1、 从2010年的高考信息统计可以看出，命题呈现以下特点：1对于平面向量的基本概念及运算，将继续以选择题或填空题的形式单独考查，难度较低 2重点考查向量的运算，向量的坐标运算和数量积为必考内容 3依然有可能出现以向量为工具，在二次曲线、不等式、三角恒等变换、解三角形等知识交汇点处命题的题目，而且综合性可能会加强，难度在中档以上 5复数试题均属于容易题目，常涉及复数的有关概念及复数的基本运算 根据本章近年高考试题的分析及最新命题立意的发展变化，宜采用以下应试对策：1数形结合思想是向量加法、减法运算的核心向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这
2、是研究平面向量最重要的方法与技巧 2向量有几何法和坐标法两种表示形式，因此它的运算也有两种方式，故向量问题的解决有两种途径几何法和代数法，在解决具体问题时要善于从不同的角度考虑问题引入平面向量的坐标可以使向量运算完全代数化，成为数与形结合的载体；同时，增强数形转化的能力和培养运用运动变化的思想进行等价转化问题的能力，初步领会数学建模的思想和方法 3数量积及其应用是本单元的重点和难点，只有对其定义及运算律理解透彻，才能准确灵活地运用高考中主要考查判断两个向量是否垂直或是寻求两个向量垂直的条件，利用向量的数量积等条件求向量或向量的坐标 4熟练准确地进行复数运算是复数学习的重点 考纲解读 1了解向量
3、的实际背景 2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义 3理解向量的几何表示 4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义 5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义 6了解向量线性运算的性质及其几何意义 考向预测 1重点考查平面向量的有关概念、线性运算及其几何表示 2多以选择题、填空题的形式呈现，常与解析几何相结合，在知识的交汇点处命题 3向量是“形”与“数”的具体体现，注意数形结合思想的应用 知识梳理 1向量的有关概念(1)向量：既有又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的(或模)(2)零向量：的向量叫做零向量，其方向是的(3)单位向量：长度等于的向量(4)平行向量：方向或的
4、向量平行向量又叫，任一组平行向量都可以移到同一条直线上 规定：0与任一向量大小方向长度长度为01个单位相同相反非零共线向量平行任意(5)相等向量：长度且方向的向量(6)相反向量：长度且方向 的向量相等相同相等相反 2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算法则法则(1)交换律：ab.(2)结合律：(ab)c.三角形平行四边形baa(bc)向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差法则数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|.(2)当0时，a的方向与a的方向；当0时，a的方向与a的方向；当0时，a.(a)；()a；(ab)
5、.三角形|a|相同相反0()aaaab 3.共线向量定理 向量a(a0)与b共线的条件是存在唯一一个实数，使得ba.充要 A8 B4 C2 D1 答案 C基础自测1(2010四川理)设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，BC 216，|ABAC|ABAC|，则|AM|()解析|ABAC|ABAC|，ABC 是以 A 为直角顶点的三角形，又 M 是 BC 的中点，则|AM|12|BC|1242.2(教材改编题)下列命题正确的是()A零向量是唯一没有方向的向量 B平面内的单位向量有且仅有一个 Ca与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量 D相等的向量必是共线向
