1、2014-2015学年陕西省渭南市澄城县寺前中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每题5分，共50分）1（5分）（2012春金台区期中）已知z1=5+3i，z2=5+4i，下列各式中正确的是（） A z1z2 B z1z2 C |z1|z2| D |z1|z2|考点： 复数求模所有专题： 计算题分析： 由于虚数不能比较大小，可用排除法，再利用复数的模比较即可解答： 解：z1=5+3i，z2=5+4i，z1与z2为虚数，故不能比较大小，可排除A，B；又|z1|=，|z2|=，|z1|z2|，可排除C故选D点评： 本题考查复数的模的运算，属于基础题2（5分）（2013崂
2、山区校级三模）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（） A 假设三内角都不大于60度 B 假设三内角都大于60度 C 假设三内角至多有一个大于60度 D 假设三内角至多有两个大于60度考点： 反证法与放缩法所有专题： 常规题型分析： 一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”解答： 解：根据反证法的步
3、骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”故选B点评： 本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定3（5分）（2013春渭南期末）函数y=x2sinx的导数为（） A y=2xsinx+x2cosx B y=2xsinxx2cosx C y=x2sinx+2xcosx D y=x2sinx2xcosx考点： 导数的运算所有专题： 导数的概念及应用分析： 根据导数运算法则计算即可解答： 解：y=x2sinx，y=（x2）sinx+x2（sinx）=2xsinx+x2cosx，故选：A点评： 本题主要考查了导数的运算法
4、则，关键是掌握基本的导数公式，属于基础题4（5分）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（） A B C D 考点： 定积分在求面积中的应用所有专题： 函数的性质及应用分析： 要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求01（x2x3）dx即可解答： 解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是0，1所求封闭图形的面积为01（x2x3）dx，故选A点评： 本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积5（5分）（2015金家庄区校级模拟）用数学归纳法证明1+a+a2+an+1=（a1，nN*），在验证当n=1时，等式左边应为
5、（）A1B1+aC1+a+a2D1+a+a2+a3考点： 数学归纳法所有专题： 点列、递归数列与数学归纳法分析： 由数学归纳法即可得出解答： 解：在验证当n=1时，等式左边应为1+a+a2故选：C点评： 本题考查了数学归纳法证题的步骤，属于基础题6（5分）（2014奎文区校级模拟）曲线y=上一点P（4，）处的切线方程是（） A 5x+16y8=0 B 5x16y+8=0 C 5x+16y+8=0 D 5x16y8=0考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程所有专题： 导数的综合应用分析： 求出原函数的导函数，得到函数在x=4处的导数，由直线方程的点斜式得答案解答： 解：y=，曲线y=上一点P（4
6、，）处的切线方程是整理得，5x+16y+8=0故选：C点评： 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是中档题7（5分）（2010春昌平区期末）的值为（） A 0 B C 2 D 4考点： 微积分的产生划时代的成就；简单复合函数的导数所有专题： 计算题分析： 本题考查的知识点是简单复合函数的定积分，要求，关键是要确定满足条件F（x）=sinx+cosx的函数F（x），根据三角函数的导数的公式，我们易得F（x）=cosx+sinx，代入即可求出的值解答： 解：令F（x）=cosx+sinx，F（x）=sinx+cosx，所以故选C点评： 解答
7、定积分的计算题，关键是熟练掌握定积分的相关性质：ab1dx=baabkf（x）dx=kabf（x）dxabf（x）g（x）dx=abf（x）dxabg（x）dx8（5分）（2015春武汉校级期末）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（） A 2个 B 1个 C 3个 D 4个考点： 利用导数研究函数的极值所有专题： 导数的综合应用分析： 如图所示，由导函数f（x）在（a，b）内的图象和极值的定义可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值解答： 解：如图所示，由导函数f（x）在（a，b）内的图象可知：函数f（
8、x）只有在点B处取得极小值，在点B的左侧f（x）0，右侧f（x）0，且f（xB）=0函数f（x）在点B处取得极小值故选：B点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力，属于基础题9（5分）（2012春金台区期中）已知f（x）=x，若f（1）=4，则的值为（）A4B4C5D5考点： 导数的运算所有专题： 计算题分析： 利用求导法则求出f（x）的导函数，将x=1，f（1）=4代入导函数中，即可求出的值解答： 解：求导得：f（x）=x1，f（1）=4，（1）1=4，=4故选A点评： 此题考查了导数的运算，熟练掌握求导法则是解本题的关键10（5分）（2004
9、浙江）设f（x）是函数f（x）的导函数，y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（） A B C D 考点： 函数的单调性与导数的关系所有专题： 压轴题；数形结合分析： 先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间解答： 解：由y=f（x）的图象易得当x0或x2时，f（x）0，故函数y=f（x）在区间（，0）和（2，+）上单调递增；当0x2时，f（x）0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选C点评： 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系
10、，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分）11（4分）（2013春渭南期末）设曲线y=在点（2，1）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=1考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程所有专题： 计算题；导数的概念及应用分析： 由y=得y=，知y|x=2=1，由曲线y=在在点（1，1）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，知a=1，由此能求出a解答： 解：y=y=，y|x=2=1，曲线y=在点（2，1）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，a=1，即a=1故答案为：1点评： 本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程的应用，解题
