1、5.1.2瞬时变化率导数学 习 任 务核 心 素 养1了解切线的含义(重点)2理解瞬时速度与瞬时加速度(重点)3掌握瞬时变化率导数的概念，会根据定义求一些简单函数在某点处的导数(难点)1通过对瞬时变化率、导数概念和导数几何意义的学习，培养数学抽象及直观想象的核心素养2借助对切线方程的求解，提升数学运算核心素养巍峨的珠穆朗玛峰，攀登珠峰的队员在陡峭程度不同时，运动员的感受是不一样的，如何用数学反映山势的陡峭程度，给登山运动员一些有益的技术参考？思考：什么是平均变化率？如何理解瞬时变化率？知识点1曲线上一点处的切线1设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线随着点Q沿曲线C向点P运
2、动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线2若曲线C上一点，P(x，f(x)，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(xx，f(xx)，则割线PQ的斜率为kPQ，当x无限趋近于0时，无限趋近于点P(x，f(x)处的切线的斜率知识点2瞬时速度与瞬时加速度1平均速度在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度2瞬时速度一般地，如果当t无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率3瞬时加速度一般地，如果当t
3、无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率1一辆汽车运动的速度为v(t)t22，则该汽车在t3时的加速度为_66t，当t0时，6，即汽车在t3时加速度为62火箭发射t s后，其高度(单位：km)为h(t)0.9t2那么t_s时火箭的瞬时速度为3.6 km/s20.9t1.8t0当t0时1.8t0即tt0时的瞬时速度为1.8t0，由1.8t03.6得t02知识点3导数1导数设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处
4、可导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)2导数的几何意义导数f(x0)的几何意义就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率3导函数(1)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f(x)在不引起混淆时，导函数f(x)也简称为f(x)的导数(2)f(x)在xx0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值1f(x0)0和f(x0)0反映了怎样的意义？提示f(x0)0反映了瞬时变化率呈增长趋势，f(x0)0反映了瞬时变化率呈下降趋势2 f(x
5、0)与f(x)有什么区别？提示f(x0)是一个确定的数，而f(x)是一个函数3若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为2xy10，则()Af(x0)0Bf(x0)0Cf(x0)0Df(x0)不存在C由题意可知，f(x0)20，故选C 类型1求曲线上某一点处的切线【例1】已知曲线yf(x)x上的一点A，用切线斜率定义求：(1)点A处的切线的斜率；(2)点A处的切线方程解(1)yf(2x)f(2)2xx，1当x无限趋近于零时，无限趋近于，即点A处的切线的斜率是(2)切线方程为y(x2)，即3x4y40根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点
6、处，x无限趋近于0时，无限趋近的常数.跟进训练1(1)已知曲线yf(x)2x24x在点P处的切线的斜率为16，则点P的坐标为_(2)已知曲线y3x2x，求曲线上一点A(1，2)处的切线的斜率及切线方程(1)(3，30)设点P坐标为(x0，y0)，则4x042x当x无限趋近于0时，4x042x无限趋近于4x04，因此4x0416，即x03，所以y023243181230即点P坐标为(3，30)(2)解设A(1，2)，B(1x，3(1x)2(1x)，则kAB53x，当x无限趋近于0时，53x无限趋近于5，所以曲线y3x2x在点A(1，2)处的切线斜率是5切线方程为y25(x1)，即5xy30 类型
7、2求瞬时速度【例2】某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)t2t1表示，求物体在t1 s时的瞬时速度解3t， (3t)3物体在t1 s处的瞬时变化率为3即物体在t1 s时的瞬时速度为3 m/s1(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度解求物体的初速度，即求物体在t0时的瞬时速度1t， (1t)1物体在t0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s2(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s解设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s又(2t01)t (2t01t)2t01则2t019，t04则物体在4 s时的瞬时速度为
8、9 m/s求运动物体瞬时速度的三个步骤设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为ss(t)，则求物体在tt0时刻的瞬时速度的步骤如下：(1)写出时间改变量t，位移改变量s(ss(t0t)s(t0)(2)求平均速度：(3)求瞬时速度v：当t0时，v(常数) 类型3求函数在某点处的导数【例3】已知f(x)x23(1)求f(x)在x2处的导数；(2)求f(x)在xa处的导数解(1)因为4x，当x无限趋近于0时，4x无限趋近于4，所以f(x)在x2处的导数等于4(2)因为2ax，当x无限趋近于0时，2ax无限趋近于2a，所以f(x)在xa处的导数等于2a求一个函数yf(x)在xx0处的导数的步骤(
9、1)求函数值的改变量yf(x0x)f(x0)(2)求平均变化率(3)令x无限趋近于0，求得导数跟进训练2 设f(x)ax4，若f(1)2，则a_2a，f(1)a，即a23建造一栋面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，yf(x)0.3，求f(100)，并解释它的实际意义解根据导数的定义，得f(100) 0.105f(100)0.105表示当建筑面积为100 m2时，成本增加的速度为1 050元/m2 类型4导数几何意义的应用【例4】(1)已知函数yf(x)的图象如图所示，则其导函数yf(x)的图象可能是() AB C D(2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，
10、这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是()ABCD1曲线在xx0处的斜率k与f(x0)有什么关系？提示kf(x0)2运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高指的是什么？提示运输效率逐步提高就是指Q(t)不断增大(1)B(2)B(1)由yf(x)的图象及导数的几何意义可知，当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0，故B符合(2)从函数图象上看，要求图象在0，T上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提
11、高故选B导数几何意义理解中的两个关键关键点一：yf(x)在点xx0处的切线斜率为k，则k0f(x0)0；k0f(x0)0；k0f(x0)0关键点二：|f(x0)|越大在x0处瞬时变化越快；|f(x0)|越小在x0处瞬时变化越慢跟进训练4(1)已知yf(x)的图象如图所示，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()Af(xA)f(xB)Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB)D不能确定(2)若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1Ba1，b1Ca1，b1Da1，b1(1)B(2)A(1)由导数的几何意义，f(xA)，f(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，
12、由图象可知f(xA)f(xB)(2)由题意，知ky|x0 1，a1又点(0，b)在切线上，b1，故选A 1下面说法正确的是()A若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线B若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在C若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率不存在D若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则f(x0)有可能存在C根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误2已知函数yf(x)是可导函数，且f(1)2，则 ()AB2C1D1C
13、由题意可得： f(1)，即： 21故应选C3设曲线f(x)ax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a等于()A1BCD1A因为f(1) (2aax)2a，所以2a2，所以a14曲线f(x)在点(2，1)处的切线方程为_x2y40f(2) ，切线方程为y1(x2)，即x2y405已知曲线y2x27在点P处的切线方程为8xy150，求切点P的坐标解设切点P(x0，y0)，切线斜率为k，由y (4x2x)4x，得ky|xx04x0由题意可知4x08，x02代入y2x27得y01故所求切点P为(2，1)回顾本节知识，自我完成以下问题：1导数的概念与几何意义分别是什么？提示设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)导数f(x0)的几何意义就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率2求曲线的切线时，“在某点处的切线”与“过某点的切线”有什么不同？提示(1)若“在”，则该点为切点(2)若“过”，则该点不一定是切点；若“过”曲线外的一点，则该点一定不是切点
