1、5.1 函数的概念和图象 第1课时 函数的概念 第5章 函数概念与性质 学 习 任 务核 心 素 养1在集合对应的基础上理解函数的概念，并能应用函数的有关概念解题(重点、难点)2会求几种简单函数的定义域、值域(重点)1通过学习函数的概念，培养数学抽象素养2借助函数定义域的求解，培养数学运算素养.情境导学探新知 NO.1(1)国家统计局的课题组公布，如果将 2005 年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示：年度20082009201020112012201320142015中国创新指数116.5125.5131.8139.6148.2152.6158.2171.5如果用
2、y 表示年度值，I 表示中国创新指数的取值，则 I 是 y 的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？(2)利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如图所示医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果(如根据两个峰值的间距来得出心率等)如果用 t 表示测量的时间，v 表示测量的指标值，则 v 是 t 的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？知识点1 函数的概念函数的定义一般地，给定两个_A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的_，在集合B中都有_的实数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数函数的记法从集合A到集合
3、B的一个函数通常记为_非空实数集合每一个实数x唯一yf(x)，xA函数的定义域在函数yf(x)，xA中，_(输入值)组成的集合A叫做函数yf(x)的定义域函数的值域若A是函数yf(x)的定义域，则对于A中的_x(输入值)，都有一个y(输出值)与之_，则将_组成的集合_称为函数的值域所有的x每一个对应所有输出值yy|yf(x)，xA1.有人认为“yf(x)”表示的是“y 等于 f 与 x 的乘积”这种看法对吗？提示 不对符号 yf(x)是“y 是 x 的函数”的数学表示，应理解为 x 是自变量，它是关系所施加的对象，f 是对应关系1.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何两个集合之间都
4、可以建立函数关系()(2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数()(3)根据函数的定义，定义域中的每一个 x 可以对应着不同的 y.()答案(1)(2)(3)知识点 2 同一函数(1)定义域和对应关系都相同的两个函数.(2)函数的对应关系和定义域都确定后，函数才能够确定(3)给定函数时要指明函数的定义域，对于用表达式表示的函数，如果没有指明定义域，那么，就认为函数的定义域是指使得函数表达式有意义的输入值的集合2.定义域和值域都相同的函数是同一个函数吗？提示 不一定是，如函数 yx，x0,1，和 yx2，x0,1定义域和值域都相同，但不是同一个函数A A 中定义域，对应关系都相同，是同一函数；
5、B 中定义域不同；C 中定义域不同；D 中定义域不同2.下列四组函数中，表示相等函数的一组是()Af(x)|x|，g(x)x2Bf(x)x2，g(x)(x)2Cf(x)x21x1，g(x)x1Df(x)x1 x1，g(x)x21合作探究释疑难 NO.2类型1 函数的概念 类型2 求函数的定义域 类型3 求函数的值域或函数值 类型4 抽象函数求定义域 类型 1 函数的概念【例 1】判断下列对应 f 是否为从集合 A 到集合 B 的函数(1)AN，BR，对于任意的 xA，x x；(2)AR，BN，对于任意的 xA，x|x2|；(3)AR，B正实数，对任意 xA，x1x2；(4)A1,2,3，BR，
6、f(1)f(2)3，f(3)4；(5)A1,1，B0，对于任意的 xA，x0.思路点拨 求解本题的关键是判断在对应关系 f 的作用下，集合A 中的任意一个元素在集合 B 中是否都有唯一的元素与之对应解(1)对于 A 中的元素，如 x9，y 的值为 y 93，即在对应关系 f 之下，B 中有两个元素3 与之对应，不符合函数的定义，故不能构成函数(2)对于 A 中的元素 x2 2，在 f 作用下，|2 22|B，故不能构成函数(3)A 中元素 x0 在 B 中没有对应元素，故不能构成函数(4)依题意，f(1)f(2)3，f(3)4，即 A 中的每一个元素在对应关系 f 之下，在 B 中都有唯一元素
