1、8.2 函数与数学模型 8.2.2 函数的实际应用 第8章 函数应用 学 习 任 务核 心 素 养1了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想(难点)2了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用(重点)通过学习本节内容，提升数学建模和数学运算的核心素养.情境导学探新知 NO.1函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是研究变量之间依赖关系的有效工具，利用函数模型可以处理生产、生活中许多实际问题某网球中心欲建连成片的网球场数块，用 128 万元购买土地 10 000 m2，该中心每块球场的建设面积为 1 000 m2，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用
2、与球场数有关当该中心建球场 x 块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用函数 f(x)4001x520 来刻画为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？生活中经常会遇到这种成本最低、利润最高等问题，如何处理这些问题呢？知识点 函数的实际应用1常见的函数模型(1)一次函数模型：f(x)kxb(k，b 为常数，k0)；(2)反比例函数模型：f(x)kxb(k，b 为常数，k0)；(3)二次函数模型：f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0)；(4)指数函数模型：f(x)abxc(a，b，c 为常数，a0，b0，b1)；(5)对数
3、函数模型：f(x)mlogaxn(m，n，a 为常数，m0，a0，a1)；(6)幂函数模型：f(x)axnb(a，b，n 为常数，a0，n1)(7)分段函数模型；(8)对勾函数模型：f(x)x ax(a 为正常数)“对勾”函数 f(x)xax(a0)的性质该函数在(，a和 a，)上单调递增，在 a，0)和(0，a 上单调递减当 x0 时，x a时取最小值 2 a；当 x0 时，x a时取最大值2 a.2解决实际问题的一般流程实际问题建立数学模型求解数学模型解决实际问题其中建立数学模型是关键3用函数模型解决实际问题的基本步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，
4、初步选择模型；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中1.思考辨析(正确的画，错误的画)(1)在一次函数模型中，系数 k 的取值会影响函数的性质()(2)在幂函数模型的解析式中，a 的正负会影响函数的单调性()(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了()答案(1)(2)(3)B 逐个检验可得答案为 B.2.某商场在销售空调旺季的 4 天内的利润如下表所示时间/天1234利润/千元23.988.0115.99现构建一个销售这种空调的函数
5、模型，应是下列函数中的()Aylog2x By2xCyx2Dy2x合作探究释疑难 NO.2类型1 利用已知函数模型解实际问题 类型2 自建确定性函数模型解决实际问题 类型3 拟合数据构建函数模型解决实际问题 类型 1 利用已知函数模型解实际问题【例 1】通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散分析结果和实验表明，用 f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，有以下公
6、式：f(x)0.1x22.6x43，0 x10，59，10 x16，3x107，16x30.(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后 5 min 与开讲后 20 min 比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一道数学难题，需要 55 的接受能力以及 13 min 时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？解(1)当 0 x10 时，f(x)0.1x22.6x430.1(x13)259.9.故 f(x)在(0,10上单调递增，最大值为f(10)0.1(3)259.959；当 16x30 时，f(x)单调递减，f(x)31610759.因此，
7、开讲后 10 min，学生达到最强的接受能力(值为 59)，并维持 6 min.(2)f(5)0.1(513)259.953.5，f(20)3201074753.5f(5)因此，开讲后 5 min 学生的接受能力比开讲后 20 min 强一些(3)当 0 x10 时，令 f(x)55，则0.1(x13)24.9，(x13)249.所以 x20 或 x6，但 0 x10，故 x6.当 16x30 时，令 f(x)55，则3x10755.所以 x1713.因此，学生达到(或超过)55 的接受能力的时间为 1713611130)(1)写出 y 关于 x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域；(2)求
