1、01第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时过关能力提升基础巩固1某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有5名同学只会用综合法证明,有3名同学只会用分析法证明,现从这些同学中任选1名同学证明这个问题,不同的选法种数为()A.8B.15C.18D.30解析:共有5+3=8种不同的选法.答案:A2(a1+a2)(b1+b2)(c1+c2+c3)完全展开后的项数为()A.9B.12C.18D.24解析:由分步乘法计数原理得,完全展开后的项数为223=12.答案:B3从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法有
2、()A.24种B.18种C.12种D.6种解析:种植黄瓜有3种不同的种法,其余两块地从余下的3种蔬菜中选2种种植有32=6种不同种法.由分步乘法原理知共有36=18种不同的种植方法.故选B.答案:B4如图,一条电路从A处到B处接通时,可构成线路的条数为()A.8B.6C.5D.3解析:从A处到B处的电路接通可分两步,第一步:前一个并联电路接通有2条线路,第二步:后一个并联电路接通有3条线路;由分步乘法计数原理知电路从A处到B处接通时,可构成线路的条数为32=6,故选B.答案:B5已知直线方程Ax+By=0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A,B的值,则可表示出的不同
3、直线的条数为()A.19B.20C.21D.22解析:当A或B中有一个为零时,则可表示出2条不同的直线;当AB0时,A有5种选法,B有4种选法,则可表示出54=20条不同的直线.由分类加法计数原理知,共可表示出20+2=22条不同的直线.答案:D6将4位老师分配到3个学校去任教,共有分配方案()A.81种B.12种C.7种D.256种解析:每位老师都有3种分配方案,分四步完成,故共有3333=81种分配方案.答案:A7五名护士上班前将外衣放在护士站,下班后回护士站取外衣,由于灯光暗淡,只有两人拿到了自己的外衣,另外三人拿到别人外衣的情况有()A.60种B.40种C.20种D.10种解析:设五名
4、护士分别为A,B,C,D,E.其中两人拿到自己的外衣,可能是AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10 种情况,假设A,B两人拿到自己的外衣,则C,D,E三人不能拿到自己的外衣,则只有C取D,D取E,E取C,或C取E,D取C,E取D两种情况.故根据分步乘法计数原理,应有102=20种情况.答案:C8若在登录某网站时弹出一个4位的验证码:XXXX(如2a8t),第一位和第三位分别为0到9这10个数字中的一个,第二位和第四位分别为a到z这26个英文字母中的一个,则这样的验证码共有.解析:完成这件事可分四步:第一步,确定验证码的第一位,共有10种方法;第二步,确定验证码的第二
5、位,共有26种方法;第三步,确定验证码的第三位,共有10种方法;第四步,确定验证码的第四位,共有26种方法.由分步乘法计数原理可得,这样的验证码共有10261026=67 600个.答案:67 600个9如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网络联系,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为.解析:由题图可知,从A到B有4种不同的传递路线,各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3,4,6,6,由分类加法计数原理得,单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19
6、.答案:1910某城市的电话号码,由七位升为八位(首位数字均不为零),则该城市可增加的电话部数是.解析:由题意知本题是一个分步计数问题,电话号码是七位数字时,该城市可安装电话9106部,同理升为八位时为9107.所以可增加的电话部数是9107-9106=81106=8.1107.答案:8.110711在某运动会的百米决赛上,8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙3人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有种.解析:分两步安排这8名运动员.第一步:安排甲、乙、丙3人,共有1,3,5,7四条跑道可安排.所以安排方式有432=24种.第二步:
7、安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排,所以安排方式有54321=120种.所以安排这8人的方式有24120=2 880种.答案:2 88012有一项活动,需从3位老师、8名男同学和5名女同学中选人参加.(1)若只需1人参加,则有多少种不同的选法?(2)若需老师、男同学、女同学各1人参加,则有多少种不同的选法?(3)若需1位老师、1名同学参加,则有多少种不同的选法?解:(1)选1人,可分三类:第一类,从老师中选1人,有3种不同的选法;第二类,从男同学中选1人,有8种不同的选法;第三类,从女同学中选1人,有5种不同的选法.共有3+8+5=16种不同的选法.(2)选老师、男同
8、学、女同学各1人,则分三步进行:第一步,选老师,有3种不同的选法;第二步,选男同学,有8种不同的选法;第三步,选女同学,有5种不同的选法.共有385=120种不同的选法.(3)选1位老师、1名同学,可分两步进行:第一步,选老师,有3种不同的选法;第二步,选同学,有8+5=13种不同的选法.共有313=39种不同的选法.13用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙),要求在,四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色.(1)若n=6,则为甲着色时共有多少种不同方法?(2)若为乙着色时共有120种不同方法,求n.解:完成着色这件事,共分四个步骤,可依次考虑为,着色时各自的方法数,再由分
9、步乘法计数原理确定总的着色方法数.(1)为着色有6种方法,为着色有5种方法,为着色有4种方法,为着色也有4种方法.所以共有着色方法6544=480种.(2)与(1)的区别在于与相邻的区域由两块变成了三块,同理,不同的着色方法数是n(n-1)(n-2)(n-3),由n(n-1)(n-2)(n-3)=120,得(n2-3n)(n2-3n+2)-120=0,即(n2-3n)2+2(n2-3n)-1210=0.所以n2-3n-10=0,所以n=5.能力提升1某校举办了一次教师演讲比赛,参赛的语文老师有20人,数学老师有8人,英语老师有4人,从中评选出一个冠军,则可能的结果种数为()A.12B.28C.
