1、了解证明不等式的基本方法与技巧，提升解析式的变形能力，培养逻辑思维能力 0,1111 1A 11141B 11141C 1114114.D 111abca bb cc aa bb cc aa bb cc aa bb cc aa bb cc a用反证法证明命题：若、，则，不同时大于，假设正确的是，同时大于，同时不大于，中至少有一个大于，中至多有两个大于 A A.?2.B.22C.?D.22abcdadadbcbcadadbcbc四个不相等的正数、成等差数列，则()22aadbcbc bbccd因为解析：所以、互不相等，4334A BC D3.mnxmm nyn mnxyxyxyxymn设，则，的
2、大小关系是与，的取值有关 433433332220.xymm nn mnmmnnmnmnmnmnmnymxn解析：所为以因，332220011A(4.)4?B2C222D.|ababababababababab设，则以下不等式中不恒成立的是33222222200111()224A12223222110C|(|)()222()0|DBabababababababababababababababababbabababab 因为，所以，故 恒成立；，取，故 恒成立；若解析：，则恒成立，若，则 不则，所以，成立故；恒成立111 .5.mAmmBmmAB 已知，设，则、之间的大小关系是 11111.1.
3、111AmmmmBmmmmmAmmmmB ，因为，所，：所以以解析()12不等式的证明常用的方法有：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等证不等式有作差 商、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述，如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证是从命题提供的条件，或是已证明过的结论，或是已知的定义、公理、定理等条件及事实出发，经正确的推理得到结论的方法，是一种直接的演绎推比较法理方法综合法，也就是“”“12由因导果 的方法综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：已知可知可知结论”.“4123”“是指 执分果索因 的思维方法，即从结论出
4、发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法分析法的思维全貌可概括下面形式：结论需知需知已知”从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确析法的证反证法：明方法112157“6”ABBBBBBA欲证，可通过适当放大和缩小，借助一个或多个中间量，使得，再利用传递性，达到欲证的目的，这种方法叫做放缩法换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式用换元法证明不等式时一定要注意新元的约放缩法：换元法：构束条件及整体置换策略构造二次方程用造法：，构造函数用函数单调性，构造
5、图形用数形结合方法221.(2010)00.abbaabab已知，例，求证：济南模拟题型一用比较法证明察可知，通过作差后，可以较快地因式分解，从而证明不等式，也可以用作商分析：法证明222222222222().0000.10.baababbaabbabaabababbaababababbabaabab 因为因为，所以，证明：，所以上故法式方：，2233222222?2100.2baabababab abaabbababababbaababbaabab 证由于，且，所以有方法：明 ()312本题的两种证法就是比较法中的作差法和作商法用比较法中的作差法证明不等式时，为了说明差式的符号，有下列三种
6、常用的方法：将差式因式分解，通过判断简单因式的符号来判断差式的符号；将差式通过配方写成一些正 负 数的和；把差式中的某一字母视为自变量，构造函数，证明函数值恒正或恒负用比较法中的作商法证明不等式时，需特别注意的是，用作商法证明不等式时，应要求不等式的两评析：边同号 2001.a babababa babR设，且，证变，求：式：222222202200().()101020010.2()(.)(.)1a baba bb aa baba ba ba bbaaba ba baba baabbabaaabababbbaabbabaaaaba babbbb因为，所以将不等式两边相解析：综上所述，对任意正
7、实数，除，得当时，；当时，；当时，由指数函数的单调性，得，即，都有2.(2.010)abcbccaababcabc设、都是正数例，求证：广州模拟题型二利用综合法证明不等式2222().2abcbccacabcaababcbcabbacbccaababcabcbccaababcabcR因为，所以，由得，解：所以，析222222222abcabbccaa bb cc aabc abc本题是利用综合法证明不等式用综合法证明不等式时，应注意观察不等式的结构特点，选择恰当地已知不等式作为依据，其中基本不等式是最常用了对于这种两边各有三项的不等式，都可利用本题中的方法进行证明，例如：，等等利用这种方法，还
8、可以得到很多类似形式的评析：不等式01,01,0110211164.abcabcabc已知，求变式证：2011101.2410141011011.4.416aaaaabbabcabccc 因为，所以同理，解析：由得，220.8.283abababababab 已知，求证：例题型三利用分析法证明不等式()所证不等式的形式较复杂 如从次数看，有二次、一次、次等，难以从某个角度着手，故考虑用分析法证明，即执果索因，寻找不等式成立的必要条件实际上就是对所证不等式进行适当的化简、变形，这种变形在相当多的题目里都分析：是充要的2222222828244()()()2222122ababababababab