7、与之对应，依函数的定义，能构成函数(5)对于集合 A 中任意一个实数 x，按照对应关系在集合 B 中都有唯一一个确定的数 0 与它对应，故是集合 A 到集合 B 的函数判断一个对应关系是否为函数的标准是什么？提示(1)A、B 必须是非空数集(2)A 中任何一个一元素在 B 中必须有元素与其对应(3)A 中任一元素在 B 中必有唯一元素与其对应总结：函数中两变量 x，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”跟进训练1下列对应关系式中是 A 到 B 的函数的有_(填序号)AB1,1，xA，yB 且 x2y21；A1,2,3,4，B0,1，对应关系如图；AR，BR，f：xy 1x
8、2；AZ，BZ，f：xy 2x1.对于项，x2y21 可化为 y 1x2，显然对任意 xA，y 值可能不唯一，故不符合对于项，符合函数的定义对于项，2A，但在集合 B 中找不到与之相对应的数，故不符合对于项，1A，但在集合 B 中找不到与之相对应的数，故不符合类型 2 求函数的定义域【例 2】求下列函数的定义域(1)f(x)3 x83x2；(2)f(x)x1 12x.解(1)要使 f(x)有意义，则有 3x20，x23，即 f(x)的定义域为23，.(2)要使 f(x)有意义，则x10，2x0 x1 且 x2，即 f(x)的定义域为1,2)(2，)求函数定义域的常用方法(1)若 f(x)是分式
9、，则应考虑使分母不为零(2)若 f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零(3)若 f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合(4)若 f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集(5)若 f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义跟进训练2求下列函数的定义域：(1)f(x)x4x0 1x2；(2)f(x)x22x3；(3)f(x)x12x1 1x.解(1)要使 f(x)有意义，则x40，x0，x20，解得 x4 且 x0，x2，即 f(x)的定义域为4，2)(2,0)(0，)(2)要使 f(x)有意义，则 x22x30，解得 x3 或
10、x1，即 f(x)的定义域为(，13，)(3)要使 f(x)有意义，自变量 x 的取值范围必须满足x101x0 即x1 且 x1，即 f(x)的定义域为x|x1 且 x1类型 3 求函数的值域或函数值【例 3】已知 f(x)x24x2.(1)求 f(2)，f(a)，f(a1)的值；(2)求 f(x)的值域；(3)若 g(x)x1，求 f(g(3)的值思路点拨(1)将 x2，a，a1 代入 f(x)即可；(2)配方求值域；(3)先求 g(3)再算 f(g(3)解(1)f(2)224222，f(a)a24a2，f(a1)(a1)24(a1)2a22a1.(2)f(x)x24x2(x2)222，f(
11、x)的值域为2，)(3)g(3)314，f(g(3)f(4)424422.在例 3 中，g(x)x1，求 f(g(x)，g(f(x)解 f(g(x)g(x)24g(x)2(x1)24(x1)2x22x1，g(f(x)f(x)1x24x21x24x3.1函数值 f(a)就是 a 在对应关系 f 下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将 f(x)中的 x 用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得2求 f(g(a)时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则3配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域跟进训练3设 f(x)2x22，g(x)1x2.(1)求 f(2)，f(a3
12、)，g(a)g(0)(a2)，g(f(2)(2)求 g(f(x)解(1)因为 f(x)2x22，所以 f(2)222210，f(a3)2(a3)222a212a20.因为 g(x)1x2，所以 g(a)g(0)1a2 102 1a212(a2)g(f(2)g(10)1102 112.(2)g(f(x)1fx212x22212x24.类型 4 抽象函数求定义域【例 4】(1)已知函数 yf(x)的定义域为1,4，则 f(x2)的定义域为_(2)已知函数 yf(x2)的定义域为1,4，则 f(x)的定义域为_(3)已知函数 yf(x3)的定义域为1,4，则 f(2x)的定义域为_1在 yf(x)中
