1、12能熟练利用正弦定理、余弦定理将三角形的边角转化掌握三角形形状的判断，三角形内三角函数的求值及三角恒等式的证明tantan33 tantan3sin 2A BC D1.ABCABABAABC在中，且，则的形状为非正三角形直角三角形等腰直角三角形 正三角形tantan33 tantantan313120.sin60602ABABtanAtanBABtanAtanBABABCAAB 由，可得，所以由得，所以，解析：故的形状为正三角形53cossin135cos 5616165616A.B.C.D6565665.6525ABCABC在锐角中，已知，则的值是或.2253cossin135124sin
2、1 coscos1 sin135coscoscos54123coscossin16.sin13516355ABAABBCABABABAB 因为，所以，所以解析：ABC .3 DabcABCp sinBsinCsinAqABCpq在中，设命题：，命题：是等边三角形，则命题 是命题 的充分不必要条件 必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件sinsinsin.Cabcp sinBsinCsinAabcsinAsinBsinCABCABCabc：，由正弦定理，所解析：以，故选所以abcp sinBsinCsinAABC由条件：，以易错点：为推不出是等边三角形2.212320A 16 B 64C 1
3、24 4.D 156ABCABCxxABC在中，三个内角满足，且最大边与最小边分别是方程的两根，则外接圆的面积为2222212320488423180602cos60164162 8448.4 3.24 328321.4A6xxxxbcABCABCAAabcbcaaRRsinASR 圆由方程，解得或，不妨设，因为，所以，由余弦定理得，所以由正弦定理，得，所以解，析：故选245.5ABCaxbBx中，已知，若解此三角形有两解，则 的取值范围是 452sin2445135902212242sinAxxAAxxx，因三角形有两解，所以，且，所以，解得且，解析：忽略大角易错点：对大边 22222222
4、212903901804090.1abABbcaAabcAaabcAA 判断三角形的形状特征必须从研究三角形的边与边的关系，或角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行转化，即化边为角或化角为边，边角统一三角形形状的判断依据：等腰三角形：或；直角三角形：或；钝角三角形：，或；锐角三角形：若 为最大边，且满足或 为最大角，且 1_2 sin_ cos_tan_3 sin_24 cos_25 tantantan_.2ABCBCBCBCBABCCBCABC；，在中常用的一些基本；关系式sincostancossintantantan22AAAAAABC；【要点指南】；2222s1insin.ABC
5、ABCabcabABabCABC在中，、所对的边长分别为、，且满足，试判断例的形状题型一判断三角形的形状222222sinsinsinsincossinsincossincossinsinsincos.sinsin0sincossincossin 2sin 21aABABbABABaABbABAABBABABAABBABABA 化成角的关系求解由条件可得，利用和差角公式展开，得，由方法正弦定理，上式化为因为，所以，即，因为、为三角形的内：解：角，所以析2ABBACB故为等腰三角形或直角，或，三角形-2222222222222222222222222222sinsincoscos()222.ab
6、ABabCabaBbAabcacbbcaababccABCcabababcabcab解化为边的关系求解由条件，析：故的形状为直角三角形或等方法腰得或：可三角形-三角形中的恒等式或三角形的形状判断等问题，要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角评析：变形之路1ABCabcacosBABCbcosAABC在中，已知、分别是角、的对变边，式：若，试确定的形状 22222222222222222222222222222coscos220acosBaAbBbcosAbcaacbabbca
7、cabcabacbcababaAbababcabaBCbc由，得，所以，所以，所以，所以，所以或，解析：所以是等腰三角形或直角三角形sinsincossin0sincos202.ABCABBCBCABC在中，已知，求角、例的大小题型二利用三角函数知识解三角形sinsincossin0sinsinsincossin0sinsinsincossincoscossin0sinsincos0.1ABBCABABABABABABABBAA由，得，解析：所以，方即法：(0)sin0cossin3(0)443sincos20sincos2()04sinsin 20sin2sincos0.15cos235.4
8、32211BBAAAABCBCBBBBBBBBACCBB因为解析：所，所以，从而，由，知，从而，由，得，即，亦即由此得，以，sincos203sincos2sin(2)230222232222sinsincossin0sinsinsincossin0 2BCBCCBCBCBCBCCBABBCABABAB 由，得由、方法，所以或，即或，由，解：得：析，sinsinsincossincoscossin0sinsincos0.sin0cossin(0)433242522315.31224ABABABABBAABAAABAABCBCCBBCC所以，即因为，所以，由，知，从而，知不合要求，再由，得，解析