9、abababababababababababababab 欲证成立，只需证，只需证，只需证，即证 证明：，2212 1111.01.828babaababbaabbaababababababab 只需证，即证，只需证 因为 ，所以 成立，从而，有证明：“”“”“”分析法的步骤是未知需知已知，在操作中 要证只需证即证 这些词是不评析：可缺少的22110223.aaaaa设，求证：变式2222222222221122011(2)(2)11114422 2()2.aaaaaaaaaaaaaaaaa只需证明，因为，所以只需证明，即证明：22222222222222121()2121()()2111(2
10、)212.12aaaaaaaaaaaaaaaa整理为所以只需证明，即，整理为根据基本不等式恒成立，所以原不证明：等式成立 2123412.f xxpxqfff设，则、中是例否至少有一个不小于？并证明你的结论题型四利用反证法证明不等式“”“”“”“”“”结论若是 都是都不是至少至多 或等形式的不等式命题，往往考虑用分析：反证法 1123.211242213212239322121112212222221321123().2ffffpqfpqpffqfffpqffffffff 假设、都小于因为，所以，所以，这与矛盾故、中至少有一个不一解法小于证析：1123.213221932 422.132213
11、22111222221123.2)(ffffffpqpqpqfffffffff 假设、都证法小于而又，矛盾，故、中至少有一个不：小于二解析反证法实质上是通过证明原命题的逆否命题而实现的，在否定结论时必须对结论反面的各种情形都予以考虑，不能评析：有所遗漏 02,02,02422.21.abca bb cc a若，求证，不能同时大于变式 21 21 21.02,02,02221.22211.223322212221.a bb cc aabcaba bbccaa bb cc aa bb cc a 假设，因为，所以同理可得，上面三式相加，得，矛盾因此，都大于是不可能的故，不能同证时大于明：0005.1
12、1.(2010)1abcabcabcabc已知，例，求证：合肥模拟题型五利用放缩法证明不等式00ab本题若通过通分去分母，运算量较大，考虑到，可先试试分分析：式的放缩 0011.11111.1111(0)1111aaabaabbbababbababababcabcxf xxxabcf abf cabcabc 因为，所以，所以只需证而函数在，上递增，且，所以，即，所以原不等解析：式成立放缩法是不等式证明中的重要方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论进行推导常用的放缩技巧有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数评析：的性质等*3122334
13、5.1()111.23nnan nnn nan N变已知，求证：式*221.1123.211132341.2nnkk kkkn nank kkkn nan N证设，则所以又因为，所明以：33322333111332213362331396231206111331.321nnn nnn nnnnnnnn nnn nan 证明：因为，所以于是所以原不等式成立 00()().0ln()f xabababxf bf afxbababbaabbaa 拉格朗日中值定理：若函数是闭区间，上连续不断的函数，且在区间，内导数都存在，则在，内至少存在一点，使得如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗
14、日中值定理条件试用拉格朗日中值定理证明：当时，可不用证明函数的连续性和备例题可导性选 000ln()().1()01 1()011ln.g xxxabg xg bg alnblnaxabgxbabagxxababxgxbab ablng bg alnblnaagxbbababaababbabaa 令，则符合拉格朗日中定理的条件，即存在，使因为证明：，由，可知，即，所以12不等式证明的常用方法有：比较法、综合法和分析法它们是证明不等式的最基本的方法另外，反证法、换元法、放缩法、函数性质法等也是常用的证明思路注意以下几点：证明不等式时，作差比较法综通常是进行因式分解，或利用各因式的符号进行判断，或
15、配方利用非负数的性质进行判断证明不等式时，主要利用重要不等式，函数的单调性及不等式的性质，在严密的演绎推理合法下导出结论222234131()()24211()1111212111(1)()()aakk kkk kkkkkkkkk N分析法的思路是逆向思维，应注意证题格式放缩时使用的主要方法有：舍去或加上一些项，如；将分子或分母放大 缩小，如，等放缩法的理论依据主要有：不等式的传递性；等量加不等量为不等量；同分子 分母 异分母 分子 的两个分式大小的比较22222222222“sincos1“sincos1?.“1si5xyxyxyxxRRRR是数学中的基本方法，它的应用十分广泛，不仅在不等式
16、的证明中用到它，在其他数学问题的研究中也经常用到它三角换元法有一定的规律性问题中含有，”时可以考虑作，”代换，尤其是时，这样的代换的优势更为明显，作为这些代换的理论依据是”及 圆的参数方程问题中含有”时，可以考虑设换元法ncos|sin|1|cos|1.x或，其理论依据是，6在用判别式法时，若二次项系数含字母，往往要按其为零和不为零两种情况分类讨论111()()_xyxyzxyxy已知两正数，满足，则的最小值为22110211()()44.2222()22222(21)2(21)aaazxyzxyx yxyzxyxyxyxyxyz方法：因为对，恒有，从而，所以 的最小值是方法：，所以错解：的最小值是12方法 和方法 的错误原因是等号同时成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才错解分析：是正确的 22111()()1222.10(125).2421(0.241233444yxzxyxxyzyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxytxytxyf ttttf ttt 正解令，则由在，上单调递减，故当时，有：所以当时，有最小值最小值，