13、，f(x)的定义域指的是什么？x 是什么？提示 f(x)的定义域指的是 x 的范围，其中 x 是函数的自变量2在函数 yf(x1)中，自变量是谁？而它的定义域指的是什么？提示 yf(x1)中自变量为 x，其定义域指的是 x 的范围(1)1,2(2)3,6(3)2，72 (1)由题知对于 f(x2)有 x21,4，x1,2，故 f(x2)的定义域为1,2(2)由题知 x1,4，x23,6，f(x)的定义域是3,6(3)由题知 x1,4，x34,7，对于 f(2x)有 2x4,7，x2，72，即 f(2x)的定义域为2，72.抽象函数的定义域(1)已知 f(x)的定义域，求 f(g(x)的定义域：
14、若 f(x)的定义域为a，b，则 f(g(x)中 ag(x)b，从中解得 x 的取值范围即为 f(g(x)的定义域(2)已知 f(g(x)的定义域，求 f(x)的定义域：若 f(g(x)的定义域为a，b，即 axb，求得 g(x)的取值范围，g(x)的取值范围即为 f(x)的定义域用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话：定义域指自变量的取值范围(告诉我们已知什么，求什么)括号内范围相同(告诉我们如何将条件与结论联系起来)5,0 对于 yf(x1)有 x3,2，x14，1，在f(x1)中有 x14,1，x5,0跟进训练4已知函数 yf(x1)的定义域为3,2，则 f(x1)的定义
15、域为_当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 ABC 函数 yx 的定义域为 R；yx 2 的定义域为0，)；y x2|x|，对应关系不同；y|x|对应关系不同；y3 x3x，且定义域为 R.1(多选题)下列函数中，与函数 yx 不相等的是()Ayx 2By x2Cy|x|Dy3 x31 2 3 4 5 B 由函数的定义可知，一个 x 的值只能对应一个 y 的值，而选项 B 中一个 x 的值可能对应两个 y 的值，故不是函数图象，故选 B.2下列各图中，一定不是函数的图象的是()A B C D1 2 3 4 5 A 当 x0 时，y0；当 x1 时，y121；当 x2 时，y4220；当
16、x3 时，y9233，函数 yx22x 的值域为1,0,33函数 yx22x 的定义域为0,1,2,3，那么其值域为()A1,0,3B0,1,2,3Cy|1y3Dy|0y31 2 3 4 5(，0)(0,1 由1x0，1 1x0，解得 x1 且 x0，用区间表示为(，0)(0,14将函数 y31 1x的定义域用区间表示为_5 1 2 3 4 x|x1 且 x2 要使函数有意义，需满足x10，|2x|0，解不等式得定义域为x|x1 且 x25函数 y x1ln|2x|的定义域是_回顾本节知识，自我完成以下问题1你是怎样认识函数概念的？提示 A、B 是非空数集定义域是非空数集 A，值域是 B的子集
17、yf(x)仅仅是函数符号，有时也用 g(x)、u(x)、F(x)等符号表示2怎样判断两个函数是否为同一函数？提示 判断函数的定义域和对应法则是否完全一致数学阅读拓视野 NO.4抽象函数定义域的类型及求法抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感觉棘手下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法1已知 f(x)的定义域，求复合函数 f(g(x)的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若 f(x)的定义域为 x(a，b)，求出 f(g
18、(x)中 ag(x)b 的 x 的范围，即为 f(g(x)的定义域2已知复合函数 f(g(x)的定义域，求 f(x)的定义域方法是：若 f(g(x)的定义域为 x(a，b)，则由 axb 确定 g(x)的范围即为 f(x)的定义域3已知复合函数 f(g(x)的定义域，求 f(h(x)的定义域结合以上 1、2 两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由 f(g(x)定义域求得 f(x)的定义域，再由 f(x)的定义域求得 f(h(x)的定义域4已知 f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
