1、2024/5/28郑平正制作3.1回归分析（二）高二数学 选修1-22024/5/28郑平正制作回归分析的内容与步骤：统计检验通过后，最后是利用回归模型，根据自变量去估计、预测因变量。回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。其主要内容和步骤是：首先根据理论和对问题的分析判断，将变量分为自变量和因变量；其次，设法找出合适的数学方程式（即回归模型）描述变量间的关系；由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要对回归模型进行统计检验；2024/5/28郑平正制作例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。编号12345678身高/cm165 165 157 170
2、 175 165 155 170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。案例1：女大学生的身高与体重解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。2024/5/28郑平正制作172.85849.0 xy分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，体重为因变量学身高172cm女大生体重y=0.849172-85.712=60.316(kg)2.回归方程：1.散点图；本例中,r=0.7980
3、.75这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的。2024/5/28郑平正制作探究：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重接近于60.316kg。即，用这个回归方程不能给出每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平均体重的值。2024/5/28郑平正制作例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。编号12345678身高/cm165 165 157 170 175 165 155 17
4、0体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。案例1：女大学生的身高与体重解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。3、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。2024/5/28郑平正制作我们可以用下面的线性回归模型来表示：y=bx+a+e，(3)其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)=(
5、4)2.在线性回归模型(4)中，随机误差e的方差越小，通过回归直线(5)2ybxa预报真实值y的精度越高。随机误差是引起预报值与真实值y之间的误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差。y另一方面，由于公式(1)和(2)中和为截距和斜率的估计值，它们与真实值a和b之间也存在误差，这种误差是引起预报值与真实值y之间误差的另一个原因。yab2024/5/28郑平正制作思考:产生随机误差项e的原因是什么？随机误差e的来源(可以推广到一般）：1、忽略了其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3、身高
6、y 的观测误差。以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。2024/5/28郑平正制作函数模型与回归模型之间的差别中国GDP散点图020000400006000080000100000120000199219931994199519961997199819992000200120022003年GDP函数模型：abxy回归模型：eabxy可以提供选择模型的准则2024/5/28郑平正制作函数模型与回归模型之间的差别函数模型：abxy回归模型：eabxy线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定，即自变量x只能解析部分y的变化。在统计中，
7、我们也把自变量x称为解析变量，因变量y称为预报变量。所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为0.849 7285.71260.316()ykg思考：如何刻画预报变量（体重）的变化？这个变化在多大程度上与解析变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？假设身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响，那么所有人的体重将相同。在体重不受任何变量影响的假设下，设8名女大学生的体重都是她们的平均值，即8个人的体重都为54.5kg。54.554.554.554.554.554.554.554.5体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编
8、号54.5kg在散点图中，所有的点应该落在同一条水平直线上，但是观测到的数据并非如此。这就意味着预报变量（体重）的值受解析变量（身高）或随机误差的影响。对回归模型进行统计检验2024/5/28郑平正制作5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号例如，编号为6的女大学生的体重并没有落在水平直线上，她的体重为61kg。解析变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从54.5kg“推”到了61kg，相差6.5kg，所以6.5kg是解析变量和随机误差的组合效应。编号为3的女大学生的体重并也没有落在水平直线上，她的体重为50k
9、g。解析变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从50kg“推”到了54.5kg，相差-4.5kg，这时解析变量和随机误差的组合效应为-4.5kg。用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。数学上，把每个效应（观测值减去总的平均值）的平方加起来，即用21()niiyy表示总的效应，称为总偏差平方和。在例1中，总偏差平方和为354。2024/5/28郑平正制作5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号那么，在这个总的效应（总偏差平方和）中，有多少来自于解析变量（身高）？有多少来自于随机误差？假设随机误差对体重没有影响
10、，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上。但是，在图中，数据点并没有完全落在回归直线上。这些点散布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归直线上“推”开了。在例1中，残差平方和约为128.361。因此，数据点和它在回归直线上相应位置的差异是随机误差的效应，称为残差。)iiyy(iiieyy=例如，编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：61(0.849 165 85.712)6.627对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号21()niiiyy称为残差平方和，它代表了随机误差的效应。表示为：即，(,)Q a b类比
11、样本方差估计总体方差的思想，可以用作为的估计量，越小，预报精度越高。22111(,)(2)22nieQ a b nnn222024/5/28郑平正制作由于解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为354，而随机误差的效应为128.361，所以解析变量的效应为解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）=解析变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差平方和）354-128.361=225.639 这个值称为回归平方和。我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy 残差平方和。总偏差平方和2221121()()()nniiiiiniiyyy
12、yRyy总偏差平方和残差平方和回归平方和总偏差平方和总偏差平方和2024/5/28郑平正制作离差平方和的分解（三个平方和的意义）1.总偏差平方和(SST)反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差2.回归平方和(SSR)反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和3.残差平方和(SSE)反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和2024/5/28郑平正制作样本决定系数（判定系数 R2）1.回归平方和占总离差平方和的比例2.反映回归直线的拟合程度3.取值范围在 0,
13、1 之间4.R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差5.判定系数等于相关系数的平方，即R2(r)22024/5/28郑平正制作显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。总的来说：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。我们可以用
14、相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy 残差平方和。总偏差平方和2024/5/28郑平正制作1354总计0.36128.361残差变量0.64225.639随机误差比例平方和来源表1-3从表3-1中可以看出，解析变量对总效应约贡献了64%，即R20.64，可以叙述为“身高解析了64%的体重变化”，而随机误差贡献了剩余的36%。所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy 残差平方和。总偏差平方和2024/5/28郑平正制作表3-2列出了女大学生身
15、高和体重的原始数据以及相应的残差数据。在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。残差分析与残差图的定义：然后，我们可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。12,ne ee编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这
16、样作出的图形称为残差图。2024/5/28郑平正制作残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点 错误数据 模型问题几点说明：第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。2024/5
17、/28郑平正制作例2、在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。价格x1416182022需求量Y1210753解：18,7.4,xy555221111660,327,620,iiiiiiixyx y7.4 1.15 1828.1.a1.1528.1.yx 回归直线方程为：51522155iiiiix yxybxx26205 18 7.41.15.16605 18 2024/5/28郑平正制作例2、在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。价格x141618202
18、2需求量Y1210753列出残差表为521()iiiyy0.3,521()iiyy53.2,5221521()1()iiiiiyyRyy 0.994因而，拟合效果较好。iiyyiyy00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.42024/5/28郑平正制作用身高预报体重时，需要注意下列问题：1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。这些问题也使用于其他问题。涉及到统计的一些思想：模型适用的总体；模
19、型的时间性；样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确理解。小结2024/5/28郑平正制作一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。2024/5/28郑平正
20、制作什么是回归分析？（内容）1.从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式2.对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著3.利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度2024/5/28郑平正制作回归分析与相关分析的区别1.相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化2.相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量3.相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制
