1、7.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 7.4 直线与圆、圆与圆的位置关系双基研习面对高考 基础梳理 1直线与圆的位置关系设直线l：AxByC0(A2B20)，圆：(xa)2(yb)2r2(r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.几何法 代数法 相交 d_r _0 相切 D_r _0 相离 D_r _0 方法 位置关系思考感悟1在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？2在判断直线和圆相交时，除上面所提到的方法外，还有其他方法吗？提示：1.应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点
2、为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条，谨防漏解2若给出的直线方程和圆的方程都带有字母，利用上述方法有时比较麻烦，这时可观察直线是否过定点，只要说明直线过圆内的某一定点即可 2圆与圆的位置关系相离 外切 相交 内切 内含 图 形 量的关系 dr1r2 d_|r1r2|dr1r2 d_ d|r1r2|r1r2|r1r2|课前热身 1(2009年高考重庆卷)直线yx1与圆x2y21的位置关系是()A相切B相交但直线不过圆心C直线过圆心D相离答案：B2过坐标原点且与圆 x2y24x2y520 相切的直线方程为()Ay3x 或 y13xBy3x 或 y13xCy3x 或 y13xDy3x 或
3、y13x答案：A3(2011 年济源质检)直线 x2 被圆 x2y210 x4y40 截得的弦长为()A4 B.2C8 D2 2答案：C4(教材习题改编)已知圆C1：x2y22ym0，圆C2：x2y22x2y10相内含，则m的取值范围是_5圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是_答案：相交答案：(3，)考点探究挑战高考 考点突破 直线与圆的位置关系解决直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，既要充分运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本数量关系，养成勤画图的良好习惯(2010年高考课标全国卷)圆心为原点且与直线xy20相切的圆的方程为
4、_【思路点拨】由直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，可求出圆的方程例1【解析】由题意可知，原点到直线 xy20的距离为圆的半径，即 r|002|2 2，所以圆的方程为 x2y22.【答案】x2y22【规律小结】直线与圆的位置关系有相离(没有公共点)、相切(只有一个公共点)、相交(有两个公共点)三种，判断直线与圆的位置关系主要有两种方法：一是圆心到直线的距离与圆的半径比较大小；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数；利用三种位置关系解决问题，主要是通过圆心到直线的距离与半径的大小比较解决，体现数形结合思想变式训练1 已知圆的方程是x2y22，直线yxb，当b为何值时，(1)圆与直线有两
5、个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点解：法一：圆心 O(0,0)到直线 yxb 的距离为 d|b|2.(1)当 dr，即|b|2 2，2br，即 b2 或 b0，即2b2 时，有两个公共点；(2)当 0，即 b2 时，有一个公共点；(3)当 2 或 b0)，此方程无解若如图(2)，则有 002a0212(3)26a2(a0)，解得 a1.【答案】1【规律小结】(1)两圆相交，连心线垂直平分公共弦，利用圆的性质、三角形的相关知识及勾股定理等是解决这类问题的常用方法(2)两圆方程相减，消去二次项，会得出公共弦所在直线方程，然后利用直线与圆相交的知识也可解决变式训练 2 圆 O1 的方程
6、为：x2(y1)24，圆 O2 的圆心为 O2(2,1)(1)若圆 O2 与圆 O1 外切，求圆 O2 的方程；(2)若圆 O2 与圆 O1 交于 A、B 两点，且|AB|2 2，求圆 O2 的方程解：(1)设圆 O2 的半径为 r2，由于两圆外切，|O1O2|r1r2，r2|O1O2|r12(21)，故圆 O2 的方程是：(x2)2(y1)24(21)2.(2)设圆 O2 的方程是：(x2)2(y1)2r22，圆 O1 的方程是：x2(y1)24，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦 AB 所在直线的方程：4x4yr2280.圆心 O1(0，1)到直线 AB 的距离为|r2212|4 2 42
7、22 2 2，解得 r224 或 r2220.故圆 O2 的方程为(x2)2(y1)24 或(x2)2(y1)220.圆的切线及弦长问题求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线已知点M(3,1)，直线axy40及圆(x1)2(y2)24.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线axy40与圆相切，求a的值；(3)若直线axy40与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值.例3【思路点拨】设出切线方程利用圆心到直线距离等于半径求得参数利用关系L22r2d2
8、求得a值【解】(1)圆心C(1,2)，半径为r2，当直线的斜率不存在时，方程为x3.由圆心C(1,2)到直线x3的距离d312r知，此时，直线与圆相切当直线的斜率存在时，设方程为y1k(x3)，即kxy13k0.由题意知|k213k|k212，解得 k34.方程为 y134(x3)，即 3x4y50.故过 M 点的圆的切线方程为x3 或 3x4y50.(2)由题意有|a24|a21 2，解得 a0 或 a43.(3)圆心到直线 axy40 的距离为|a2|a21，(|a2|a21)2(2 32)24，解得 a34.【失误点评】过圆外一点作圆的切线有两条，若在解题过程中只解出一个答案，说明另一条