8、羊群年增长量的最大值思路点拨 畜养率空闲率y与x之间的函数关系 单调性求最值解(1)根据题意，由于最大畜养量为 m 只，实际畜养量为 x 只，则畜养率为xm，故空闲率为 1xm，由此可得 ykx1xm(0 xm)(2)对原二次函数配方，得 ykm(x2mx)kmxm22km4，即当 xm2时，y 取得最大值km4.1(变条件)若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”又如何表示出 y 关于 x 的函数解析式？解 根据题意，由于最大畜养量为 m 只，实际畜养量为 x 只，则畜养率为xm，故空闲率为 1xm，因为羊群的年增长量 y 只和实际畜养量 x 只与空闲率的乘积成反比，由此
9、可得 ykx1xm(0 xm)2(变结论)若本例条件不变，求当羊群的年增长量达到最大值时，k 的取值范围解 由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即 0 xym.因为当 xm2时，ymaxkm4，所以 0m2km4 m，解得2k0，所以 0k2.自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要
10、使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等跟进训练2某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量 p(单位：毫克/升)与过滤时间 t(单位：小时)之间的关系为 p(t)p0ekt(式中的 e 为自然对数的底数，p0 为污染物的初始含量)过滤 1 小时后，检测发现污染物的含量减少了15.(1)求函数关系式 p(t)；(2)要使污染物的含量不超过初始值的11 000，至少还需过滤几个小时？(参考数据：lg 20.3)解(1)根据题意，得45p0p0ek，ek45，p(t)p045t.(2)由 p(t)p045t11 000p0，得45t10
11、3，两边取对数并整理得t(13lg 2)3，t30.因此，至少还需过滤 30 个小时类型 3 拟合数据构建函数模型解决实际问题【例 3】某企业常年生产一种出口产品，自 2017 年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长已知 2017 年为第 1 年，前 4 年年产量 f(x)(万件)如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44(1)画出 20172020 年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于 0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2021 年(即 x5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少 30%，试根据所建立
12、的函数模型，确定 2021 年的年产量为多少？解(1)画出散点图，如图所示(2)由散点图知，可选用一次函数模型设 f(x)axb(a0)由已知得ab4，3ab7，解得a1.5，b2.5，f(x)1.5x2.5.检验：f(2)5.5，且|5.585.5|0.080.1，f(4)8.5，且|8.448.5|0.061.2，所以，这个男生偏胖当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1已知：x2.01.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则 x，y 的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中 a，b 为待定系数)()Ayabx ByabxCyalogb xDyabx
13、1 2 3 4 5 D 由表知 x 可以取“0”，排除 A，C.对于 B：当 x0 时，ya1，a1，当 x1 时，yab2.02，b 可以取 1，当 x2 时，y123；当 x3 时，y134 与表中各数据相差较大，可知只有 D 正确1 2 3 4 5 2根据日常生活 A、B、C、D 四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是()A B C D答案 B1 2 3 4 5 A 由题意可知 y(95.76%)x100，即 y0.957 6x100.3若镭经过 100 年后剩留原来质量的 95.76%，设质量为 1
14、 的镭经过 x 年后剩留量为 y，则 x，y 的函数关系是()Ay0.957 6x100 By(0.957 6)100 xCy0.957 6100 xDy10.042 4x100 1 2 3 4 5 1.0211 设 1 月份利润为 x，则 12 月份的利润 yx(12%)11kx，k1.0211.4某商店每月利润的平均增长率为 2%，若 12 月份的利润是当年1 月份利润的 k 倍，则 k_.5 1 2 3 4 860 依题意，可设 y 与 x 的函数关系式为 ykxb，由 x800，y1 000 及 x700，y2 000，可得 k10，b9 000，即 y10 x9 000，将 y400
15、 代入得 x860(元)5在一定范围内，某种产品的购买量 y 吨与单价 x 元之间满足一次函数关系，如果购买 1 000 吨，每吨为 800 元；购买 2 000 吨，每吨为 700 元，一客户购买 400 吨，单价应该是_元回顾本节知识，自我完成以下问题1什么是数据拟合？提示 数据拟合是研究变量之间的关系，并给出一种近似数学表达式的一种方法2用数据拟合法如何建立函数模型？提示 一般是先作出散点图，近而根据散点趋势选择相关模型予以拟合3函数模型的应用举例主要包括哪些方面？提示(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
