1、1.2.3导数的四则运算法则学 习 目 标核 心 素 养1熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数(重点)2掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数(难点)3掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数(易混点)1通过学习导数的四则运算法则，培养学生的数学运算素养2借助复合函数的求导法则的学习，提升学生的逻辑推理、数学抽象素养.一、导数的运算法则1和差的导数f(x)g(x)f(x)g(x)2积的导数(1)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)cf(x)cf(x)3商的导数，g(x)0.二、复合函数的概念及求导法则复合函数的概念一般地，对于两个函数
2、yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x).复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若f(x)2x，则f(x)x2.()(2)已知函数y2sin xcos x，则y2cos xsin x()(3)已知函数f(x)(x1)(x2)，则f(x)2x1()解析(1)由f(x)2x，则f(x)x2c.(2)由y2sin xcos x，则y(2sin x)(cos x)
3、2cos xsin x.(3)由f(x)(x1)(x2)x23x2，所以f(x)2x3.答案(1)(2)(3)2函数f(x)xex的导数f(x)()Aex(x1)B1exCx(1ex) Dex(x1)解析f(x)xexx(ex)exxexex(x1)，选A.答案A3函数f(x)sin(x)的导函数f(x)_.解析f(x)sin(x)cos(x)(x)cos x.答案cos x导数四则运算法则的应用【例1】求下列函数的导数(1)yx2x2；(2)y3xex2xe；(3)y；(4)yx2sin cos.解(1)y2x2x3.(2)y(ln 31)(3e)x2xln 2.(3)y.(4)yx2sin
4、cosx2sin x，y2xcos x.1解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分2对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导这样可以减少运算量，优化解题过程1(1)设函数f(x)x3x2tan ，其中，则导数f(1)的取值范围是()A2,2B，C，2 D，2(2)已知f(x)，若f(x0)f(x0)0，则x0的值为_解析(1)f(x)sin x2cos x，f(1)sin cos 2sin，sin，2sin，2(2)f(x)(x0)由f(x0)f(x0)0，得0，解得x0.答案(1)D(2)复合函
5、数的导数【例2】求下列函数的导数(1)ye2x1；(2)y；(3)y5log2(1x)；(4)ysin3xsin 3x.思路探究先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导解(1)函数ye2x1可看作函数yeu和u2x1的复合函数，yxyuux(eu)(2x1)2eu2e2x1(2)函数y可看作函数yu3和u2x1的复合函数，yxyuux(u3)(2x1)6u46(2x1)4.(3)函数y5log2(1x)可看作函数y5log2u和u1x的复合函数，yxyuux(5log2u)(1x).(4)函数ysin3x可看作函数yu3和usin x的复合函数，函数ysin 3x可看作函数ysin
6、v和v3x的复合函数yx(u3)(sin x)(sin v)(3x)3u2cos x3cos v3sin2x cos x3cos 3x.1解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成2复合函数求导的步骤2求下列函数的导数(1)y；(2)ylog2(2x21)解(1)y1.设y1，u1x，则yyuux(1)(1x)(1).(2)设ylog2u，u2x21，则yyuux4x.导数法则的综合应用探究问题试说明复合函数y(3x2)2的导函数是如何得出的？提示：函数y(3x2)2可看作函数yu2和u3x2的复合函数，yx
7、yuux(u2)(3x2)6u6(3x2)【例3】已知函数f(x)ax22ln(2x)(aR)，设曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线为l，若直线l与圆C：x2y2相切，求实数a的值思路探究求出导数f(1)，写出切线方程，由直线l与圆C相切，建立方程求解解因为f(1)a，f(x)2ax(x2)，所以f(1)2a2，所以切线l的方程为2(a1)xy2a0.因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d，解得a.若将上例中条件改为“直线l与圆C：x2y2相交”，求a的取值范围解由例题知，直线l的方程为2(a1)xy2a0.直线l与圆C：x2y2相交，圆心到直线l的距离小于半径即d.关
8、于复合函数导数的应用及其解决方法1应用复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用2方法先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用1函数y(2 0198x)3的导数y()A3(2 0198x)2B24xC24(2 0198x)2 D24(2 0198x)2解析y3(2 0198x)2(2 0198x)3(2 0198x)2(8)24(2 0198x)2.答案C2函数yx2cos 2x的导数为()Ay2xcos 2
9、xx2sin 2xBy2xcos 2x2x2sin 2xCyx2cos 2x2xsin 2xDy2xcos 2x2x2sin 2x解析y(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2(sin 2x)(2x)2xcos 2x2x2sin 2x.答案B3已知f(x)ln(3x1)，则f(1)_.解析f(x)(3x1)，f(1).答案4(2019全国卷)曲线y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为_答案y3x5求下列函数的导数(1)ycos(x3)；(2)y(2x1)3；(3)ye2x1解(1)函数ycos(x3)可以看作函数ycos u和ux3的复合函数，由复合函数的求导法则可得yxyuux(cos u)(x3)sin u1sin usin(x3)(2)函数y(2x1)3可以看作函数yu3和u2x1的复合函数，由复合函数的求导法则可得yxyuux(u3)(2x1)3u226u26(2x1)2.(3)ye2x1(2x1)2e2x1