6、量 答案 D解析 向量是既有大小又有方向的量，所以零向量必有方向，又规定零向量与任一向量平行，所以零向量是唯一的一个方向不确定的向量，故 A 错误；对平面内的任一向量 a 而言，由于a|a|1，所以 a|a|即是一个单位向量，由 a 的任意性，可知 B 错误；共线向量即平行向量，包括方向相同或方向相反的非零向量及零向量，故 C 错误；由于相等向量即长度相等且方向相同的向量，所以 D 正确 3(2009湖南文)如图，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，则()答案 A 解析 考查平面向量的线性运算A.AD BECF0 B.BD CFDF 0C.AD CECF0 D.BD BEFC0A
7、D BECFAD DF FA0.答案 C4设 P 是ABC 所在平面内的一点，BCBA2BP，则()A.PAPB0 B.PBPC0C.PCPA0 D.PAPBPC0解析 方法一：由向量加法的平行四边形法则易知，BA与BC的和向量过 AC 边上的中点，长度是 AC 边上的中线长的二倍，结合已知条件可知 P 为 AC 边中点，故PAPC0.方法二：BCBA2BP，PBBCPBBA0，即PCPA0.5如图，在ABCD 中，E 是 CD 的中点，且ABa，AD b，则BE等于_答案 b12a解析 设 F 是 AB 的中点，连接 FD，则BEFD ADAFAD 12ABb12a.6将4(3a2b)2(b
8、2a)化简成最简式为_ 答案 16a6b 解析 4(3a2b)2(b2a)12a8b2b4a16a6b.7如图，AM 13AB，AN13AC.求证：MN 13BC.证明 MN ANAM 13AC13AB13(ACAB)13BC.例1 给出下列六个命题：若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a|b|，则ab；若mn，np，则mp；若ab，bc，则ac.其中不正确的个数是()若ABDC，则 ABCD 为平行四边形；在ABCD 中，一定有ABDC；A2 B3 C4 D5 分析 正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可 解析 两个向量相等，只需
9、大小相等，方向相同，起点不一定相同，向量只要不改变它的大小和方向可自由移动不正确|a|b|，但方向不一定相同 a不一定等于b，错 正确正确 中当b0时，a与c不一定平行，错 不正确正确应选C.答案 C 点评 准确理解向量的有关概念是解决这类题目的关键，一定要注意向量不仅有大小，而且有方向，这是与数量的最大不同之处，且莫忽视解决与向量概念有关的问题时，一定要考虑全面，要考虑一些特殊情况，如零向量、共线向量所在直线是平行向量还是重合等，有时还需结合图形来分析ABDC 时，A、B、D、C 有可能共线，错 判断下列命题是否正确，不正确的说明理由：(1)向量a与向量b平行，则向量a与向量b方向相同或相反
10、；(3)若干个向量首尾相接，形成封闭的图形(即向量链)，则这些向量的和等于0；(4)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量(2)向量AB与向量CD 是共线向量，则 A、B、C、D 四点必在一直线上；解析(1)不正确，因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定(2)不正确若向量AB与向量CD 是共线向量，则向量AB与向量CD 在同一直线上或者所在直线平行，因此 A、B、C、D 四点不一定共线(3)正确(4)正确 点评 本题主要考查学生对于零向量有关性质的掌握及相等向量的充要条件学习0应掌握的几点：(1)0的相等向量是0；0的相反向量是0；0与任一向量的数量积为0；(2)0与任
11、一向量平行(共线)；(3)0与任一向量a垂直；(4)0能与任一向量a进行加法、减法、数乘等运算.例 2 在OAB 中，延长 BA 到 C，使 ACBA，在 OB 上取点 D，使DB 13OB.DC 与 OA 交于 E，设OA a，OB b，用 a，b 表示向量OC 及向量DC.分析 本题关键是寻找OC、DC 与 a，b 的联系，因此可由向量线性运算来解决问题解析 A 是 BC 的中点，OA 12(OB OC)，即OC 2OA OB 2ab，DC OC ODOC 23OB 2ab23b2a53b.如图，D、E、F 分别为ABC 的三边 BC、AC、AB的中点，求证：AD BECF0.分析 在三角
