数列，当 n2 时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)nn12，又a11 满足上式，annn12(nN*)答案 annn12(nN*)15在三棱锥 DABC 中，ABBCDBDC1，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为_答案 73解析 在三棱锥 DABC 中，当且仅当 AB平面 BCD 时，三棱锥体积达到最大，此时，设外接球的半径为 R，外接球的球心为 O，点 F 为BCD 的中心，则有 R2OB2OF2BF2122332 712，所以表面积 S4R273.16已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 A2B，则bcab2 的最小值是
11、_答案 3解析 由 A2B 及正弦定理可得，bcab2sinBsinABsinAsinB2sinBsinB2B2sinBcosBsinB2sinBsinBcos2BcosBsin2B4cos2B1cos2B2cos2B4cos2B14cos2B14cos2B113AB3B180，则0B60，12cosB0，当且仅当14cos2B14cos2B1，即 cosB 22，即 B45时取等号所以bcab2 的最小值为 3.三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 12 分)已知等差数列an满足 a66a3，且 a31 是 a21，a4 的等比中项(1)求数列an的
12、通项公式；(2)设 bn1anan1(nN*)，数列bn的前 n 项和为 Tn，求使 Tn17成立的最大正整数 n 的值解(1)设等差数列an的公差为 d，a6a33d6，即 d2，a31a13，a21a11，a4a16，a31 是 a21，a4的等比中项，(a31)2(a21)a4，即(a13)2(a11)(a16)，解得 a13.数列an的通项公式为 an2n1.(2)由(1)得 bn1anan112n12n31212n112n3.Tn b1 b2 bn 12 1315151712n112n3 121312n3 n32n3，由n32n317，得 n9.使得 Tnb0)的左顶点为 M(2,0
13、)，离心率为 22.(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 N(1,0)的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，当MA MB 取得最大值时，求MAB 的面积解(1)由题意可得 a2，ca 22，得 c 2，则 b2a2c22.所以椭圆 C：x24y221.(2)当直线 l 与 x 轴重合时，不妨取 A(2,0)，B(2,0)，此时MA MB 0；当直线 l 与 x 轴不重合时，设直线 l 的方程为 xty1，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立xty1，x24y221得(t22)y22ty30，显然 0，y1y2 2tt22，y1y2 3t22.所以MA MB(x12)(x22)y1y
14、2(ty13)(ty23)y1y2(t21)y1y23t(y1y2)9(t21)3t223t2tt2293t236t2t2299t23t22 9 15t22.当 t0 时，MA MB 取最大值152.此时直线 l 方程为 x1，不妨取 A1，62，B1，62，所以|AB|6.又|MN|3，所以MAB 的面积 S12 633 62.21(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)14x412ax2，aR.(1)当 a1 时，求曲线 f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)设函数 g(x)(x22x2a)exef(x)，其中 e2.71828是自然对数的底数，讨论 g(x)的单调性并判断有无极
15、值，有极值时求出极值解(1)由题意 f(x)x3ax，所以当 a1 时，f(2)2，f(2)6，因此曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程是 y26(x2)，即 6xy100.(2)因为 g(x)(x22x2a)exef(x)，所以 g(x)(2x2)ex(x22x2a)exef(x)(x2a)exe(x3ax)(x2a)(exex)，令 h(x)exex，则 h(x)exe，令 h(x)0 得 x1，当 x(，1)时，h(x)0，h(x)单调递增，所以当 x1 时，h(x)minh(1)0，也就说，对于xR 恒有 h(x)0.当 a0 时，g(x)(x2a)h(x)0，g(x)在(，
16、)上单调递增，无极值；当 a0 时，令 g(x)0，可得 x a.当 x a时，g(x)(x2a)h(x)0，g(x)单调递增，当 ax a时，g(x)0 时，g(x)在(，a)和(a，)上单调递增，在(a，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值为 g(a)(2 a2)e ae4a2，极小值为 g(a)(2 a2)e ae4a2.请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是xt，yt1(t 为参数)，曲线 C的参数方程是x22cos，y
17、2sin(为参数)，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；(2)已知射线 OP：1其中02 与曲线 C 交于 O，P 两点，射线 OQ：22与直线 l 交于 Q 点，若OPQ 的面积为 1，求 的值和弦长|OP|.解(1)直线 l 的普通方程为 xy10，极坐标方程为 cossin10，曲线 C 的普通方程为(x2)2y24，极坐标方程为 4cos.(2)依题意，0，2，|OP|4cos，|OQ|1sin2 cos21sincos，SOPQ12|OP|OQ|2coscossin1，tan1，0，2，4，|OP|2 2.23(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲设函数 f(x)|x1|，g(x)|x2|.(1)解不等式 f(x)g(x)2；(2)对于实数 x，y，若 f(x)1，g(y)1，求证：|x2y1|5.解(1)令 y|x1|x2|，则 y32x，x1，1，1x2，2x3，x2，作出函数 y|x1|x2|的图象(如图)，它与直线 y2的交点为12，2 和52，2.所以 f(x)g(x)2 的解集为12，52.(2)证明：因为|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2|(y2)1|x1|2(|y2|1)f(x)2g(y)25，所以|x2y1|5.本课结束