9、：所以，sinsinABC本题主要考查三角形问题等知识，关键是运用代换及解题方向评析：的确定 2.3132sinsi.2s22ninBCABCabccCABCabCBAAABC在中，内角，对边的边长分别是，已知，若的面积等于，求变，；若求式，的面积 22224.31sin224.21344ababABCabCababababab由余弦定理及已知条件，得又因为的面积等于，所以，得联立解析：解得，方程组，22sinsin4sincossincos2sincos.4 32 3cos0.2633cos0sin2s12 3siin.242 34 3.3322n.23BABAAABAAAAABabABAA
10、BCSabbaabababbaC 由题意得，即当时，当时，得由正弦定理得解析：所以的面积，联立方程组，解得，1 33.m有一块半径为，中心角为的扇形铁皮材料，为了获得面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形上，然后作其最大的内接矩形请求出最例大面积题型三三角形中三角函数的应用(0)3sincos.tan 333 sin333cossin3COBBCaADOBaADOAOAADAB如图，设，则，又，所以解，以析：所，23sin(cossin)3133sin 2cos226633sin(2)366sin(2)136.66ABCDmS矩形则，解析：矩形面积取最值当，大即时，()与圆相关的最值
11、问题，常设角参数 注意范围，把题目中出现的边角用含角的三角函数表示，再转化求三角函数的最值其中确定是什么样的三角形，用哪些定理或哪些边角关系，列出等式或不等式评析：是关键01011 15 13.(2415 260301025010)DABABAABCBAC年月 日时许，位于上海某高层住宅发生火灾，为扑灭某着火点，现场安排了两支水枪，如图，是着火点，变分别是水枪位置，已知米，式全在 处看到着火点的仰角为，求两支水枪的喷射距离至少国四校三模是多少？2245.15.603015 362sin105sin(45603)015.41562.215 53.5ABCACBABACACsinACBsinABC
12、CADADCDABBCBCsinACBsinBACBDBCCD 在中，可知由正弦定理得：解析：综上可知两，解得又因为，所以，由正弦定理得：，解得由勾股定理可得支水枪的喷射距离至少分别为米，3米 12221212.()331()112ABCMNABACMNABCGMGAAGMAGNSSySS如图，已知是边长为 的正三角形，、分别是边、上的点，线段经过的重心设试将、的面积 分别备记为 与表示为 的函数；求的最大值与选例题最小值 12123332363.sinsin()6sin()6663sinsin()6sin1sinsin.212sin()61sin().2126661()6GABCAGMAGG
13、MGSGM GAsinSGN GAsAGMGNGAGiNn因为 是边长为 的正三角形的重心，所以，由正弦定理，得解又，得，析：则则 2221maxmi22n11144sin()261sin240216()72(3)62.22332233yyySSsintayny因解析：取得最大值；取为，所以，当或时，当时得最，小值 12172(3)2ytan 本题第问主要考查解三角形，涉及正弦定理的应用；第问考查三角恒等变形以及三角函数在给定区间上的最值问评析：题，化简为加以解决12解斜三角形问题往往用到正弦定理与余弦定理以及三角变换，解题时角度的选取是关键并关注角的取值范围如已知两边及其中一边的对角解三角形
14、，要注意解的情况对于解斜三角形的实际应用问题，要理解题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，抽象或构造出三角形，把实际问题转化为解三角形，要明确先用哪个公式或定理，先求哪些量，确定解三角形的方法在演算过程中，要算法简练，算式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求34对于实际应用问题中的有关名词、术语、要理解清楚，如坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等，正确画出图形是解题的关键利用正、余弦定理可以进行边角互化，有利于判断三角形的形状解决三角形中的问题，要从统一着手，或统一成角的关系，或统一成边的关系，要视情况灵活处理在解三角形时，要注意解题的完整性，谨防失根tantan33 tantan3sincos4ABCABABBBABC已知在中，且，试判断的形状tantan33 tantan3tan31tan360.33sincossin 242260212030609060ABABtanAtanBABtanAtanBCCBBBBBBBAABC 因为，所以，所以，即，又，所错以，所以，或，所以或，故，或，所以是直角三角形或等边解：三角形“”90tanAAABCABC错解分以上解法看似一气呵成，简捷流畅，似乎很难发现错误，然而题设中暗藏了 杀机：当时，不存在，故不可能是直角三角形，因而只能为等析：边三角形9060tan90AAAABC同上，或，但由于存在，故，正解：只能为等边三角形