11、时要认真审题，仔细解答12（4分）（2015春澄城县校级期中）函数f（x）=x3+15x2+33x+6的单调减区间为（，1）和（11，+）考点： 利用导数研究函数的单调性所有专题： 计算题；导数的综合应用；不等式的解法及应用分析： 要求函数的单调减区间可先求出f（x），并令其小于零得到关于x的不等式求出解集即可解答： 解：f（x）=3x2+30x+33=3（x210x11）=3（x+1）（x11）0，解得x11或x1，故减区间为（，1）和（11，+）故答案为：（，1）和（11，+）点评： 此题考查学生利用导数研究函数的单调性的能力，同时考查解不等式的运算能力，属于基础题13（4分）（2015春
12、澄城县校级期中）定义一种运算如下：=adbc，则复数的共轭复数是53i考点： 复数代数形式的混合运算所有专题： 数系的扩充和复数分析： 由新定义和复数的运算可化简式中的复数，可得其共轭复数解答： 解：由题意可得=（1i）3i（1）2=3i3i2+2=5+3i，共轭复数为：53i，故答案为：53i点评： 本题考查复数的代数形式的混合运算，属基础题14（4分）（2015春澄城县校级期中）已知函数f（x）的导数为f（x）=2x，且x=1时，y=2，则这个函数的解析式为f（x）=x2+1考点： 导数的运算所有专题： 导数的综合应用分析： 由题意可设f（x）=ax2+b，利用导数的运算法则即可得出解答：
13、 解：由题意可设f（x）=ax2+b，f（1）=a+b=2，f（x）=2ax=2x，解得a=1，b=1f（x）=x2+1故答案为：f（x）=x2+1点评： 本题考查了导数的运算法则，属于基础题15（4分）（2006湖北）半径为r的圆的面积S（r）=r2，周长C（r）=2r，若将r看作（0，+）上的变量，则（r2）=2r式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数对于半径为R的球，若将R看作（0，+）上的变量，请你写出类似于的式子：，式可以用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数考点： 归纳推理所有专题： 常规题型；压轴题分析： 圆的面积函数的导数等于圆的周长函数，类比得到球
14、的体积函数的导数等于球的表面积函数，有二维空间推广到三维空间解答： 解：V球=，又故式可填，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数”故答案为，球的体积函数的导数等于球的表面积函数点评： 本题考查类比推理，属于基础题三、解答题（本大题共4小题，总分50分）16（12分）（2013春渭南期末）已知复数z=（m2+5m+6）+（m22m15）i，当实数m为何值时，（1）z为实数；（2）z为虚数；（3）z为纯虚数考点： 复数的基本概念所有专题： 计算题分析： （1）复数的虚部为0，z为实数，求出m的值即可；（2）复数的虚部不为0，z为虚数，求出m即可；（3）复数的实部为0，虚部不为0，z为
15、纯虚数，求出m的值即可解答： 解：（1）若z为实数，则m22m15=0，解得m=3或m=5；（2）若z为虚数，则m22m150，解得m3或m5；（3）若z为纯虚数，则解得m=2点评： 本题考查复数的基本概念，考查计算能力，是基础题17（12分）（2012宣威市校级模拟）已知a为实数，f（x）=（x24）（xa）（1）求导数f（x）；（2）若f（1）=0，求f（x）在2，2上的最大值和最小值考点： 利用导数求闭区间上函数的最值所有专题： 综合题分析： （1）f（x）=（x24）（xa）=x3ax24x+4a，能求出导数f（x）；（2）由f（1）=3+2a4=0，得a=由f（x）=3x2x4=0，
16、得x1=1，然后分别求出和f（2），由此能得到f（x）在2，2上的最大值和最小值解答： 解：（1）f（x）=（x24）（xa）=x3ax24x+4a，f（x）=3x22ax4（2）f（1）=3+2a4=0，a=f（x）=（x24）（x）由f（x）=3x2x4=0，得x1=1，=0，=，=，f（x）在2，2上的最大值为，最小值为点评： 本题考查导数的概念和利用导数求闭区间上函数的最值，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的灵活运用18（12分）（2012春金台区期中）已知数列an满足，a1=0（1）计算a2，a3，a4，a5的值；（2）根据以上计算结果猜想an的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜
17、想考点： 数学归纳法；数列递推式所有专题： 综合题；点列、递归数列与数学归纳法分析： （1）由和a1=0，代入计算，可求a2，a3，a4，a5的值；（2）猜想an的通项公式，再用数学归纳法证明，关键是假设当n=k（k1）时，命题成立，即成立，利用递推式，证明当n=k+1时，等式成立解答： 解：（1）由和a1=0，得，（4分）（2）由以上结果猜测：（6分）用数学归纳法证明如下：（）当n=1时，左边=a1=0，右边=，等式成立（8分）（）假设当n=k（k1）时，命题成立，即成立那么，当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时等式成立由（）和（），可知猜测对于任意正整数n都成立（12分）点评： 本题考
18、查数列的通项，考查归纳猜想，考查数学归纳法的运用，属于中档题19（14分）（2006福建）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：x+8（0x120）已知甲、乙两地相距100千米（）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？考点： 利用导数研究函数的极值；函数模型的选择与应用所有专题： 计算题；应用题分析： （I）把用的时间求出，在乘以每小时的耗油量y即可（II）求出耗油量为h（x）与速度为x的关系式，再利用导函数求出h（x）的极小
19、值判断出就是最小值即可解答： 解：（I）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h（x）升，依题意得，令h（x）=0，得x=80当x（0，80）时，h（x）0，h（x）是减函数；当x（80，120）时，h（x）0，h（x）是增函数当x=80时，h（x）取到极小值h（80）=11.25因为h（x）在（0，120上只有一个极值，所以它是最小值答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升点评： 本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力
