1、山东省师范大学附属中学2020级2021-2022学年10月质量检测数学学科考试题 本试卷分第卷和第卷两部分,共4页,满分为150分,考试用时120分钟.注意事项：1 答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上.2 第卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3 第卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案,不得使用涂改液、胶带纸、修正带和其它笔.第卷一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分,共40
2、分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.空间直角坐标系下，点关于轴对称的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 2.直线的一个方向向量的坐标为（ ）A. B. C. D. 3.如图，四面体-,是底面的重心，则（ ）A B C D 4. 已知直线与平行，则的值是（ ）A. B. 或 C. D. 或5.已知直三棱柱中，则异面直线与所成角为（ ）A B C D6.一条光线从点射出，与直线交于点，经直线反射，则反射光线所在直线的斜率是（ ）A. B. C. D. 7.已知空间三点，则以为邻边的平行四边形面积为（ ）A. B. C. D. 8. 两条异面直线所成的角为，在直线上分别取
3、点和点，使，且.已知，则线段的长为（ ）A.或 B.或 C.或 D.或二、多项选择题（本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分）9.下列说法中，正确的是（ ）A. 直线在轴上的截距为B. 直线的倾斜角为C. ，三点共线D. 过点且在轴上的截距相等的直线方程为10. 已知空间三点,则下列说法正确的是（ )A. B. C. D.11给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：规定： 为同时与，垂直的向量； ，三个向量构成右手系（如图1）； 如图2，在长方体中，则下列结论正确的是（ )ABCD12如图，在正
4、方体中，为棱上的动点，下面说法正确的是（ ）A. 与平面所成角的正弦值的范围为B. 当点与点重合时，平面C. 当点与点重合时，若平面/平面，则平面截该正方体所得截面面积最大值为D.当点为的中点时，若平面与交于点，则第卷三、填空题（本题共4个小题,每小题5分,共20分）13.已知，且，则的值是_.14.若直线沿轴向右平移2个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则直线的斜率为_.15.已知,动直线过定点，则点坐标为_；直线，若，与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则_.（第一个空2分,第二个空3分）16.如图，在正四棱锥中，分别为侧棱上的点，四点共面，若，则_.四、解答题（本题
5、共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）的三个顶点是，求（1）经过点,且平行于过和两点的直线的方程；（2）边的垂直平分线的方程.18. （12分）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形， ，.（1）求侧棱的长；（2）分别为,的中点，求19.（12分）如图，在直棱柱的底面中，棱，以为原点，分别以，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系（1）求平面的一个法向量；（2）求点到直线的距离.20. （12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面已知，（）证明；（）求直线与平面所成角的正弦值21. （12分）如图，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点
6、和点为线段的三等分点，平面外一点满足，（）证明：；（）已知点为线段上的点，求直线与平面的距离22（12分）如图1，已知正方形的边长为，分别为，的中点，将正方形沿折成如图2所示的二面角，且二面角的大小为，点在线段上(包含端点)运动，连接.图1图2（）若为的中点，直线与平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面.（）是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求此时平面与平面的夹角的余弦值；若不存在，请说明理由.2020级2021-2022学年10月质量检测数学学科考试题答案1-5.CDBCA 6-8.DCB9.BC10.BCD11.ACD12.ABD13.14.15. ,16.317.解：（
7、1）由点斜式得，化简得法2：由两点式得，化简得设过A点且平行于过B、C两点的直线方程为带入得所以（2）设B、C中点为O，则由（1）知，所以BC垂直平分线的斜率为所以BC垂直平分线的方程为，化简得18.解：(1)设，则，作为一组基底.,(2)19.解：（1）由题意可知故设为平面的法向量，则， 令，则 （2）,的单位方向向量为又,所以，点到直线的距离=20. 法一：（）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面因为，所以又，为等腰直角三角形，.3如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，.4，.5，所以.7（）取中点，连结，取中点，连结，与平面内两条相交直线，垂直所以平面， . .10，.11设与平
8、面所成的角记为，. 即与平面所成的角的正弦值为. .12法二：（）取BC中点，连结因为，ABC为等腰直角三角形，.1由侧面底面，AOSO由SOASOB， BCSO，.3则BC面SOA， .5BCSA. .6（）如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，.7，D.8，所以面SAB的法向量.10设与平面所成的角记为，. 即与平面所成的角的正弦值为. .1221.证明：（1）E为圆弧AC中点 且 AEC为等腰直角三角形AC中点 （2） FBD为等腰直角三角形 又C为中点 以C为原点，以平行于BE所在直线为轴，CD所在直线为轴，CF所在直线为轴。建立空间直角坐标系。 . 6分B（0,-1,0）,D
9、（0,1,0）,E（1,-1,0），R（0,） B到面RQD的距离为BE为BE到面RQD的距离=（0，） . 8分设面RQD法向量令=5 =(0,2,5） . 10分d= . 12分22. 解：(1)因为直线MF平面ABFE，故点O在平面ABFE内，也在平面ADE内，所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线(即直线AE)上，延长EA，FM交于点O，连接OD，如图所示因为AOBF，M为AB的中点，所以OAMFBM，所以OMMF，AOBF2.1分故点O在EA的延长线上且与点A间的距离为2. 2分连接DF，交EC于点N，因为四边形CDEF为矩形，所以N是EC的中点连接MN，则MN为DOF的中位线，所
10、以MNOD， 4分又MN平面EMC，OD平面EMC，所以直线OD平面EMC. 5分(2)如图，由已知可得EFAE，EFDE，又AEDEE，所以EF平面ADE，所以平面ABFE平面ADE.易知ADE为等边三角形，取AE的中点H，连接DH，则易得DH平面ABFE.以H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，6分则E(，0，0)，D(0，0，)，C(0，2，)，F(，2，0)，所以(，0，)，(，2，)设M(，a，0)(0a4)，则(，a，0)设平面EMC的法向量为m(x，y，z)，则即取y，则xa，z4-a，所以m(, 4-a)为平面EMC的一个法向量8分要使直线DE与平面EMC所成的角为60，则|cos，m|，即，整理得4a28a30，解得a或a， 9分所以存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60.取ED的中点Q，连接QA，则为平面CEF的一个法向量，易得Q，0，A(，0，0)，所以，0，法向量n=（ 10分设平面MEC与平面ECF的夹角为，当a时，m=（ cos=，11分当a时，m=（cos 12分综上，平面MEC与平面ECF的夹角的余弦值为.
