1、2.3 变量间的相关关系 2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关 1.理解两个变量的相关关系的概念.(重点）2.会作散点图，并利用散点图判断线性相关关系.（难点）3.了解最小二乘法的思想及回归方程系数公式的推导过程.4.通过实例加强回归直线方程含义的理解，能够对实际问题进行分析和预测.城门失火殃及池鱼 世界是一个普遍联系的整体，任何事物都与其他事物相联系.我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着惟一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系.生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？请同学们举例说明.数学学习与物理学习 商业销售收入与广告之间 粮食产量与施
2、肥量之间 人体脂肪含量与年龄之间 生活中相关成语：“名师出高徒”，“瑞雪兆丰年”“强将手下无弱兵”“虎父无犬子”当自变量一定时,因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系.例：（1）商品销售收入与广告支出经费之间的关系;（2）粮食产量与施肥量之间的关系;（3）人体内脂肪含量与年龄之间的关系.变量之间的相关关系 相关关系是一种非确定关系 不同点：1.函数关系是一种确定的关系,是两个非随机变量之间的关系;而相关关系是一种非确定关系,是非随机变量与随机变量之间的关系.2.两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定的随机因素的影响.3.需要通过样本来判断变量之间是否存在相关关系.相
3、关关系与函数关系的异同点：相同点：均是指两个变量的关系 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数.以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？年龄 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年龄 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图.这些点散布在从左下
4、角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.如果两个变量呈负相关，从整体上看这两个变量的变化趋势如何？一个变量随另一个变量的变大而变小，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域.例1 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关.房屋面积（平方米）61 70 115 110 80 135 105 销售价格（万元）12.2 15.3 24.8 21.6 18.4 29.2 22 05101520253035020406080100120140面积售价/平方米 售价/万元 正相关 解：在下列两
5、个变量的关系中，哪些是相关关系？正方形边长与面积之间的关系；作文水平与课外阅读量之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；降雪量与交通事故的发生率之间的关系.答案：年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？这些点大致分布在一条直线附近.051015202530354020253035404550556065年龄脂肪含量回归直线 我们再观察它的图象发现这些点大致分布在一条直线附近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线，该直线所对应的方程叫做回归方程.那么，我们该怎样求出这个回归方程呢？请同学们展开讨论
6、，能得出哪些具体的方案？2025 30 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540方案1先画出一条直线，测量出各点与它的距离，再移动直线，到达一个使距离的和最小的位置时，测出它的斜率和截距，得到回归方程.如图：202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540方案2在图中选两点作直线，使直线两侧的点的个数基本相同.202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540方案3如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距而得到回
7、归方程.如图:对一组具有线性相关关系的样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，如何求回归方程？ybxa最小二乘法 求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.1211221()()()niiiniiniiiniixxyybxxx ynx yxnxaybxybxa 一组样本数据的平均数是样本数据的中心，那么散点图中样本点的中心如何确定？051015202530354020253035404550556065年龄脂肪含量(,)x y例2 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的饮料杯数与当天气温的对比表：（1
8、）画出散点图；（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；（3）求回归方程；（4）如果某天的气温是2，预测这天卖出的热饮杯数./130 128 132 150 156 热饮杯数 12 7 4 0-5 摄氏温度 130 128 132 150 156 12 7 4 0-5 54 76 93 89 104 116 36 31 27 23 19 15 54 76 93 89 104 116 36 31 27 23 19 15 020406080100120140160180-10010203040y=-2.3517x+147.767温度热饮杯数解:（1）散点图如下：/（2）从散点图看到
9、，各点散布在从左上角到右下角的 区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即 气温越高，卖出去的热饮杯数越少.(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附 近，因此利用公式求出回归方程的系数.得回归方程.=-2.352x+147.767（4）当x=2时，=143.063.因此，某天的气温为2 时，这天大约可以卖出143杯热饮.yy1.下列说法中正确的是()(A)任何两个变量都具有相关关系(B)球的体积和球的半径具有相关关系(C)农作物的产量和施肥量之间是一种确定关系(D)某商品的产量和该商品的价格之间是一种非确定关系 解：选D.A的说法是错误的；球的体积和球的半径具有函数关系，故B
10、错误;C中农作物的产量和施肥量之间是一种相关关系，故C错误;D是正确的.2.已知回归直线的斜率的估计值是1.23,样本点的中心 为(4,5)，则回归直线的方程是()(A)=1.23x+4 (B)=1.23x+5(C)=1.23x+0.08 (D)=0.08x+1.23 解：当x=4时,y=1.234+0.08=5,故选C.yC yyy3.已知x,y的取值如下表所示：如果y与x线性相关，且线性回归方程为 ,则 =()(A)(B)(C)(D)解：又 ,7ybx2b1212110110234546x3,y5,33 7a27153b,b.22 B 4.（2011山东高考）某产品的广告费用 x 与销售额
11、 y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ybxa 中的 b 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为（）（A）63.6 万元 （B）65.5 万元 （C）67.7 万元 （D）72.0 万元【思路点拨】本题可先利用公式求出回归直线方程，再求广告费用为6万元时的销售额.解：选 B.由表可计算4235742x,49263954424y,因为点7(,42)2在回归直线ybxa上,且 b 为 9.4，所以7429.42a,解得9.1a,故回归方程为 9.49.1yx,令 x=6 得 y 65.5,故选 B.5为分析初中升学的数学成绩对高一学生学习情况的影响，在高一年级学生中随机抽取了
12、10名学生，他们的入学成绩与 期末考试成绩如下表：(1)若变量之间具有线性相关关系，求出回归直线的方程；(2)若某学生的入学成绩为80分，试估计他的期末成绩 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 入学成绩x 63 67 45 88 81 71 52 99 58 76 期末成绩y 65 78 52 82 92 89 73 98 56 75【解析】（1）1(63674588817152995876)7010 x 1(65785282928973985675)7610y 12210.765 56niiiniix ynxybxnx22.410 8aybx故所求线性回归直线方程是22.41
13、0 80.765 56yx（2）某学生入学成绩为 80 分，代入上式可求得84y，即这个学生期末成绩的预测分值约为 84 分1.在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手，对于散点图，可以作如下判断：（1）如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，变量之间就是函数关系；（2）如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，变量之间就有相关关系；（3）如果所有的样本点都落在某一直线的附近，变量之间就有线性相关关系；（4）如果散点图中的点的分布几乎没有什么规则，则这两个变量之间不具有相关关系，即两个变量之间是相互独立的.2.对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归直线方程.3.求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：第一步，计算平均数 ，;第二步，求和 ，;第三步，计算 第四步，写出回归方程.xy1niiix y21niix1122211()(),;()nniiiiiinniiiixx yyx ynx ybaybxxxxnx追赶时间的人，生活就会宠爱他；放弃时间的人，生活就会冷落他.