9、直线的斜率不存在，注意不要遗漏直线与圆位置关系的综合应用直线和圆的综合问题，涉及弦长问题、交点个数、向量问题，在解决这类问题时，利用直线方程和圆的方程的结合，借助于判别式求解一些参数取值范围(2009年高考江苏卷)如图在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x3)2(y1)24和圆C2：(x4)2(y5)24.例4(1)若直线 l 过点 A(4,0)，且被圆 C1 截得的弦长为2 3，求直线 l 的方程；(2)设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2，它们分别与圆C1 和 C2 相交，且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的
10、弦长相等，试求所有满足条件的点 P 的坐标【思路点拨】(1)首先确定该直线斜率存在，设出直线方程，由题意分析可得出圆心到直线的距离为1，解方程即可得出斜率k的值(2)两相互垂直的直线截两等圆得弦长相等，可转化为两圆圆心到两直线的距离分别相等，设出P(a，b)，于是可得一带绝对值的方程，将此方程分类讨论，即可解得a与b的值【解】(1)由于直线 x4 与圆 C1 不相交，所以直线l 的斜率存在设直线 l 的方程为 yk(x4)，圆C1 的圆心到直线 l 的距离为 d，因为直线 l 被圆 C1截得的弦长为 2 3，所以 d 22 321.由点到直线的距离公式得 d|1k34|1k2，从而 k(24k
11、7)0，即 k0 或 k 724，所以直线 l 的方程为 y0 或 7x24y280.(2)设点 P(a，b)满足条件，不妨设直线 l1 的方程为ybk(xa)，k0，则直线 l2 的方程为 yb1k(xa)因为圆 C1 和圆 C2 的半径相等，且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等，所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等，即|1k3ab|1k2|51k4ab|1 1k2，整理得|13kakb|5k4abk|，从而 13kakb5k4abk 或13kakb5k4abk，即(ab2)kba3 或(ab8)kab5，
12、因为 k 的取值有无穷多个，所以ab20，ba30，或ab80，ab50，解得a52，b12，或a32，b132.这样点P只可能是点 P1(52，12)或点P2(32，132)经检验点 P1 和 P2 满足题目条件【名师点评】解决圆的问题，几何法与代数法均可，解题时要灵活选择 方法感悟 方法技巧1过圆外一点M可以作两条直线与圆相切，其直线方程的求法有两种：(1)用待定系数法设出直线方程，再利用圆心到切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率，进而求得直线方程(如例3)(2)用待定系数法设出直线方程，再利用直线与圆相切时交点唯一列出关系式求出切线的斜率，进而求得直线方程2若两圆相交时，把两圆的方
13、程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程(如例2变式)3求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长(如例1(2)失误防范1求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为1列方程来简化运算2注意利用圆的性质解题，可以简化计算例如，求圆外一点到圆上任意一点的最小距离或最大距离，利用两点的距离减去或加圆半径就很简便3过圆外一点引圆的切线，应有两条，易漏掉斜率不存在的直线考情分析 考向瞭望把脉高考 直线与圆的位置关系是每年高考必考的知识点之一，考查重点是直线与圆的位置关系、弦长、圆与圆的位置关系三种题型都有可
14、能出现，难度属中等偏高，客观题主要考查直线与圆的位置关系、弦长等问题；主观题考查较为全面，除考查直线与圆的位置关系、弦长问题外，还考查基本运算、等价转化、数形结合思想等预测2012年高考仍将以直线与圆的位置关系为主要考点，考查运算能力和逻辑推理能力真题透析 例(2010 年高考湖北卷)若直线 yxb 与曲线 y3 4xx2有公共点，则 b 的取值范围是()A1,12 2 B12 2，12 2 C12 2，3 D1 2，3【解析】由 y3 4xx2得(x2)2(y3)24(1y3)曲线 y3 4xx2是半圆，如图中实线所示当直线 yxb 与圆相切时，|23b|22.b12 2.由图可知 b12
15、2.b 的取值范围是12 2，3【答案】C【名师点评】(1)本题易失误的是：把曲线y3当作一整个圆来求解；忽视由几何语言向图形语言的转化(数形结合)，致使解题思路出错或繁琐(2)解决直线与圆的综合问题时，一方面，我们要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密(其中直线与三角形、四边形紧密相连)，因此我们要勤动手，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件(性质)，利用几何知识使问题能够较为简捷地得到解决xx24 名师预测 1直线 3xym0 与圆 x2y22x20 相切，则实数 m
16、 等于()A.3或 3B 3或 3 3C3 3或 3D3 3或 3 3解析：选 C.圆的方程可以转化为(x1)2y2(3)2，利用圆心(1,0)到直线 3xym0 的距离等于圆的半径 3，得|3m|31 3，即|3m|2 3，解得 m 3或3 3.2已知圆 C：(xa)2(y2)24(a0)及直线l：xy30，当直线 l 被圆 C 截得的弦长为2 3时，a 等于()A.2B2 2C.21 D.21解析：选 C.圆 C 的半径为 2，且直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 3，圆心到直线的距离为 1，即 d|a23|21(a0)，a 21.3已知两圆x2y210和(x1)2(y3)220相交于A，B两点，则直线AB的方程是_解析：因为点A、B同时在两个圆上，联立两圆方程作差并消去二次项可得直线AB的方程为x3y0.答案：x3y04已知直线l：xy40与圆C：(x1)2(y1)22，则C上各点到l距离的最小值为_解析：由数形结合可知：所求最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径由圆心 C(1,1)到直线 xy40 的距离 d|114|22 2，故最小值为 2 2 2 2.答案：2本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