10、32D.640解析:由分类加法计数原理得,冠军可能的结果种数为4+8+20=32.答案:C2某人有3个不同的电子邮箱,他要发5封电子邮件,不同发送方法的种数为()A.8B.15C.35D.53解析:每封电子邮件都有3种不同的发送方法,共有35种不同的发送方法.答案:C3从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有()A.280种B.240种C.180种D.96种解析:由于甲、乙不能从事翻译工作,因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人,有4种选法.后面三项工作的选法有543种,因此共有4543=240种不同的选派方案,故
11、选B.答案:B4用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数,比3 542大的四位数的个数是()A.360B.240C.120D.60解析:因为3 542是能排出的四位数中千位为3的最大的数,所以比3 542大的四位数的千位只能是4或5,所以共有2543=120个比3 542大的四位数.答案:C5如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A.60B.48C.36D.24解析:长方体的6个表面构成的“平行线面组”有66=36个,另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线
12、面组”有62=12个,共36+12=48个,故选B.答案:B6设集合A=1,2,3,10,若方程x2-bx-c=0满足b,c属于A,且方程至少有一个根a属于A,称方程为漂亮方程,则“漂亮方程”的总个数为()A.8B.10C.12 D.14解析:当c=2 时,有21=2,b=2-1=1,则漂亮方程为x2-x-2=0;当c=3时,有31=3,b=3-1=2,则漂亮方程为x2-2x-3=0;当c=4时,有41=4,b=4-1=3,则漂亮方程为x2-3x-4=0;当c=5时,有51=5,b=5-1=4,则漂亮方程为x2-4x-5=0;当c=6时,有61=6,b=6-1=5,则漂亮方程为x2-5x-6=
13、0,同时,有23=6,b=3-2=1,则漂亮方程为x2-x-6=0;当c=7时,有71=7,b=7-1=6,则漂亮方程为x2-6x-7=0;当c=8时,有81=8,b=8-1=7,则漂亮方程为x2-7x-8=0,同时,有24=8,b=4-2=2,则漂亮方程为x2-2x-8=0;当c=9时,有91=9,b=9-1=8,则漂亮方程为x2-8x-9=0;当c=10时,有101=10,b=10-1=9,则漂亮方程为x2-9x-10=0,同时,有25=10,b=5-2=3,则漂亮方程为x2-3x-10=0.综合可得,共12个漂亮方程.答案:C7圆周上有2n(n大于2)个等分点,任取3点可得一个三角形,恰
14、为直角三角形的个数为.解析:先在圆周上找一点,因为有2n个等分点,所以应有n条直径,不经过该点的直径应有(n-1)条,这(n-1)条直径都可以与该点形成直角三角形,一个点可以形成(n-1)个直角三角形,而这样的点有2n个,所以一共有2n(n-1)个符合题意的直角三角形.答案:2n(n-1)8如图,某学校要用鲜花布置花圃中A,B,C,D,E五个不同区域,要求同一区域上用一种颜色的鲜花,相邻区域使用不同颜色的鲜花,现有红、黄、蓝、白、紫五种不同颜色的鲜花可供任意选择.(1)当A,D区域同时用红色鲜花时,求布置花圃的不同方法的种数;(2)求恰有两个区域用红色鲜花的概率.解: (1)当A,D区域同时用
15、红色鲜花时,其他区域不能用红色,布置花圃的不同方法有433=36种.(2)设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”,当区域A,D同色时,共有54313=180种;当区域A,D不同色时,共有54322=240种;因此,基本事件总数为180+240=420种.又当A,D为红色时,共有433=36种;当B,E为红色时,共有433=36种;因此,事件M包含的基本事件有36+36=72种.综上,恰有两个区域用红色鲜花的概率P(M)=72420=635.9用0,1,9这十个数字,可以组成多少个满足下列条件的数?(1)三位整数;(2)无重复数字的三位整数;(3)小于500的无重复数字的三位整数;(4)小于10
16、0的无重复数字的自然数.解:由于0不能放到首位,可以单独考虑.(1)百位上有9种选法,十位和个位各有10种选法.由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是91010=900.(2)由于数字不可重复,可知百位数字有9种选法,十位数字也有9种选法,但个位数字仅有8种选法,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是998=648.(3)百位数字只有4种选法,十位数字有9种选法,个位数字有8种选法,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是498=288.(4)小于100的自然数可以分为两类.小于10:10个.大于等于10:十位数字有9种选法,个位数字也有9种选法,由分步乘法计数原理知,适合题意的两位数的个数是99=81.由分类加法计数原理知,适合题意的自然数的个数是10+81=91.