12、形中其他向量最好向三条边上的向量靠拢，即用AB，BC，AC来分别表示待求的向量证明 因为AD ACCD，AD ABBD，所以 2AD ACABCD BD.即 2AD ACAB.同理 2BEBABC，2CFCACB。所以 2(AD BECF)ACABBABCCACB0.故AD BECF0.例3 已知非零向量e1和e2不共线(1)如果ABe1e2，BC2e18e2，CD 3(e1e2)，求证：A、B、D 三点共线；(2)欲使 ke1e2 和 e1ke2 共线，试确定实数 k 的值分析 对于(1)，要证明 A、B、D 三点共线，只需证存在，使BD AB即可；对于(2)，若 ke1e2 和 e1ke2
13、共线，则一定存在，使 ke1e2(e1ke2)又有公共点B，A、B、D三点共线(2)ke1e2与e1ke2共线，存在，使ke1e2(e1ke2)(k)e1(k1)e2.e1与e2不共线，解析(1)证明：ABe1e2，BD BCCD 2e18e23(e1e2)5(e1e2)，BD 5AB.AB、BD 共线只能有k0k10解得 k1.点评 解答这类题目的关键是应用向量共线的条件，要注意两向量共线和三点共线的联系在本例中，(1)题中向量共线并不能等同于两向量一定在同一直线上，还需确定有一个公共点设两非零向量 a 和 b 不共线，如果ABab，CD 3(ab)，BC2a8b，求证：A、B、D 三点共线
14、分析 用向量法证明 A、B、D 三点共线，可以利用共线向量定理，得到BD AB(或AD AB等).BD AB说明直线 BD 和 AB 平行或共线；因为有公共点 B，所以只能共线；从而由向量共线推出三点共线证明 BC2a8b，BD BCCD 2a8b3a3b5(ab)，BD 5AB.由向量共线定理得BD AB，又直线 AB 和 BD 有公共点 B，因此 A、B、D 三点共线.例 4 如图所示，L，M，N 分别为ABC 的边 BC，CA，AB 上的点，且BLBCl，CMCAm，ANABn，若ALBMCN 0，求证：lmn.解析 设BCa，CAb 为基底由已知得BLla，CM mb，因为ABACCB
15、ab，所以ANnABnanb，所以ALABBL(l1)ab，BM BCCM amb，CN CAANna(1n)b.将式、代入ALBM CN 0，得(ln)a(mn)b0，所以 lmn.点评 在求一个向量用另外两个向量线性表示时，一般有如下方法：根据图形，由加减法的定义，可直接得出结论；如果不易找出它们间的关系，可先设该向量可用另两个向量来线性表示，再利用共线向量定理，用待定系数法求出它们的系数，即可得出结论 如图所示，在ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求APPM的值解析 方法一：设 e1BM，e2CN，则AM ACCM 3e2e1，BNBCCN 2
16、e1e2.因为 A、P、M 和 B、P、N 分别共线，所以存在实数、，使APAM 3e2e1，BPBN2e1e2，BABPAP(2)e1(3)e2，另外BABCCA2e13e2，2233，4535，AP45AM，BP35BN，APPM方法二：设APAM，AM 12(ABAC)12AB34AN.AP2AB34AN.B、P、N 三点共线，2341，45，APPM 1正确理解向量的概念(1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征，借助于向量，可以实现某些代数
17、问题与几何问题的相互转化(3)向量可以自由平移，任一组平行向量都可以移到同一直线上 2对共线(平行)向量的理解 共线向量与平行向量是同一个概念，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义正确理解共线向量的定义，也就领会了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量 3平行向量基本定理 abab(b0)是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的互相转化，体现了数形结合的高度统一在解题时常据此建立方程或方程组 注意：如果ab，且b0，则一定存在唯一一个实数，使ab，这里要注意b0这一限制条件，如b0，a0时，虽然有ab，但不存在实数使ab；当ab0时，对任意实数，均有ab.4两个向量的和与差 两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点(1)向量加法法则有着丰富的几何背景，简记为“首尾相连，始终如一”；(2)向量减法是向量加法的逆运算，简记为“共起点，连终点，指向被减”；(3)向量加法的三角形法则适用于任意两个非零向量相加，并且可以推广到两个以上的非零向量连加，称之为多边形法则
